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1、第9章位移法,本章教学基本要求：掌握位移法的基本原理和方法；熟练掌握用典型方程法计算超静定刚架在荷载作用下的内力；会用典型方程法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力；掌握用直接平衡法计算超静定刚架的内力 本章教学内容的重点：位移法的基本未知量；杆件的转角位移方程；用典型方程法和直接平衡法建立位移法方程；用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力。本章教学内容的难点：对位移法方程的物理意义以及方程中系数和自由项的物理意义的正确理解和确定。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,本章内容简介:,9.1位移法的基本概念9.2等截面直杆的转角位移方程9.3位移法的基本未
2、知量 9.4位移法的基本结构及位移法方程9.5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力9.6用典型方程法计算超静定结构在支座移动和温度变化 时的内力9.7用直接平衡法计算超静定结构的内力*9.8混合法,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,9.1位移法基本概念,力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力法于十九世纪末开始应用，位移法建于上世纪初。结构：外因内力位移恒具有一定关系力 法以多余未知力为基本未知量，由位移条件建 立力法方程，求出内力后再计算位移。位移法以某些结点位移为基本未知量，由平衡条件 建立位移法方程，求出位移后再计算内力。,一、解决超静定问题的两
3、种基本方法的对比,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,力法适用性广泛，解题灵活性较大（可选用各种各样的基本结构）。,位移法在解题上比较规范，具有通用性，因而计算机易于实现。,位移法可分为：手算位移法 电算矩阵位移法,2.基本未知量不同，这是力法与位移法最基本的区别。,力 法：以多余未知力为基本未知量,位移法：以结点位移为基本未知量,1.优缺点,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,3.适用范围不同,力 法：超静定结构位移法：超静定结构，也可用于静定结构。一般用于结点少而杆件较多的刚架。,例：,All Rights Reserved,聊城大学建筑
4、工程学院,二、用位移法计算超静定结构的思路,例如：用位移法求解如图所示的刚架。1.为了使问题简化，作如下计算假定：1）在受弯杆件中，略去杆件的轴向 变形和剪切变形的影响。2）假定受弯杆两端之间的距离 保持不变。,由此可知，结点1只有转角Z1，而无线位移。因节点1为刚节点，汇交于结点1的两杆杆端也应有同样的转角Z1。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,忽略轴向变形,这两个结构都可以用力法求解,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,（1）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生各种位移时及荷载等因素作用下的内力,（2）确定以上结构的哪些位移作为基本未知量
5、,（3）如何求出这些位移?,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,荷载效应包括：内力效应：M、Q、N；位移效应：A,附加刚臂,Step1：附加刚臂限制结点位移，荷载作用下附加刚臂上产生附加力矩。,Step2：对结点施加产生相应的角位移，以实现结点位移状态的一致性。产生相应的附加约束反力。,实现位移状态可分两步完成,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,Step 3：叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；由于原结构没有附加刚臂：因此附加约束上的附加内力应等于0，按此可列出求解结点位移的基本方程。,A
6、ll Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,使结点1正好转动一个转角Z1时，使所加的附加约束不再起作用，其数学表达式为：R1=0 上式意义：外荷载和实际应有的转角Z1共同作用于基本结构时，附加约束反力矩为零（刚臂不起作用）。根据叠加原理，共同作用等于单独作用的叠加：R1R11R1P=0（a)R11为强制使结点发生转角Z1时 所产生的约束反力矩。R1P为荷载作用下所产生的 约束反力矩。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,为单位位移（转角Z11）产生的约束反力矩。上式的物理意义是，基本结构由于转角Z1和外荷载FP共同作用，在附加刚臂1处所产生的约束反力矩
7、总和等于零（使a,b两图叠加后附加刚臂不起作用）。由此方程可得：,可见，只要有了系数 r11及自由项R1P，Z1值很容易求得。,为了将式(a)写成未知量Z1的显式，将R11写为：式（a）变为：,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,为了确定上式中的 R1P 和 r11，可先用力法分别求出各单跨超静定梁在梁端、柱顶1处转动 Z1=1时产生的弯矩图及外荷载作用下产生的弯矩图。,求系数和自由项,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,r11,Z1=1,1）求r11和M1,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,P,R1P,MP图,2
8、）求R1P 和MP,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,现取 图、MP图中的结点1为隔离体，由力矩平衡方程，求出：,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,将这些结果代入位移法基本方程中解方程，即得,最后，根据叠加原理，即可求出最后弯矩图。,7.解方程，画内力图,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,1.在原结构产生位移的结点上设置附加约束，使结点固定，从而得到基本结构，然后加上原有的外荷载；.人为地迫使原先被“固定”的结点恢复到结构原有的位移。通过上述两个步骤，使基本结构与原结构的受力和变形完全相同，从而可以通过基本结构
9、来计算原结构的内力和变形。,综上所述，位移法的基本思路是：,M=R1P,R11=r11Z1=-R1P,固定节点使之不动,（a）,（b）,释放节点，使节点发生实际位移,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,9.2等截面直杆的转角位移方程,应用位移法需要解决的首要问题就是，要确定杆件的杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系(杆件的转角位移方程)。利用力法的计算结果，由叠加原理导出三种常用等截面直杆的转角位移方程。一、杆端内力及杆端位移的正负号规定,1、杆端内力的正负号规定,杆端弯矩：对杆端而言，以顺时针方向为正，反之为负。对结点或支座而言，则以逆时针方向为正，反之为负。杆端
10、剪力和杆端轴力的正负号规定，仍与前面规定相同。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,2、杆端位移的正负号规定,1）杆端转角（角位移）:以顺时针为正，反之为负。,2）线位移以杆的一端相对于另一端产生顺时针方向转动 的线位移为正，反之为负。例如，图中AB为正。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,二、单跨超静定梁的形常数和载常数,位移法中，常用到图示三种基本的等截面单跨超静定梁，它们在荷载、支座移动或温度变化作用下的内力可通过力法求得。,由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数。其中的杆端弯矩也常称为固端弯矩，用 和 表示；杆端剪力也常称为固端剪
11、力，用 和 表示。常见荷载和温度作用下的载常数列入表中(书P5)。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,由杆端单位位移引起的杆端内力称为形常数，见书P279，7-7式。表中引入记号i=EI/l，称为杆件的线刚度。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,三、转角位移方程,1、两端固定梁,由叠加原理可得：,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,2、一端固定另一端铰支梁,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,3、一端固定另一端定向支承梁,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,1）
12、两端固定梁,2）一端固定另一端铰支梁,3）一端固定另一端定向支承梁,应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超静定梁的杆端弯矩表达式，汇总如下：,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,用位移法求解超静定结构,例：试用位移法-直接平衡法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图。,解：1)基本未知量为刚结点B点的角位移Z1，基本体系如图（B）所示。,2)用转角位移方程写出个杆端内力如下（其中）,3)从原结构中取出图c隔离体，由平衡条件建立方程并求解。,由图c的平衡条件：得：,4)回代入2）得各杆端弯矩，并绘最后弯矩图。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工
13、程学院,9.3位移法的基本未知量,一、位移法的基本未知量据位移法思路：先锁住节点不动（角位移或线位移），再放松节点使之发生实际位移，最后叠加。所以，位移法选取结点的独立位移（独立角位移和独立线位移）作为其基本未知量，用广义位移Zi表示 二、确定位移法的基本未知量1、基本未知量的总数目位移法基本未知量的总数目（记作n）等于结点的独立角位移数（记作ny）与独立线位移数（记作nl）之和，即,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,2、结点独立角位移数,结点独立角位移数（ny）一般等于刚结点数加上组合结点（半铰结点）数。但须注意，1）当有阶形杆截面改变处的转角或抗转动弹性支座的
14、转角时，应一并计入在内作为基本未知量。2）至于结构固定支座或定向支座处，因其转角等于零或为已知的支座位移值；铰结点或铰支座处，因其转角不独立（也没必要），所以都不作为位移法的基本未知量。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,nY=4,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,3、结点独立线位移数,(1)先简化结构1）除特殊指明外，梁与刚架一般不考虑由于轴向变形引起的杆件的伸缩(假定1)2）不考虑由于弯曲变形而引起的杆件两端的接近(假定 2)因此，可认为这样的受弯直杆两端之间的距离在变形后仍保持不变，且结点线位移的弧线可用垂直于杆件的切线来代替,Al
15、l Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,把刚架所有刚节点、固定支座、抗转动弹性支座均改为铰结（及所有节点或支座中抗转动约束铰化），如果原体系有节点线位移则铰化后将变为几何可变体系，通过增设链杆使此可变体系变为几何不变体系（具体问题可根据下述“最终目的”增设）需要增设的最少链杆数即为原结构独立节点线位移数目。“最终目的”:是能够解出结构内力。一般增设目标：是找出所有节点中可能发生线位移的节点，通过增设支杆使之沿此方向不动，即增设支杆后使所有节点在任意方向上都没有线位移,(2)节点线位移确定方法铰化结点，增设链杆,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,Al
16、l Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,3、两点说明,说明1：当刚架中有需要考虑轴向变形（）的 二力杆时则考虑二力杆的轴向变形。,例如：下图结构要求考虑水平直杆的轴向变形，,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,说明2：当刚架中有刚性杆时()的情况,1)刚性杆两端的刚结点转角，可不作为基本未知量。因为若该杆两端的线位移确定了，则杆端的转角也就随 之确定；2)若刚性杆为竖直柱，则与基础相连的刚性柱可视为地基 扩大的刚片处理(即：对其它相连杆件的约束作用相当 于固定支座或固定铰支座)。3)刚性杆
17、与基础固结处以及与其他刚性杆刚结处，在“铰 化结点”时此类结点均不改为铰结，以反映刚片无任何 变形的特点。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,综上所述，对于有刚性杆的刚架:1）ny等于全为弹性杆汇交的刚结点数与组合结点数之和2）nl等于使仅将弹性杆端改为铰结的体系成为几何不变 所需增设的最少链杆数。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,n=n y+n l=2+1=3,a)原结构及其基本未知量,b)“铰化结点，增设链杆”,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,例1、求图示结构的超静定次数和位移法基本未知量 数目分别为（
18、）,（A）4；3（B）4；4（C）5；3（D）5；4,三、求位移法基本未知量举例,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,n=ny+nl=0+1=1,(若:EI1=),(若:EI1),n=ny+nl=2+1=3,基 本 结 构,例2：,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,n=ny+nl=7+3=10,基 本 结 构,例3：节点任意方向的线位移都作为基本未知量,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,刚架有组合结点,例4：,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,刚架有内力静定的杆件,“铰化节点、增设链杆
19、”根据“最终目标”施加链杆，不再是变为“几何不变体系”这个一般目标。E点竖向位移不独立，可以作为基本未知量，但没必要,例5：,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,用位移法计算桁架结构,位移法解决桁架结构未知量数目较多，手算可算但不具有优势，一般机算可；手算一般采用力法。,例6：,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,A,B,C,D,E,F,原 结 构,A,B,C,D,E,F,基 本 结 构,A,B,C,D,2,1,3,n=ny+nl=2+1=3,原 结 构,铰化节点，增设链杆,例7：
20、,例8：,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,9.4位移法的基本结构及位移法方程,一、位移法的基本结构,位移法的基本结构就是通过增加附加约束（包括附加刚臂和附加支杆）后得到的三种基本超静定杆的综合体。1）所谓附加刚臂，就是在每个可能发生独立角位移的刚结点和组合结点上，人为地加上一个能阻止其角位移(但并不阻止其线位移)的附加约束，用黑三角符号“”表示。2）所谓附加支杆，就是在每个可能发生独立线位移的结点上沿线位移的方向，人为地加上的一个能阻止其线位移的附加约束。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,a)原结构及其基本未知量,b)基本结构,All
21、 Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,二、位移法的基本体系,图a所示刚架的基本未知量为结点A的转角Z1。在结点A加一附加刚臂，就得到位移法的基本结构（图b）。同力法一样，受荷载和基本未知量共同作用的基本结构，称为基本体系（图c）。,a)原结构,c)基本体系,b)基本结构,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,d)锁住结点,三、位移法方程,1）基本未知量只有节点A的角位移Z1，n=1.2）基本体系如图。3）基本结构在结点位移Z1和荷载共同作用下，刚臂上的反力矩F1为零（图c）由此建立方程：,c)基本体系,（一）无侧移结构以一个基本未知量为例,e)放松结点
22、,4iZ1,4iZ1,2iZ1,2iZ1,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,式中，F11表示广义位移Z1所引起的刚臂内的附加力矩;F1p表示广义荷载FP或非荷载因素引起的刚臂内的附加力矩第一个下标 i 表示该第 i 个附加约束(未知量)的位置或方向,第二个下标表示引起反力矩的原因。设 k11 表示由单位位移 Z1=1 所引起的附加刚臂上的反力矩，则有：F11=k11Z1，代入上式，得：即为一个未知量的位移法基本方程，其实质是平衡条件。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,4）求出系数k11和自由项F1P，可利用型常数表和载常数表7-1，在基
23、本结构上分别作出荷载作用下的弯矩图（MP图）和 Z1=1引起的弯矩图（图）。再利用节点平衡关系求出系数 k11和自由项 F1P.,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,在图 中取结点A为隔离体，由，得,在MP图中取结点A为隔离体，由，得,注意：刚臂内的反力矩以顺时针为正。,MP图,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,将k11和F1P的值代入上式，解得,结果为正，表示Z1的方向与所设相同。5）结构的最后弯矩可由叠加公式计算，即,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学
24、院,例：图示刚架的基本未知量为结点C、D的水平线位移Z1。在结点D加一附加支座链杆，就得到基本结构。基本体系如图所示，它的变形和受力情况与原结构完全相同。,（二）只有侧移结构以一个基本未知量为例,基本结构,基本体系,基本结构在结点位移Z1和荷载共同作用下，链杆上的反力F1必定为零（图c）由此建立位移法方程：,K11为Z1=1时引起的链杆内的力；F1P 为荷载P引起的链杆内的力,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,分别在MP图和M1图中，要想求链杆内的力需截取两柱顶端以上部分为隔离体，如上图所示，由剪力平衡条件：得,a)MP图(kNm),b)M1图(1/m),c)M图(
25、kNm),分别作在Z1=1和荷载作用下的结构的内力图，如下图。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,将k11和F1P的值代入位移法方程式，解得,结构的最后弯矩图可由叠加公式 计算后绘制。,M图,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,（三）有侧移结构（一般结构）的典型方程,以图(a)所示刚架为例，阐述在位移法中如何建立求解基本未知量的典型方程。1、确定位移法基本未知量：基本未知量为:Z1、Z2。2、选取位移法基本体系：如图(b)所示3、将原结构的变形根据变形协调进行 分解，为以下三种变形的叠加：,(b)基本体系,1,2,3,4,=,Z1,Z2,R
26、1,=0,R2=0,P,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,2,1,3,4,P,R2P,R1P,=,Z1,R21,1,3,4,2,R11,1,2,3,4,R22,R12,Z2,1）将可能发生位移的节点全锁住，求荷载P引起的局部变形。锁住 Z1和Z2，使1节点不转动且横梁也不水平移动。2）释放1节点此时仍然锁住Z2。使1节点产生实际位移Z1（基本 未知量），此时在1节点处需施加力R11，对应的变形为实际 位移Z1单独引起的变形。3）再释放Z2，此时要锁住Z1，使2节点或水平梁产生实际位移Z2（基本未知量），此时需在2节点处需施加力R22，对应的变形 为实际位移Z2单独引
27、起的变形。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,4：用力的平衡条件建立位移法典型方程。原结构分解前与分解后再叠加应使结构节点处所受的力相同：在1节点处没有刚臂约束，无外力矩，则应满足：R1=0；在2节点处无水平链杆，无水平外力，则应满足：R2=0。即：,P,P,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,R1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0,式中第一个下标表示该反力的位置，第二个下标表示引起该反力的原因。,设以 r11、r12分别表示由单位位移：Z1=1、Z2=1所引起的刚臂上的反力矩；以r21、r22分别表示由单位位移Z
28、1=1、Z2=1所引起的所引起的链杆上的水平反力，则上式可写成:,r11Z1+r12Z2+R1P=0r21Z1+r22Z2+R2P=0,这就是求解Z1、Z2的方程即位移法基本方程(典型方程)。它的物理意义是：基本结构在荷载等外因和结点位移（基本未知量）的共同作用下，每一个人为增设的附加约束中的附加反力或反力矩都应等于零(，即附加约束实际上不起作用，为静力平衡条件)。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,对于具有 n 个独立结点位移的刚架，同样可以建立 n 个方程：,r11Z1+r1iZi+r1nZn+R1P=0ri 1Z1+ri iZi+ri nZn+Ri P=0rn
29、1Z1+rniZi+rnnZn+RnP=0,(71）,此为具有n个基本未知量的位移法典型方程。式中：rii 称为主系数，主系数恒为正；rij(ij)称为副系数；RiP称为自由项。副系数和自由项可能为正、负或零。据反力互等定理得副系数 rij=rji(ij)。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,由于在位移法典型方程中，每个系数都是单位位移所引起的附加约束中的反力(或反力矩)，显然，结构刚度愈大，这些反力(或反力矩)愈大，故这些系数又称为结构的刚度系数。因此位移法典型方程又称为结构的刚度方程，位移法也称为刚度法。,5、典型方程中的系数和自由项的计算1）可借助于形常数和载
30、常数(公式7-7和表7-1)，绘出基本结 构在Z1=1、Z2=1、Zi=1、Zn=1以及荷载（或温变等）作 用下的弯矩图：M1、M2、Mi、Mn和MP；2）对各图再利用隔离体法求各基本未知量Zi处附加约束中的 反力（或反力矩）即为各系数和自由项。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,借助于型常数和载常数绘出基本结构在 以及荷载作用下的弯矩图 和MP图：,对上例：计算典型方程中的系数和自由项，,1,3,4,1,3,4,2,1,3,4,2,4i,2i,3i,P,MP图,系数和自由项可分为两类：1）附加刚臂上的反力矩 r11、r12和R 1P；2）附加链杆上的反力 r21、
31、r22和R2P。,r21,r22,R2P,(a),(b),(c),r21,R 1P,r12,r11,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,1,3,4,2,4i,2i,3i,r21,(a),r21,r11,基本结构在 作用下附加刚臂及附加链杆的反力。,由1结点平衡条件得：,由12部分平衡条件得：,单位位移Zi=1作用下附加反力（刚度系数）的计算,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,对于附加刚臂上的反力矩 r11、r12和R 1P：可分别在图(a)、(b)、(c)中取结点1为隔离体，由力矩平衡方程M1=0求得：r11=7i，r12=-6i/l，R1
32、P=PL/8,1,1,1,3i,4i,0,R1P,0,1,3,4,1,3,4,2,1,3,4,2,4i,2i,3i,P,MP图,r21,r22,R2P,(a),(b),(c),r11,r12,R 1P,r12,r11,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,。,对于附加链杆上的反力r21、r22 和R2P：可分别在图(a)、(b)、(c）中用截面法割断两柱顶端，取柱顶端以上横梁部分为隔离体，由表7-1查出杆端剪力，由方程X=0求得：,1,3,4,2,1,3,4,2,1,3,4,2,4i,2i,3i,P,MP图,r21,r22,R2P,(a),(b),(c),1,2,1,2
33、,1,2,0,0,r21,r22,R2P,R 1P,r12,r11,r21,r22,R2P,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,将系数和自由项代入典型方程：,解此方程得：,所得均为正值，说明Z 1、Z2与所设方向相同。,6、解方程，求基本未知量,r11Z1+r12Z2+R1P=0r21Z1+r22Z2+R2P=0,得：,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,返 回,7、最后弯矩图由叠加法绘制：,例如：杆端弯矩M31为,M图,1,2,3,4,P,M图绘出后，Q、N图即可由平衡条件绘出(略）。,8、对内力图进行校核，包括平衡条件和位移条件的校核。其
34、方法与力法中所述一样，这里从略。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,计算步骤,1)确定结构的基本未知量的数目(独立结点角位移和线位移)2)2)引入附加约束而得到基本体系。2)(令各附加约束发生与原结构相同的结点位移，根据基本结构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加约束上的反力矩或反力均应等于零的条件)建立位移法的基本方程。3)绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡条件求出各系数和自由项。（注意各杆 i 的计算）4)解典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。5)按叠加法绘制最后弯矩图。6）
35、内力校核。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,超静定结构计算的总原则:欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。,力法的特点：基本未知量多余未知力；基本体系静定结构；基本方程位移条件（变形协调条件）,位移法的特点：基本未知量 基本体系 基本方程,独立结点位移,平衡条件,？,一组单跨超静定梁,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,四、典型方程法和直接平衡法,关于如何建立位移法方程以求解基本未知量的问题，有两种途径可循。,一种途径，已如上所述，是通过选择基本结构，并将原结构与基本体系比较，得出建立位移法方
36、程的平衡条件（即Fi=0）。这种方法能以统一的、典型的形式给出位移法方程。因此，称为典型方程法。,另一种途径，则是将待分析结构先“拆散”为许多杆件单元，进行单元分析根据转角位移方程，逐杆写出杆端内力式子；再“组装”，进行整体分析直接利用结点平衡或截面平衡条件建立位移法方程。因此，称为直接平衡法。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,例：试用力法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图。,解：将梁中间改为铰接，加多余未知力X1得基本体系如图（B）所示。,建立力法典型方程：,求系数和自由项：,代入典型方程得：,最后弯矩：,用力法求解超静定结构,All Rights Reserve
37、d,聊城大学建筑工程学院,用位移法求解超静定结构,例：试用位移法-典型方程法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图。,解：1)基本未知量为刚结点B点的角位移Z1，加刚臂得基本体系如图(B)所示。,2)写出位移法典型方程：,3）绘出M1和MP图，求系数和自由项：,MP,M1,3i,3i,4）解方程得：,5）叠加法绘弯矩图如图：M=M1*Z1+MP,6）校核。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,用位移法求解超静定结构,例：试用位移法-直接平衡法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图。,解：1)基本未知量为刚结点B点的角位移Z1，基本体系如图（B）所示。,2)用转角位移方程写出个杆端
38、内力如下（其中）,3)从原结构中取出图c隔离体，由平衡条件建立方程并求解。,由图c的平衡条件：得：,4)回代入2）得各杆端弯矩，并绘最后弯矩图。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,9.5典型方程法计算荷载作用下超静定结构的内力,对于具有 n 个独立结点位移的刚架，同样可以建立 n 个方程：,r11Z1+r1iZi+r1nZn+R1P=0ri 1Z1+ri iZi+ri nZn+Ri P=0rn1Z1+rniZi+rnnZn+RnP=0,(81）,此为具有n个基本未知量的位移法典型方程。式中：rii 为主系数，主系数恒为正；rij(ij)称为副系数；RiP为自由项。副
39、系数和自由项可能为正、负或零。据反力互等定理得副系数 rij=rji(ij)。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,计算步骤,确定结构的基本未知量的数目(独立结点角位移和线位移)引入附加约束而得到基本体系。3)建立位移法的基本方程。4)绘出各单位结点位移作用下的弯矩图Mi和荷载作用下的弯矩图Mp，由平衡条件求出各系数和自由项。在利用形常数和载常数时,注意各杆 i 的计算。5)解典型方程，求出基本未知量。6)按叠加法绘制最后弯矩图。7)内力校核。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,一、无侧移结构的内力计算例题,例1:用位移法计算图示刚架,并作
40、弯矩图.E=常数.,如何求？,无侧移结构只有节点角位移无线位移。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,1）基本未知量为1，2节点处的两个角位移，无节点线位移；属于无侧移结构。2）在节点处附加刚臂，基本体系如图。,解：,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,3)建立位移法的基本方程：4)绘单位弯矩图和MP图，求系数和自由项（利用节点平衡）,锁定Z1,锁定Z1和Z2,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,图,4i,4i,8i,2i,锁定Z2,图,8i,8i,4i,4i,4i,2i,锁定Z1,图,锁定Z1和Z2,4i,8i,A
41、ll Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,5)代入方程求解基本未知量,最终内力：,6)按叠加法绘制最后弯矩图。,请自行作出最终M图,7)校核：主要对力的平衡关系进行校核。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,4kN.m,例2(自学)、利用位移法计算图示结构，绘M图。,8m,3m,4m,2m,0.02m,A,B,C,D,E,F,16EI,4EI,5EI,4kN.m,0.02m,A,B,C,D,E,F,16EI,4EI,5EI,基本体系,A,B,C,D,E,F,16EI,2EI,4EI,2EI,4EI,6EI,B,C,D,4,4,126,位移法方程：,A
42、ll Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,例1:用位移法计算图示刚架,并作弯矩图.E=常数.,二、有侧移结构内力计算例题,有侧移结构有节点线位移，可能有节点角位移。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,1)基本未知量为中节点处的角位移，边节点的线位移；两个基本未知量,属于有侧移结构。2）在中节点处加刚臂，在边节点处附加支杆基本体系如图。3)建立位移法的基本方程：4)绘单位弯矩图M和MP图，求系数和自由项,解：,基本体系,Z1,Z2,R1=0,R2=0,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下:,M
43、P图,R1P,ql2/8,ql2/16,k21=k12=-6i/l,6i/l,k22,3i/l2,3i/l2,12i/l2,R2P,3ql/8,R2P,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,k11=16i,k12=k21=-6i/l,k22=18i/l2,R1P=0,R2P=-3ql/8,5)代入方程求解基本未知量,6)按叠加法绘制最后弯矩图。,ql2/16,ql2/8,ql2/8,3ql2/28,3ql2/56,3ql2/56,ql2/14,7)校核。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,三、利用对称性进行内力计算例题（重点）,回顾力法中对称
44、性的利用：目的：1)简化系数或自由项的计算使之尽量多的为零，2)减少基本未知量或方程数目从而简化计算。1、利用对称性质，直接判定结构在对称轴处某些内力为零，减少多余未知量个数。2、半结构法：根据对称性，取用半个刚架或半个梁的计算简 图代替原结构对刚架进行内力分析的方法。位移法中主要利用半结构法进行简化计算：注意：的计算中 的取用应为半结构的杆件长度。半结构取用方法回顾：,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,1、奇数跨对称结构,1）对称荷载,2）反对称荷载,简化为带有竖向链杆刚架,用带有定向支承的半刚架代替。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院
45、,2、偶数跨对称结构,FP,1）对称荷载,2）反对称荷载,简化为中间竖柱抗弯刚度减半的半刚架。,简化为带有固定端的半刚架。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,利用对称性如何求解工作量最少?,例1:用位移法计算图示刚架,并作弯矩图.E=常数.,位移法基本未知量：,ny=2,nl=1,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,对称荷载组用位移法求解 反对称荷载组用力法求解,联合法,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,例2：作对称刚架的 M 图,本题注意：的计算中 的取用应为半结构的杆件长度。,刚架有三个结点位移，即两个角位移
46、，一个线位移。,解：,1)基本未知量：利用对称性,取半边结构计算如图，只有结点 C 的角位移,即：n=1。2）附加约束得到基本体系如图。先计算各杆线刚度i，并标在杆侧。,3）建立位移法方程,作用的 图,4）计算系数和自由项，绘制 M1、MP图,由结点 B 的力矩平衡，可得：,计算自由项,绘荷载作用下MP图（此时锁定节点）。,由结点 C 的力矩平衡，可得：,5）解方程计算,先作半结构的弯矩图，另一半按对称画出。,6）叠加法作 图,利用叠加公式：,计算杆端弯矩。,7）校核,9.6用直接平衡法计算超静定结构的内力,借助于杆件的转角位移方程，根据先“拆散”、后“组装”结构的思路，直接由原结构的结点和截
47、面平衡条件来建立位移法方程，这就是本节将介绍的直接平衡法。,【例8-10】试用直接平衡法计算图示刚架，并作弯矩图。已知EI=常量。,解：(1)确定基本未知量，并绘出示意图,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,(2)“拆散”进行单元分析，即根据转角位移方程,逐杆写出杆端内力,1）对于左柱BA（视为两端固定梁）,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,2）对于横梁BC（视为B端固定，C端铰支）,3）对于右柱CD（视为D端固定，C端铰支）,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,(3)“组装”，进行整体分析，即根据结点平衡条件和截面平衡条件建立位移法方程,1),2）取横梁BC为隔离体，由截面平件,(a),(b),以上式（a）和式（b）即为用直接平衡法建立的位移法方程，与前面用典型方程法解同一例题所建立的位移法方程（典型方程）完全相同。,All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,(4)联立求解方程（a）和（b），求基本未知量：,(5)计算杆端内力,将Z1和Z2代回第（2）步所列出的各杆的杆端弯矩表达式，即可求得,(6)作最后弯矩图,d)M图(ql2/184),All Rights Reserved,聊城大学建筑工程学院,
