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1、高等数学第二章练习题第二章 导数与微分 一、选择题 1若f(x)在x0处不连续，则f(x)在x0处( ). (A)极限不存在； (B)可导； (C)不一定可导； (D)不可导. 2f(x)在x0处的左、右导数都存在是f(x)在x0处可导的( ). (A)充分条件； (B)必要条件； (C)充要条件； (D)非充分也非必要条件. 3若f(a)存在，则limxaxf(a)-af(x)=( ). x-a(A)f(a)； (B)af(a)； (C)-af(a)； (D)f(a)-af(a). 1-cosx,x04设f(x)=,其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0 处( ). xx2g(x),x0
2、(A) 极限不存在； (B) 极限存在但不连续； (C) 连续但不可导； (D) 可导. x01,25设f(x)=1-x,0x0)，则y=( ). (A) xsinx-111； (D) -. kksinx； (B) cosxlnx+1sinxcosx； x(C) xsinx(cosxlnx+sinx)； (D) xsinxlnx. x13设y=arcsin(cosx)，则y=( ). (A) -1； (B) 11sinx； (C) -； (D) . 2sinxsinx1-cosx(10)14设y=sinx，则y=( ). (A) sinx； (B) -sinx； (C) cosx； (D) -
3、cosx. (10)15设y=xlnx，则y=( ). (A) 18!18!- ； (B) ； (C) ； (D) . x9x9x9x9xex,x016设f(x)=，则f(x)在x=0处( ). x,x0时，在x0处dy是( ). 2第二章 导数与微分 (A) 与Dx等价的无穷小； (B) 与Dx同阶但不等价的无穷小； (C) 比Dx高阶的无穷小； (D) 比Dx低阶的无穷小 二、填空题 1设j(x)在x=0处连续，则y=f(x)=xj(x)在x=0处y= 2已知f(3)=2，则limh0f(3-h)-f(3)= 2hf(x)=1，则f(0)= x0sin2x3设f(x)在x=0的某邻域内连续
4、，且f(0)=0，lim4曲线y=lnx上，点M(e,1)处的切线方程是 5设y=xsin(lnx)，则y= 6设y=arctan1，则y= x7设y=cosarcsinx3，则y= 228设y=xln(x+1+x2)，则y= 9设y=xarcsinx,10设f(t)=limt(1+x(0x1)，则y= 12tx)，则 f(t)= xdy= dxx11设y=y(x)由方程xsiny+ye=0所确定，则12若f(x)=sinx，则dff(x)= dxdyx=1+t= 13设，则dxy=1-t第二章 导数与微分 tx=esin2t14设，则曲线上点M(0,1)处的法线方程是 ty=ecost2d2
5、yx=at15设 (a，b为常数)，则= 23dxy=bt16设f(x)=(x-a)2j(x)，其中j(x)连续，则f(a)= 17设y=y(x)由方程ey+6xy+x2-1=0确定，则y(0)= 18dln(x+1+x2)= d(1+x2) 三、综合题 1设F(x)在点a处连续，是F(a)0,则下列函数在x=a处是否可导？ (1) f(x)=(x-a)F(x) (2) f(x)=x-aF(x) x0x,2讨论函数f(x)=在x=0处是否可导？ ln(1+x),x03求下列函数的导数 xx020设f(x)=ex,g(x)=sinx，求fg(x)+fg(x). 1+x-1,x0f(x)=21设，
6、证明在x=0处，f(x)连续，但不可导. x0,x022设f(x)=arcsinx，证明f(x)满足. 23若曲线y=x2+ax+b和2y=-1+xy3在点M(1,-1)相切，求常数a,b. td2yx=te24设t，求ydx2e+e=2. t=0f(x),x025设f(x)在x=0处可微，且f(0)=0，证明函数g(x)=x在x=0处连续. f(0),x=02226设f(x)在(-,+)内可导，且F(x)=f(x-1)+f(1-x) 证明F(1)=F(-1).第二章 导数与微分 一、选择题 1. D； 2. B； 3. D； 4. D； 5. C； 6. C； 7. A； 8. D； 9.
7、C； 10. B； 11. D； 12. C； 13. C； 14. B； 15. C； 16. A； 17. B. 二、填空题 1.j(0)； 2.-1； 3.2； 4.x-ey=0； 5.sin(lnx)+cos(lnx)； 6.-11x2-； 7. ； 8. ； ln(x+1+x)+221+x21+xsiny+yex9.arcsinx+；10.(1+2t)e； 11.-； 12.cos(sinx)cosx； xxcosy+e21-xx2t13.-x； y3b1-2； 16.； 17.； 18. 2j(a)4a2tx14.2x+y=1； 15. 三、综合题 1.解：(1)Qlimxaf(x
8、)-f(a)(x-a)F(x)=lim=F(a)， xax-ax-a f(x)在x=a处可导，且f(a)=F(a). (2)Qf-(a)=lim-(x-a)F(x)(x-a)F(x)=-F(a)，f+(a)=lim=F(a)， xaxa+x-ax-a又QF(a)0，f(x)在x=a处不可导. 2.解：Qf-(0)=lim-x0xln(1+x)=1，f+(0)=lim=lne=1 +x0xxf(x)在x=0处可导，且f(0)=1. ex,x0ex,x0第二章 导数与微分 (2) 当x0时，f(x)=sin111-cos，当x=0时，limx0xxxxsin1x=limsin1不x0xx存在，f(
9、x)在x=0处不可导.f(x)=sin111-cos，x0. xxx4.解：(1) y=3-2(2-x)+2x4. =3-(2-x)2(2-x)21=xn-1(nlnx+1). xn-1n (2) y=nxlnx+x- (3) y=11(1+lnx)-(1-lnx)-2xx=. (1+lnx)2x(1+lnx)2 (4) y=sinx+xcosx-sinx=xcosx. 2(x+4)(x+3)-(x+4)2(x+4)(x+2)5.解：(1) y=. 22(x+3)(x+3) (2) y=2x. (3)y=-nxn-1sinxn 2x-2n-16.解：(1) y=nsinxcosx. nn-1n
10、-1 (2) y=ncosnxcosx-nsinnxcosxsinx=ncosxcos(n+1)x. 1xxsec2cos1112=12= (3) y=2=cscx. xxxxxsinx22cossintancos2sin22222 (4) y=3xsin7.解：(1) y=-e-x211-1112+x3cos=3xsin-xcos. xxx2xxcos3x-3e-xsin3x=-e-x(cos3x+3sin3x)； 1-1 (2) y=2ex x (3) y=3x+3ln3； (4) y=1-x-22xx21-x2+11-x2=2-2x21-x2=21-x2. 第二章 导数与微分 8.解：(
11、1)y=(exlnlnx)=exlnlnx(lnlnx+x111)=(lnx)x(lnlnx+). lnxxlnx (2)y=-sinln(1+2x)2-2=sinln(1+2x). 1+2x1+2x121x (3)y=f(arcsin)=-x1x1-2x- (4)令u=11f(arcsin). xx2-1111-1，则有f(u)=，从而，f(x)=，f(x)=. 1+u1+xx(1+x)29.解：(1)取对数xlny=ylnx，对x求导得 y-lnyxdydyydyxy2-xylny lny+. =lnx+, =2ydxdxxdxxx-xylnx-lnxydydydyex+y-yx+y=e(
12、1+)，得= (2)y+x. x+ydxdxdxx-edy3-3t23(1+t)dy=10.解：，dxdx2-2t2t=1x=1=3，且当t=1时 y=2 切线方程：y-2=3(x-1)即3x-y-1=0， 法线方程：y-2=-1(x-1)即x+3y-7=0 311.解：dx=2(3t+1)， dty对方程esint-y+1=0两边对t求导得， eydydysint+eycot-s=，0 dtdtdyeycostdyeycost1=解得，所以. =dt1-eysintdx1-eysint2(3t+1)当t=0时，y=1，故dye=. dxt=02第二章 导数与微分 12.解：方程对x求导，2x
13、+2y+2xdydydydy4-2x-2y+2y-4-5=0解得， =dxdxdxdx2x+2y-5 已知直线的斜率为-24-2x-2y2.从而 =- 解得y=1-x代入曲线方程得32x+2y-532,于是切线方程为3x=1，此时y=0.即曲线上点P(1,0)处切线的斜率为-2y=-(x-1), 3 即2x+3y-2=0 13.解：y=lnx+1,y=1. xdydyx+yy-xdxdydydxy-xx+y222ydx， 右=x+y=dx 14.解：对x求导: 左 =222222xx+yx+y2x+y1+2y从而 y-xdydydyy-x=x+y 得 =dxdxdxx+ydydydy-1)(x
14、+y)-(y-x)(1+)2x-2ydydxdxdx= dx2(x+y)2(x+y)22(2x =y-x-2y2x+y=-. (x+y)2（x+y)3dyetcost-etsintcost-sint=15.解： dxetsint+etcostsint+costd2y(-sint-cost)(sint+cost)-(cost-sint)(cost-sint)t=/e(sint+cost)22dx(sint+cost)=-2(sint+cost)-2=.et(sint+cost)3et(sint+cost)322第二章 导数与微分 16.解：(1)y=x1-x2=12(11-x-11+x)，y(n
15、)=12n!(1-x)n+1-(-1)nn!(1+x)n+1. (2)y=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-12sin22x =1-121-cos4x2=34+14cos4x， y(n)=4n-1cos(4x+np2). 117.解：dy=2x1+xdx=12x(1+x)dx. 18.解：(1)由2ydy-2ydx-2xdy+6xdx-4dy=0 得：dy=y-3xy-x-2dx (2)由dysinx+ycosxdx+sin(x-y)(dx-dy)=0得dy=ycosx+sin(x-y)sin(x-y)-sinxdx 19.解：由已知f(x)在x
16、=0处连续，f(0)=f(0-)=1，f(0+)=b，b=1. =0处可导，feax-1eax又f(x)在x-(0)=limx0-x=alim-1x0-ax=a， b(1-x)2-1(1-x)2-1-2x+x2f+(0)=limx0+x=limx0+x=limx0+x=-2， 由f-(0)=f+(0)得，a=-2 20.解：fg(x)+fg(x)=eg(x)+eg(x)=esinx+ecosx 21.解：f(0+)=lim1+x-1xx0+x=limx0+x(1+x+1)=0=f(0-)=f(0) f(x)在x=0处连续 1+x-1而ff(x)-f(0)x+(0)=limx0+x-0=limx
17、0+=lim1xx0+x(1+x+1)=+，：第二章 导数与微分 即 f+(0)不存在，f(x)在x=0处不可导 22.解：f(x)=11-x22,f(x)=1x， 221-x1-x 于是 左边=(1-x)f(x)-xf(x)=(1-x2)x(1-x)1-x22-x11-x2=0=右边 23.解：yx=1=(2x+a)x=1=2+a，将曲线方程2y=-1+xy3对x求导得y3 y=22-3xy在M(1,-1)处，yx=1=-1=1，由2+a=1 得a=-1.又切点M(1,-1)在 2-3y=x2+ax+b上，得-1=1-1+b，即b=-1 dyetdxtttydyty=e+te，由e+e=2
18、对t求导得e+e=0得=-y 24.解：由x=te得dtdtdtetet-ydy1=tet=-y从而得 dxe+tee(1+t)-1ydyye(1+t)+eye(1+t)+eyddy-1+eye(1+t)dt=2y =2y22y22dtdxe(1+t)e(1+t)e(1+t)yd2y-1+eytt=(e+te)，当t=0时，x=0,y=0. 2y22e(1+t)dxd2y-1+1=(1+0)=0 1dx2t=025.证明：Qf(x)在x=0处可微,在x=0处可导，且 f(0)=limx0f(x)-f(0)f(x)=lim， x0x-0x 从而limg(x)=limx0x0f(x)=f(0)， x 即g(x)在x=0处连续 第二章 导数与微分 26.证明：由F(x)=f(x2-1)+f(1-x2) 得F(x)=f(x2-1)2x-2xf(1-x2)， 从而F(1)=2f(0)-2f(0)=0,F(-1)=-2f(0)+2f(0)=0， 即F(1)=F(-1)
