《超几何分布的期望和方差详细证明.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《超几何分布的期望和方差详细证明.docx（9页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、超几何分布的期望和方差详细证明超几何分布的期望和方差 山西大学附属中学 韩永权 hyq616 一般地，在含有M 件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件 kn-kCMCN-MX=k发生的概率为P(X=k)=,k=0,1,2,nCN,m, 其中m=minM,n，且nN,MN,n,M,NN*称分布列 x 00 1 nn-1mm p CMCN-MCnNCMCN-MCnN1CMCN-MCnNn-m为超几何分布列如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布，记作：XH(n,N,M) 口诀记忆： 总N ，次M， 取n M N1 求证：X的数学期望E(X)=nE
2、(X)=k=0mkCMCN-Mkn-kC0nN=1C1nN(0CMCN-M+1CMCN-M+n1n-1+kCMCN-M+kn-kmCMCN-M) mn-mn-11n-2k-1=CnN(MCM-1CN-M+MCM-1CN-M+(CM-1CN-M+CM-1CN-M+n-1N-10n10n-11n-2k-10+MCM-1CN-M+n-km-1n-mk-1n-kMCM-1CN-M)m-1n-m =MCMnnN+CM-1CN-M+n-1mCM-1CN-M) n-mn=CC (由CMCN-M+CMCN-M+CMCN-M=CN得) NMM E(X)=n 和二项分布的期望E(X)=np一致 NNMMN-n(1
3、-)2 X的数学方差:D(X)=n NNN-1=n22证明：由D(X)=EX-(EX)=k=0mk2CMCN-Mkn-kCn-(nNM2) NEX2=11CnN(02CMCN-M+12CMCN-M+0n-11n-20n1n-1+k2CMCN-M+kMCM-1CN-M+n-km-1n-mk-1n-kkn-km2CMCN-M)mMCM-1CN-M)m-1n-mmn-m=CCnN(1MCM-1CN-M+2MCM-1CN-M+(CM-1CN-M+CM-1CN-M+0n-11n-2=MnN0n-11n-2+CM-1CN-M+k-1n-kk-1CM-1CN-M) (m-1)CM-1CN-M)kMm-1n-m+(0CM-1CN-M+1CM-1CN-M+k-1=MCnNCN-1+(M-1)CN-2=n-1n-2nMn(n-1)M(M-1)+ NN(N-1)D(X)=EX2-(EX)2=MMN-nnMn(n-1)M(M-1)M+-(n)2=n(1-) NNN-1NN(N-1)N和二项分布的方差D(X)=np(1-p)相比，多了一项 N-nN-n1 ，当n时，N-1N-1
