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1、错排公式 错排公式 问题： 十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？ 这个问题推广一下，就是错排问题，是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。 错排问题最早被尼古拉伯努利和欧拉研究，因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。这个问题有许多具体的版本，如在写信时将n封信装到n个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况？又比如四人各写一张贺年卡互相赠送，有多少种赠送方法？自己写
2、的贺年卡不能送给自己，所以也是典型的错排问题。 1.递推的推导错排公式 当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示，那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推. 第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法； 第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法；第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法； 综上得到 D(n) = (n-1) D(n-2) +
3、D(n-1) 特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1. 下面通过这个递推关系推导通项公式： 为方便起见，设D(k) = k! N(k), k = 1, 2, , n, 则N(1) = 0, N(2) = 1/2. n 3时，n! N(n) = (n-1) (n-1)! N(n-1) + (n-1)! N(n-2) 即 nN(n) = (n-1) N(n-1) + N(n-2) 于是有N(n) - N(n-1) = - N(n-1) - N(n-2) / n = (-1/n) -1/(n-1) -1/(n-2)(-1/3) N(2) - N(1) = (-1)n / n!. 因此 N(n-
4、1) - N(n-2) = (-1)(n-1) / (n-1)!, N(2) - N(1) = (-1)2 / 2!. 相加，可得 N(n) = (-1)2/2! + + (-1)(n-1) / (n-1)! + (-1)n/n! 因此 D(n) = n! (-1)2/2! + + (-1)(n-1)/(n-1)! + (-1)n/n!. 此即错排公式。 2.容斥原理 用容斥原理也可以推出错排公式： 正整数1, 2, 3, , n的全排列有 n! 种，其中第k位是k的排列有 (n-1)! 种；当k分别取1, 2, 3, , n时，共有n*(n-1)!种排列是至少放对了一个的，由于所求的是错排的
5、种数，所以应当减去这些排列；但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次，应补上；在补上时，把同时有三个数不错排的排列多补上了一次，应排除；继续这一过程，得到错排的排列种数为 D(n) = n! - n!/1! + n!/2! - n!/3! + + (-1）n*n!/n! = (k=2n) (-1)k * n! / k!, 即D(n) = n! 1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! + . + (-1)n/n!. 其中，表示连加符号，k=2n是连加的范围；0! = 1，可以和1!相消。 3.简化公式 错排公式的原形为D(n) = n! (1/0! - 1/1!
6、+ 1/2! - 1/3! - . + (-1)n/n!)，当n很大时计算就很不方便。一个供参考的简化后的公式是D(n) = n!/e+0.5 ，其中e是自然对数的底，x为x的整数部分。 证明： 由于1/e = e(-1) = 1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! - . + (-1)n/n! + Rn(-1), 其中Rn(-1)是余项，等于(-1)(n+1) * eu / (n+1)!，且u(-1, 0). 所以，D(n) = n! * e(-1) - (-1)(n+1) * eu / (n+1), u(-1, 0). 而|n! Rn| = |(-1)(n+1) * eu / (n+1)| = eu / (n+1) (1/e(n+1), 1/(n+1)，可知即使在n=1时，该余项也小于1/2。 因此，无论n! Rn是正是负，n! / e + 1/2的整数部分都一定与M(n)相同。 对于比较小的n，结果及简单解释是： D(0) = 1 D(1) = 0 D(2) = 1 D(3) = 2 D(4) = 9 D(5) = 44 D(6) = 265 D(7) = 1854 D(8) = 14833 D(9) = 133496 D(10) = 1334961
