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1、考研高数第六章复习资料第六章 多元函数微分学 6.1 多元函数的概念、极限与连续性 (甲)内容要点 一、多元函数的概念 1二元函数的定义及其几何意义 设D是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)D，按照某一对应规则f，变量z都有一个值与之对应，则称z是变量x，y的二元函数，记以z=f，D称为定义域。 二元函数z=f的图形为空间一块曲面，它在xy平面上的投影域就是定义域D。 例如 z=1-x-y,22D:x+y221 二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D就是xy平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。 2三元函数与n元函数 u=f(x,y,z),(x,y,z)W空间一个点
2、集，称为三元函数 u=f(x1,x2,L,xn)称为n元函数。 它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。 二、二元函数的极限 设f(x,y)在点(x0,y0)的邻域内有定义，如果对任意e0，存在d0,只要(x-x0)+(y-y0)xx022d,就有f(x,y)-A0 x2+y222 即 2 y+12x 函数定义域D在圆x+y2的内部和抛物线y+1=2x的左侧 二、有关二元复合函数 例1 设f(x+y,x-y)=x2y+y2,求f(x,y) 解： 设x+y=u,x-y=v解出x= 代入所给函数化简f(u,v)= 故 f(x,y)=
3、18212(u+v),y=212(u-v) 14(u-v) 218(u+v)(u-v)+14(x-y) 2(x+y)(x-y)+例2 设f(x+y,xy)=x2+3xy+y2+5,求f(x,y) 解： Qx2+3xy+y2+5=(x2+2xy+y2)+xy+5 =(x+y)+xy+5 f(x,y)=x+y+5 22 例3 设z=y+f(x-1),当y=1时，z=x,求函数f和z 解： 由条件可知 x=1+f(x-1),令 2x-1=u,则f(u)=x-1=(u+1)-1=u22+2 f(x)=x+2x,z=y+x-1 三、有关二元函数的极限 例1 讨论lim(1+x1xyx2)x+y(a0常数
4、) x2ya1xyxy(x+y)(1+)解：原式=lim xxyya11t1+令t=xylim(1+)=e 而limtxytyaxxy 又limx2xyaxy(x+y)=limxya1y(1+yx)=1a1 原式=ea xyx+y422例2 讨论limx0y0 解：沿y=lx原式=limx0lx4322x+lx=0 沿y=lx,原式=limx02lx4424x+lx=l1+l2 原式的极限不存在 3例3 讨论lim解： Q4xy4222x0y0x+y22x+y2xy33(Q(x-y)0) 222 012xy4222x+y1xy222xylimx0y0=121y2 而lim x0y2=0;0=0
5、 y0 用夹逼定理可知 原式=0 6.2 偏导数与全微分 内容要点 一、偏导数与全微分的概念 1偏导数 二元：设z=f(x,y) zx=fx(x,y)=limf(x+Dx,y)-f(x,y)DxDx0zy=fy(x,y)=limf(x,y+Dy)-f(x,y)DyDy0 三元：设u=f(x,y,z) uxuyuz=fx(x,y,z);=fy(x,y,z);=fz(x,y,z) 2二元函数的二阶偏导数 设 z=f(x,y), zx22(x,y)=fxxxx(z)， zxyzy222(x,y)=fxyyxz(z) zyx2(x,y)=fyxxy(z)， (x,y)=fyyyy3全微分 设 z=f(
6、x,y), 增量Dz=f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y) 若 Dz=ADx+BDy+o(Dx)2+(Dy)2) 当 Dx0Dy0时 则称 z=f(x,y)可微，而全微分dz=ADx+BDy 定义：dx=Dx,dy=Dy 定理：可微情况下，A=fx(x,y),B=fy(x,y) dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy 三元函数 u=f(x,y,z) 全微分 du=fx(x,y,z)dx+fy(x,y,z)dy+fz(x,y,z)dz 4相互关系 fx(x,y)fy(x,y)连续df(x,y)存在 fx(x,y)fy,xy(存,在)f(x,y连)续5方向导数与梯度 二、复合函数微分法锁链
7、公式 三、隐函数微分法 设 F(x,y,z)=0确定z=z(x,y) zxFxFzzyFyFz 则 =-;=-(要求偏导数连续且Fz0) 四、几何应用 1空间曲面上一点处的切平面和法线 2空间曲线上一点处的切线和法平面 典型例题 x例1 求 u=z的偏导数 yuxuzzxuxxy2 解 =yyxz-1， =zyyz-1(-)=-zxyzz+1 =(xz)ln yy例2 设u=f(x,y,z)有连续的一阶偏导数，又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定 x-z exy-xy=2和e=dydxx0sinttdt求dudx 解 dudx=fx+fyxy+fzdzdxxy 由e -xy=2两
8、边对x求导,得ey+xdydx=-x-zdydx(e-(y+xxydydx)=0 解出 yx(分子和分母消除公因子-1) 由 e=x0sinttdt两边对x求导,得e=xsin(x-z)(x-z)(1-dzdx) 解出 dzdxdu=1-e(x-z)sin(x-z)yfxe(x-z)f=-+1-所以 dxxxysin(x-z)zfx例3 设y=y(x),z=z(x)是由z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数，其中f具有一阶连续导数，F具有一阶连续偏导数 求 解 分别在两方程两边对x求导得 dydz=f+x1+fdxdxdydzFx+Fy+Fz=0dxdxdydz-xf+=f+xf
9、dxdx化简 dydzFy+Fz=-Fxdxdxdzdx 解出 dzdx=x(f+xf)Fy-xfFzFy+xfF例4 设 u=f(x,y,z)有连续偏导数，z=z(x,y)由方程 xe-yexy=ze所确定xyz求du z 解一：令F(x,y,z)=xe-ye-ze Fz=-(z+1)ez zx=-ux得Fx=(x+1)e,Fy=-(y+1)e, xy则用隐函数求导公式得 y-zFxFz=x+1z+1ex-z;zy=-x+1z+1y+1z+1ex-ze =fx+fzzx=fx+fzuyux=fy+fzzy=fy-fzy+1z+1ey-zdu=dx+uydy=(fx+fzx+1z+1ex-z)
10、dx+(fy-fzy+1z+1ey-z)dy 解二： 在xex-yey=zez 两边求微分得 (1+x)exdx-(1+y)eydy=(1+z)ezdz 解出 dz=(1+x)edx-(1+y)edy(1+z)ezxy 代入 du=fxdx+fydy+fzdz (1+x)exdx-(1+y)eydy=fxdx+fydy+fz z(1+z)e 合并化简也得 du=(fx+fzx+1z+1ex-z)dx+(fy-fzy+1z+1ey-z)dy 例5 设 f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足2fu22+fv22=1, 12gg2+ g(x,y)=fxy,(x-y),求 222xy2 解：u=xy,
11、 gx2v=12(x-y) 22 u x f v y (fufv)=yfu+xfv,gyfuv2=xfu2-yfvfv) 故：gx2=y2fu22+2xy+x2fv2+, gy22=x2fu22-2xyfuv2+y2fv22-fv 所以：gxxz22+yzgy22=(x+y)22fu22+(x+y)22fv22=x+y 22例6 已知 F(,)=0确定z=z(x,y)其中F(u,v),z(x,y) 均有连续编导数，求证xxzyzzx+yzy=z 证：F(u,v)=F(,=FuGx1z,)=G(x,y,z)=0 G=Fvy1z,=Fu(-Gzxz2)+Fv(-yz2) 根据隐函数求导公式 zx=
12、-GxGz=zFuxFu+yFvzy=-GyGz=zFvxFu+yFv 则得 xzx+yzy=z x=-u2+v+z,例7 设 y=u+vz求uvu, xxzx=-u2+v+z, 解：对 y=u+vz的两边求全微分，得 dx=-2udu+dv+dz2udu-dv=-dx+dz dy=du+zdv+vdzdu+zdv=dy-vdzdu=dv=ux-zdx+(z-v)dz+dy2uz+12uz+1z2uz+1,vx=1,2udy+dx-(1+2uv)dz,uzz-v2uz+1=-2uz+1,= 6.3 多元函数的极值和最值 内容要点 一、求z=f(x,y)的极值 fx(x,y)=0第一步 求出驻点
13、(xk,yk)f(x,y)=0y(k=1,2,L,l) (xk,yk)fyy(xk,yk)-fxy(xk,yk) 第二步 令Dk=fxx2若Dk0则f(xk,yk)不是极值值定义出发讨论）则不能确定函数条件极值的拉格朗日乘子法 求 u=f(x1,L,xn)的极值 j1(x1,L,xn)=0M约束条件 j(x,L,x)=0nm1令 (m0又A=100,(1,1)(1,1)是极小值点 极小值ZA=-2 在点处 zx2(-1,-1)22=10,B=zxy(-1,-1)2=-2,C=zy2(-1,-1)2=10D=AC-B=960A=100,(-1,-1)也是极小值点 极小值Z(-1,-1)=-2 在
14、点处 A=zx2(0,0)2=-2,2B=zxy(0,0)2=-2,C=zy2(0,0)2=-2D=AC-B=0不能判定z=2e4这时 取x=e,y=-e则而 取x=y=e时20 z=2e-4e2420,又A=0,从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3. 类似地，由 A=zx22=-(-9,-3,-3)13616,B=zxy162=-(-9,-3,-3)12,C=zy22=-(-9,-3,-3)53, 可知 AC-B2=0,又A=-0,y0,z0)用拉格朗日乘子法，令 F=F(x,y,z,l)=150xyz+l(x522+y322+z222-1) Fx=-150xy
15、z150xyz22+2l252l9x=0(1) Fy=-+y=0(2) Fz=-150xyz222+2l4z2z=0(3) Fl=x5+y32222+-1=0(4) 用x乘+y乘+z乘 得-450xyz+2l=0 则 2l=450xyz(5) 将分别找代入，得 x=53,y=3333,z=23 所以 P点坐标为而最小体积V=153 x2+y2-z2=1例2 求坐标原点到曲线C：的最短距离。 2x-y-z=1解：设曲线C上点到坐标原点的距离为d，令W=d2=x+y+z,222约束条件x2+y2-z2-1=0,2x-y-z-1=0用拉格朗日乘子法，令 F=F(x,y,z,l,m)=(x+y+z)+
16、l(x+y-z-1)+m(2x-y-z-1) 222222Fx=2x+2lx+2m=0Fy=2y+2ly-m=0Fz=2z-2lz-m=0Fl=x+y-z-1=0Fm=2x-y-z-1=0222(1)(2)(3) (4)(5)2首先，由，可见，如果取l=-1,则m=0，由(3)可知z=0,再由(4),(5)得 2x+y-1=0,2x-y-1=0 x=0解得y=-14x=5 3y=5这样得到两个驻点P1(0,-1,0),P2(,4355,0)其次，如果取l=1，由(3)得m=0,再由得x=0,y=0这样成为-z2=1,是矛盾的，所以这种情形设有驻点。 最后，讨论l1,l-1情形，由，可得 x=-
17、m1+l,y=m2(1+l),z=m2(1-l)代入(4),(5)消去m得3l-9l+8=0此方2程无解，所以这种情形也没有驻点。 综合上面讨论可知只有两个驻点，它们到坐标原点的距离都是1，由实际问题一定有最另外， 由于C为双曲线，所以坐标原点到C的最大距离不存在。 短距离，可知最短距离为1。 例3 已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx-2ydy,并且f(1,1)=2.求f(x,y)在椭圆域2y2D=(x,y)x+1上的最大值和最小值4。 解法1 由dz=2xdx-2ydy可知 z=f(x,y)=x-y+C, 22再由f(1,1)=2,得C=2,故 z=f(x,y)=x-y+2 22
18、 令fx=2x=0,fy=-2y=0,解得驻点(0,0). 在椭圆x+2y24=1上，z=x-(4-4x)+2,即 22z=5x-22(-1x1), 其最大值为zx=1=3，最小值为z=x=0=-2, 再与f(0,0)=2比较，可知f(x,y)在椭圆域D上的最大值为3，最小值为-2。 解法2 同解法1，得驻点(0,0). 用拉格朗日乘数法求此函数在椭圆x+2y24=1上的极值。 设 L=x-y+2+l(x+222y24-1), 令Lx=2x+2lx=0,l=-2y+y=0, Ly22L=x2+y-1=0l4解得4个可能的极值点(0,2),(0,-2),(1,0)和(-1,0). 又f (0,2)=-2, f (0,-2)=-2, f (1,0)=3, f (-1,0)=3,再与f (0,0)=2比较，得f(x,y)在D上的最大值为3，最小值为-2。
