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1、量子力学讲义第五章第五章 中心力场 5.1 中心力场中粒子运动的一般性质 一、角动量守恒与径向方程 设质量为m的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为： v2ph22H=+V(r)=-+V(r)， 2m2mvvv$ul=rp与经典力学中一样，角动量也是守恒量，即 vl,H=0 Q =0 lt2$h12lH=-r+V(r) 222mrrr2mrv22$z=0；ll,l,H=0； 2(v$z构成力学量完全集，存在共同本征态； H,l2,l)2h21$l2定态薛定谔(能量本征方程)：-+V(r)y=Ey r+222mrrr2mr上式左边第二项称为离心势能，第一项称为径向动能算符。 ,l$2,l$
2、z共同本征态，即：y(r,q,j)=R(r)Y(q,j) 取y为Hllm2$z共同本征态：l=0,1,2,.，m=0,1,2,.,l l,lYlm(q,j)是$()()2m(E-V)l(l+1)2dd2分离变量：+2Rl+Rl-Rl=0 22rdrdrhrd22dRl2m(E-V(r)l(l+1)径向方程可写为：2Rl+-Rl=0，l=0,1,2,. (1) 22drrdrhr为求解径向方程，引入变换：Rl(r)=cl(r)r； 2m(E-V(r)l(l+1)d2径向方程简化为：2cl+-cl=0 (2) 22drhr不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数Rl(r)或cl(
3、r)，它们由中心势V(r)的性质决定。一般而言，中心力场中粒子的能级是2l+1重简并的。 在一定边条件下求解径向方程(1)或(2)，即可得出能量本征值E。对于非束缚态，E是连续变化的。对于束缚态，则E取离散值。在求解径向方程时，由于束缚态边条件，将出现径向量子数nr， 1 二、 径向波函数在r0邻域的渐近行为： 2d22dRl2mr(E-V(r)l(l+1)Rl+-Rl=0 dr2rdrr2h2r2假定V(r)满足：limrV(r)=0 r02薛定谔方程在r0邻域表示为： d22dRll(l+1)R+-Rl=0； (3) l22drrdrr在正则奇点r=0邻域，设Rl(r)rs，代入(3)式，
4、得： s(s-1)rs-2+2srs-2-l(l+1)rs-2=0； s(s+1)=l(l+1) 解出：s1=l，或s2=-(l+1)， 即当r0时,R1rl或R2r-(l+1) 根据波函数平方可积条件，因此要求：r0时，Rlrl的解才是物理上可以接受的。或等价地，要求径向方程(2)的解c(r)=rRl(r)满足 limcl(r)=0 r0三、两体问题化为单体问题 两个质量分别为m1和m2的粒子，相互作用V(r1-r2)只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程为： vvh22h22vvvvvv-1-2+V(r1-r2)Y(r1,r2)=ETY(r1,r2) (5) 2m12m2vvET为
5、体系的总能量。引入质心坐标R和相对坐标r vvvm1r+mr122 R= m1+m2vvv r=r1-r2 可以证明 121212121+2=R+ m1m2Mmm1m2约化质量或折合质量 m1+m2其中M=m1+m2体系的总质量，m=2222222+2+2，=2+2+2 二粒子体系的能量本征方程(5)化为： 2 h22h22-R-+V(r)Y=ETY (6) 2M2m此方程可分离变量，令 vvY=f(R)y(r) 代入(6)式，得 vh22v-Rf(R)=ECf(R) (7) 2Mh22vvv-+V(r)y(r)=Ey(r) E=ET-EC (8) 2m式(7)描述质心运动，是能量为EC的自由
6、粒子的能量本征方程，EC是质心运动能量。即质心按能量为EC的自由粒子的方式运动，f(X,Y,Z)就是平面波。这没有提供与体系内部状态有关的任何信息。 式(8)描述相对运动，E是相对运动能量。可以看出式(8)与单粒子能量本征方程(4)形式上相同，只不过应把m理解为约化质量，E理解为相对运动能量。 5.4 氢原子 氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在它的周围有一个电子绕着它运动(r10-8cm)。它与电子的库仑吸引能为 e2V(r)=- r这是一个两体问题。 按5.1节(8)式，具有一定角动量的氢原子的径向波函数cl(r)=rRl(r)满足下列方程： 2md2e2l(l+1)cl+2E+-cl=
7、0 (1) 22drrrh及边条件 cl(0)=0 式中m为电子的约化质量，m=mempme+mp，me和mp分别为电子和质子的质量。书本采用自然单位，即在计算过程中令h=e=m=1，而在计算所得的最后结果中按各物理量的量纲添上相应的单位。 2md2e2l(l+1) 2cl+2E+-cl=0 (1) 2drhrrr=0,是微分方程的两个奇点。 l(l+1)d2cl=0；cl(r)rl+1，或cl(r)r-l r0时，2cl-2drr只有c(r)=rRl(r)0是满足要求的，所以r0，cl(r)rl+1 3 d22mEr时，2cl+2cl=0，考虑束缚态，E0 drhcl(r)ebr，b=2mE
8、h2，考虑到平方可积性，cl(r)e-br； 试探解为：cl(r)=rl+1e-brul(r)，代入径向薛定谔方程，并化简： me2rul(r)+2(l+1)-2brul(r)-2(l+1)b-h2ul(r)=0 变量变换：x=2br， d2udume2得到：x+2(l+1)-x-l+1-2u=0 2dxdxbh即径向薛定谔方程化为合流超几何方程，合流超几何方程的一般形式： d2udux2+(g-x)-au=0， dxdxme2参数：g=2(l+1)2，a=l+1-； bh2a(a+1)x2a解的一般形式：u=F(a,g,x)=1+x+.=bnxn， gg(g+1)2!nbn=a(a+1)(a
9、+1)(a+n-1)1b1x， n时，n+1，无穷级数解：F(a,g,x)e发散bnng(g+1)(g+2)(g+n-1)n!；为获得收敛解，级数必须中断为有限项；由解的一般形式，a=0,-1,-2,.即可满足中断条件； me2即：a=l+1-=-nr，nr=0,1,2,. 2bhme2=l+nr+1=n， l=0,1,2,.，nr=0,1,2,.，n=1,2,. 2bh2mEnme2m2e422=n，b=24； 即：22bhhnh一、氢原子的能级 2e21氢原子的能量本征值：En=-22=-， (2) 22hn2anoh2=0.53A，主量子数：n， 玻尔半径：a=2meme41二、氢原子的
10、波函数 4 与En相应的径向波函数Rl(r)=cl(r)r可表示为 Rnlxle-x/2F(-nr,2l+2,x) 归一化的径向波函数为 Rnl(r)=Nnlxle-x/2F(-n+l+1,2l+2,2x)，x=Nnl=2r na1(n+1)!l+3/2(2bn)a03/2 (2l+1)!2n(n-l-1)!20Rnl(r)r2dr=1 氢原子的束缚态能量本征函数为 ynlm(r,q,j)=Rnl(r)Ylm(q,j) n=1,2,3,K；l=0,1,2,K,n-1；m=0,1,2,K,l。 、l2和l的共同本征函数。 定态波函数ynlm(r,q,j)=Rnl(r)Ylm(q,j)是氢原子体系
11、HzvHEnv l2ynlm(r,q,j)=l(l+1)h2ynlm(r,q,j) mhlz能级简并度 电子的能级En只与主量子数n有关，而波函数ynlm却与三个量子数n，l，m有关，因此能级En是简并的。给定n，l可能0,1,2,K,n-1共n个；给定l，m可取0,1,2,K,l共(2l+1)个。因此，对应于第n个能级En的波函数就有 (2l+1)=l=0n-11+2(n-1)+1n=n2 22个，也就是说，电子的第n个能级是n度简并的。 例1、设氢原子处于状态 y(r,q,j)=13y100+12y211+16y32-1=13R10Y00+12R21Y11+16R32Y2-1 求氢原子能量
12、、角动量平方、角动量z分量的可能值及其几率，并求其平均值。 三、氢原子核外电子的几率分布 当氢原子处于ynlm态时，在(r,q,j)点周围的体积元dt=rsinqdrdqdj内发现电子的几率为 * dW=rnlm(r,q,j)dt=ynlm(r,q,j)dt=ynlmynlmdt 22人们常常形象地把这个几率分布叫做“几率云”或“电子云” 1、在(r, r+dr)球壳中找到电子的几率径向分布 5 dW(r)=rnl(r)dr=0p2p0yr2sinqdrdqdj 22=p02p0RnlYlmr2sinqdrdqdj=Rnlr2dr2p02p0Ylmsinqdqdj 222=Rnl(r)r2dr
13、=cnl(r)dr 2即，rnl(r)=Rnl(r)r2称为径向几率密度或径向分布函数。 使rnl(r)取最大值的半径称为最可几半径。 例子： 氢原子处于基态y100=R10Y00，求最可几半径。 解： r10=R1024r2-a02r=3e a02r令dr10=0 dr2r2r2rdr108r-a024r2-a08r-a0r =3e-e=e(1-)=0 33dra0a0a0a0a0 r=0,a0, 经检验r=a0时wnl(r)为最大值 所以r=a0是最可几半径 讨论： 、旧量子论与量子力学 不同之处：电子在核外作轨道运动 由于电子的波粒二象性使轨道概念失去了意义，氢原子 核外电子是以几率 分
14、布的形式出现。 联系之处：当氢原子处于1s ,2p,3d, 态时，旧量子论认为电子运动的轨道半径分别为a,4a,9a，而量子力学计算的结果表明，当r分别为a, 4a, 9a时找到电子的几率最大。对于ln-1态很难找到相似之处。 h2、氢原子的第一玻尔轨道半径a=，从量子力学几率分布的观点解释a的物理意义，并与玻尔的2me旧量子论的解释相比较： 当氢原子处于1s态时，在r=a处找到电子的几率最大，在ra的区域仍有电子分布，只不过几率较小而已。而玻尔的旧量子论却认为当氢原子处于1s态时，核外电子绕原子核作轨道运动，其轨道半径为a。显然这两种图象是截然不同的。 2、在(q,j)方向的立体角dW=sinqdqdj中找到电子的几率角向分布 dW=rlm(q,j)dW=r=0Rnl(r)Ylm(q,j)r2drdW 22 =Ylm(q,j)dW 6 2 =NlmPl2m(cosq)dW m2 rlm(q)=Ylm(q,j) 角向几率分布 Ylm(q,j)=NlmPl =N2lm(cosq)eimj Pl(cosq) m2可见，角分布与j无关，即几率分布对z轴是旋转对称的。 四、类氢离子 以上结果对于类氢离子也都适用。但需把核电荷+e换为+Ze，而m换为相应的约化质量。特别是类氢离子的能级公式为 En=- me4Z22hn22，n=1,2,3,L 7
