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1、考研高等数学公式集锦 考研高等数学公式集锦 导数公式： (tgx)=sec2x(ctgx)=-csc2x(secx)=secxtgx(cscx)=-cscxctgx(ax)=axlna1(logax)=xlna基本积分表： (arcsinx)=11-x21(arccosx)=-1-x21(arctgx)=1+x21(arcctgx)=-1+x2tgxdx=-lncosx+Cctgxdx=lnsinx+Csecxdx=lnsecx+tgx+Ccscxdx=lncscx-ctgx+Cdx1x=arctg+Ca2+x2aadx1x-a=lnx2-a22ax+a+Cdx1a+x=a2-x22alna-
2、x+Cdxx=arcsin+Ca2-x2ap2ndx2=seccos2xxdx=tgx+Cdx2sin2x=cscxdx=-ctgx+Csecxtgxdx=secx+Ccscxctgxdx=-cscx+Caxadx=lna+Cxshxdx=chx+Cchxdx=shx+Cdxx2a2=ln(x+x2a2)+Cp2In=sinxdx=cosnxdx=00n-1In-2nx2a22x+adx=x+a+ln(x+x2+a2)+C22x2a2222x-adx=x-a-lnx+x2-a2+C22x2a2x222a-xdx=a-x+arcsin+C22a22三角函数的有理式积分： - 1 - 2u1-u2
3、x2dusinx=，cosx=，u=tg，dx= 21+u21+u21+u2一些初等函数： 两个重要极限： e-e2ex+e-x双曲余弦:chx=2shxex-e-x双曲正切:thx=xchxe+e-x双曲正弦:shx=arshx=ln(x+x2+1）archx=ln(x+x2-1)11+xarthx=ln21-x三角函数公式： 诱导公式： 函数 角A - 90- 90+ 180- 180+ 270- 270+ 360- 360+ x-xsinx lim=1x0 x1 lim(1+)x=e=2.718281828459045.x xsin cos tg -tg ctg ctg -ctg tg
4、-ctg ctg tg -ctg ctg -sin cos cos cos sin sin -sin -ctg -tg -cos -tg -sin -cos tg -cos -sin ctg -cos sin -sin cos sin cos -tg tg -ctg -tg 和差角公式： 和差化积公式： sin(ab)=sinacosbcosasinbcos(ab)=cosacosbmsinasinbtg(ab)=tgatgb1mtgatgbctgactgbm1ctg(ab)=ctgbctgasina+sinb=2sina+b22a+ba-bsina-sinb=2cossin22a+ba-bc
5、osa+cosb=2coscos22a+ba-bcosa-cosb=2sinsin22cosa-b - 2 - 倍角公式： sin2a=2sinacosacos2a=2cos2a-1=1-2sin2a=cos2a-sin2actg2a-1ctg2a=2ctga2tgatg2a=1-tg2a半角公式： sin3a=3sina-4sin3acos3a=4cos3a-3cosa3tga-tg3atg3a=1-3tg2asintga2=1-cosaa1+cosacos=2221-cosa1-cosasinaa1+cosa1+cosasina=ctg=1+cosasina1+cosa21-cosasin
6、a1-cosaabc=2R 余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC sinAsinBsinCa2正弦定理： 反三角函数性质：arcsinx=p2-arccosxarctgx=p2-arcctgx 高阶导数公式莱布尼兹公式： (uv)(n)k(n-k)(k)=Cnuvk=0n=u(n)v+nu(n-1)v+n(n-1)(n-2)n(n-1)L(n-k+1)(n-k)(k)uv+L+uv+L+uv(n)2!k!中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f(x)(b-a)f(b)-f(a)f(x)柯西中值定理：=F(b)-F(a)F(x)曲率： 当F(x)=x时，柯西中值定理就
7、是拉格朗日中值定理。弧微分公式：ds=1+y2dx,其中y=tga平均曲率：K=Da.Da:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；Ds：MM弧长。DsyDadaM点的曲率：K=lim=. 23Ds0Dsds(1+y)直线：K=0;1半径为a的圆：K=.a - 3 - 定积分的近似计算： b矩形法：f(x)abb-a(y0+y1+L+yn-1)nb-a1(y0+yn)+y1+L+yn-1n2b-a(y0+yn)+2(y2+y4+L+yn-2)+4(y1+y3+L+yn-1)3n梯形法：f(x)ab抛物线法：f(x)a定积分应用相关公式： 功：W=Fs水压力：F=pAmm引力：F=k122,k为引力
8、系数 rb1函数的平均值：y=f(x)dxb-aa1均方根：f2(t)dtb-aa空间解析几何和向量代数： b空间2点的距离：d=M1M2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2向量在轴上的投影：PrjuAB=ABcosj,j是AB与u轴的夹角。vvvvPrju(a1+a2)=Prja1+Prja2vvvvab=abcosq=axbx+ayby+azbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cosq=ivvvc=ab=axbxjaybyaxbx+ayby+azbzax+ay+azbx+by+bz222222kvvvvvvaz,c=absinq.例：线速度：v=wr.bzaybycyaz
9、vvvbz=abccosa,a为锐角时， czaxvvvvvv向量的混合积：abc=(ab)c=bxcx代表平行六面体的体积。 - 4 - 平面的方程：v1、点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，其中n=A,B,C,M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0xyz3、截距世方程：+=1abc平面外任意一点到该平面的距离：d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2x=x0+mtx-xy-y0z-z0v空间直线的方程：0=t,其中s=m,n,p;参数方程：y=y0+ntmnpz=z+pt0二次曲面：x2y2z21、椭球面：2+2+2=1abcx2y22
10、、抛物面：+=z2p2q3、双曲面：x2y2z2单叶双曲面：2+2-2=1abcx2y2z2双叶双曲面：2-2+2=1abc多元函数微分法及应用 全微分：dz=zzuuudx+dydu=dx+dy+dzxyxyz全微分的近似计算：Dzdz=fx(x,y)Dx+fy(x,y)Dy多元复合函数的求导法：dzzuzvz=fu(t),v(t)=+dtutvtzzuzvz=fu(x,y),v(x,y)=+xuxvx当u=u(x,y)，v=v(x,y)时，du=uuvvdx+dydv=dx+dyxyxy隐函数的求导公式：FxFFdydyd2y隐函数F(x,y)=0，=-，2=(-x)(-x)dxFyxFy
11、yFydxdxFyFxzz隐函数F(x,y,z)=0，=-，=-xFzyFz - 5 - FF(x,y,u,v)=0(F,G)u隐函数方程组：J=GG(x,y,u,v)=0(u,v)uu1(F,G)v1(F,G)=-=-xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)=-=-yJ(y,v)yJ(u,y)微分法在几何上的应用： Fv=FuGGuvFvGvx=j(t)x-xy-y0z-z0空间曲线y=y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：0=j(t)y(t)w(t0)00z=w(t)在点M处的法平面方程：j(t0)(x-x0)+y(t0)(y-y0)+w(t0)(z-z0)=0v
12、FyFzFzFxFxF(x,y,z)=0若空间曲线方程为：,则切向量T=,GGGxGxyzGzG(x,y,z)=0曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)，则：v1、过此点的法向量：n=Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)x-x0y-y0z-z03、过此点的法线方程：=Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)向导数与梯度： FyGy方2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0fff函数z=f(x,y)在一点p(x,
13、y)沿任一方向l的方向导数为：=cosj+sinjlxy其中j为x轴到方向l的转角。fvfvi+jxyvvfvv它与方向导数的关系是：=gradf(x,y)e，其中e=cosji+sinjj，为l方向上的l单位向量。f是gradf(x,y)在l上的投影。l函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=多元函数的极值及其求法： - 6 - 设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=CA0时，A0,(x0,y0)为极小值2则：值AC-B0)的引力：F=Fx,Fy,Fz，其中：Fx=fDr(x,y
14、)xds(x+y+a)2222，Fy=f3Dr(x,y)yds(x+y+a)2222，Fz=-fa3Dr(x,y)xds(x+y+a)22322柱面坐标和球面坐标： x=rcosq柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz=F(r,q,z)rdrdqdz,y=rsinq,WWz=z其中：F(r,q,z)=f(rcosq,rsinq,z)x=rsinjcosq2球面坐标：y=rsinjsinq，dv=rdjrsinjdqdr=rsinjdrdjdqz=rcosj2ppr(j,q)f(x,y,z)dxdydz=F(r,j,q)rWW2sinjdrdjdq=dqdj00F(r,j,q)r02sinjdr
15、重心：x=1Mxrdv,y=WW1Myrdv,z=WW1Mzrdv，其中M=x=rdvWWW转动惯量：Ix=(y2+z2)rdv，Iy=(x2+z2)rdv，Iz=(x2+y2)rdv曲线积分： - 7 - 第一类曲线积分：x=j(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,(atb),则：y=y(t)Lx=tf(x,y)ds=fj(t),y(t)j2(t)+y2(t)dt(ab)特殊情况：y=j(t)ab第二类曲线积分：x=j(t)设L的参数方程为，则：y=y(t)bP(x,y)dx+Q(x,y)dy=aPj(t),y(t)j(t)+Qj(t),y(t)y(t)dtL两类曲线积分之间的关
16、系：Pdx+Qdy=(Pcosa+Qcosb)ds，其中a和b分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。QPQP格林公式：(-)dxdy=Pdx+Qdy格林公式：(-)dxdy=Pdx+QdyxyxyDLDLQP1当P=-y,Q=x，即：-=2时，得到D的面积：A=dxdy=xdy-ydxxy2LD平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：QP在时，Pdx+Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：xy(x,y)QP。注意奇点，如(0,0)，应xyu(x,y)=(
17、x0,y0)P(x,y)dx+Q(x,y)dy，通常设x0=y0=0。曲面积分： - 8 - 22对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds=fx,y,z(x,y)1+z(x,y)+zxy(x,y)dxdyDxy对坐标的曲面积分：，其中：P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy号；R(x,y,z)dxdy=Rx,y,z(x,y)dxdy，取曲面的上侧时取正Dxy号；P(x,y,z)dydz=Px(y,z),y,zdydz，取曲面的前侧时取正Dyz号。Q(x,y,z)dzdx=Qx,y(z,x),zdzdx，取曲面的右侧时取正Dzx两类曲面积分之间的关系：Pdyd
18、z+Qdzdx+Rdxdy=(Pcosa+Qcosb+Rcosg)ds高斯公式： - 9 - (WPQR+)dv=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcosa+Qcosb+Rcosg)dsxyz高斯公式的物理意义通量与散度：vPQRv散度：divn=+,即：单位体积内所产生的流体质量，若divn0,则为消失.xyzvv通量：Ands=Ands=(Pcosa+Qcosb+Rcosg)ds，v因此，高斯公式又可写成：divAdv=AndsW斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系： (RQPRQP-)dydz+(-)dzdx+(-)dxdy=Pdx+Qdy+RdzyzzxxyGcosbyQcosg
19、zRdydzdzdxdxdycosa上式左端又可写成：=xyzxPQRPRQPRQP空间曲线积分与路径无关的条件：=，=，=yzzxxyijkv旋度：rotA=xyzPQRvvv向量场A沿有向闭曲线G的环流量：Pdx+Qdy+Rdz=AtdsGG常数项级数： 1-qn等比数列：1+q+q+L+q=1-q(n+1)n等差数列：1+2+3+L+n= 2111调和级数：1+L+是发散的23n2n-1级数审敛法： - 10 - 1、正项级数的审敛法根植审敛法：r1时，级数发散nr=1时，不确定2、比值审敛法：r1时，级数发散nUnr=1时，不确定3、定义法：sn=u1+u2+L+un;limsn存在，
20、则收敛；否则发散。n交错级数u1-u2+u3-u4+L(或-u1+u2-u3+L,un0)的审敛法莱布尼兹定理： unun+1如果交错级数满足su1,其余项rn的绝对值rnun+1。limu=0，那么级数收敛且其和nn绝对收敛与条件收敛： (1)u1+u2+L+un+L，其中un为任意实数；(2)u1+u2+u3+L+un+L如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。 1(-1)n调和级数：n发散，而n收敛；1级数：n2收敛；时发散1p级数：npp1时收敛幂级数： - 11 - 1x1时，收敛于1-x1+x+x2+x3+L+x
21、n+Lx1时，发散对于级数(3)a0+a1x+a2x2+L+anxn+L，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全xR时发散，其中R称为收敛半径。x=R时不定1r0时，R=求收敛半径的方法：设liman+1=r，其中an，an+1是(3)的系数，则r=0时，R=+nanr=+时，R=0r函数展开成幂级数： f(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)=f(x0)(x-x0)+(x-x0)+L+(x-x0)n+L2!n!f(n+1)(x) 余项：Rn=(x-x0)n+1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn=0n(n+1)!f(0)2f(n)(0)nx0=0时即为麦克劳林公式
22、：f(x)=f(0)+f(0)x+x+L+x+L2!n!一些函数展开成幂级数： m(m-1)2m(m-1)L(m-n+1)nx+L+x+L(-1x1)2!n! 2n-1x3x5xsinx=x-+-L+(-1)n-1+L(-x0) 两个相等实根(p2-4q=0) 一对共轭复根(p2-4q0) (*)式的通解 y=c1er1x+c2er2x y=(c1+c2x)er1x y=eax(c1cosbx+c2sinbx) r1=a+ib，r2=a-ib4q-p2 pa=-，b=22二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy=f(x)，p,q为常数f(x)=elxPm(x)型，l为常数；f(x)=elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx型 - 15 -
