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1、第十五章 整式的乘除与因式分解,本章知识结构：,一、整式的有关概念,1、代数式 2、单项式 3、单项式的系数及次数 4、多项式 5、多项式的项、次数 6、整式,二、整式的运算,（一）整式的加减法,去括号，合并同类项,1、单项式除以单项式 2、多项式除以单项式,（三）整式的除法,1、同底数幂的乘法 2、幂的乘方 3、积的乘方 4、同底数的幂相除 5、单项式乘以单项式 6、单项式乘以多项式 7、多项式乘以多项式 8、平方差公式 9、完全平方公式,（二）整式的乘法,一、整式的有关概念,1、单项式：,数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。单独的一个数或字母也是单项式。,2、单项式的系数：,单项式中的数字
2、因数。,3、单项式的次数：,单项式中所有的字母的指数和。,4、多项式：几个单项式的和叫多项式。,5、多项式的项及次数：组成多项式中的单项式叫多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。特别注意，多项式的次数不是组成多项式的所有字母指数和！,6、整式：单项式与多项式统称整式。（分母含有字母的代数式不是整式）,二、整式的运算,（一）整式的加减法,基本步骤：去括号，合并同类项。,1、同底数幂的乘法,法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。,数学符号表示：,（其中m、n为正整数）,（二）整式的乘法,练习：判断下列各式是否正确。,2、幂的乘方,法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。,数学符
3、号表示：,（其中m、n为正整数）,练习：判断下列各式是否正确。,（其中m、n、P为正整数）,3、积的乘方,法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。,符号表示：,练习：计算下列各式。,4.单项式与单项式相乘的法则：,单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。,法则：多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.,(a+b)(m+n)=,a(m+n)+b(m+n,a(m+n)+b(m+n),5.多项式与多项式相乘：,=am+an+bm+bn,（1）、平方差公式,即
4、两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫（乘法的）平方差公式,说明：平方差公式是根据多项式乘以多项式得到的，它是两个数的和与同样的两个数的差的积的形式。,6.乘法公式：,一般的，我们有：,1、2051952、(3x+2)(3x-2)3、(-x+2y)(-x-2y)4、,(x+y+z)(x+y-z),（2）、完全平方公式,法则：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。,一般的，我们有：,注意：,（1）(a-b)=-(b-a)(2)（a-b)2=(b-a)2(3)(-a-b)2=(a+b)2(4)(a-b)3=-(b-a)3,7.添括号的法则：,
5、添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都要改变符号。,（1）、同底数幂的除法,即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。,8.整式的除法：,即任何不等于0的数的0次幂都等于1,（2）、单项式除以单项式,法则：单项式除以单项式，把它们的系数、同底数幂分别相除作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。,（3）、多项式除以单项式,法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。,练习,练习：计算下列各题。,分解因式,定义,把一个多项式化成几个整式的积的形式，象这样的式子变形叫做把这
6、个多项式因式分解或分解因式。,与整式乘法的关系：,互为逆过程，互逆关系,方法,提公因式法公式法,步骤,一提：提公因式,二用：运用公式,三查：检查因式分解的结果是否正确（彻底性）,（1）.公因式：一个多项式的各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式,（2）找公因式：找各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积。（3）.提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，作为多项式的一个因式，然后用原多项式的每一项除以这个公因式，所得的商作为另一个因式，将多项式写成因式乘积的形式，这种因式分解 的方法提公因式法。,知识点1 因式分解的定义,把一个多项式化
7、成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。,知识点2 提公因式法,多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.,例如：x2 x=x(x-1)，8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1),x,2a,探究交流,下列变形是否是因式分解？为什么?(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；(2)x2-2x+3
8、=(x-1)2+2；(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.,提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪.,不满足因式分解的含义,因式分解是恒等变形而本题不恒等.,是整式乘法.,典例剖析,例1 用提公因式法将下列各式因式分解.(1)-x3z+x4y；(2)3x(a-b)+2y(b-a),解：(1)-x3z+x4y=x3(-z+xy).,(2)3x(a-b)+2y(b-a),=3x(a-b)-2y(a-b),=(a-b)(3x-2y),x3,+(b-a),-(a-b),(a-b),小结 运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题：,(
9、1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号内不能再分解.,如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)=(x+y)(7m-8n)-(3m-2n)=(x+y)(4m-6n).=2(x+y)(2m-3n).,(2)如果出现像(2)小题需统一时，首先统一,尽可能使统一的个数少，这时注意到(a-b)n=(b-a)n(n为偶数),例如：分解因式a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2.,本题既可以把(x-y)统一成(y-x)，也可以把(y-x)统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成(y-x)比较简便，因为(x-y)2=(y-x)2.a(x-y)2+b(y-x)3+c
10、(y-x)2=a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2=(y-x)2a+b(y-x)+c=(y-x)2(a+by-bx+c).,(3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成幂的形式.,例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)=(a-2b)(7a-8b)+(a-8b)=(a-2b)(8a-16b)=8(a-2b)(a-2b)=8(a-2b)2.,做一做,把下列各式分解因式.(1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)；(2)4p(1-q)3+2(q-1)2；,2(2a+b)2,2(1-q)2(2p-2pq+1)或2(q-1)2(2p-2pq+1),(2)完全平
11、方公式：a22ab+b2=(ab)2其中，a22ab+b2叫做完全平方式.,例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2-22x3y+(3y)2=(2x-3y)2.,知识点3 公式法,(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).,例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).,探究交流,下列变形是否正确？为什么？(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；(3)x2-2x-1=(x-1)2.,目前在有理数范围内不能再分解.,不是完全平方式，不能进行分解,不是完全平方式，不能进行分解,例2 把下列各式分解因式.(1)(a+b
12、)2-4a2；(2)1-10 x+25x2；(3)(m+n)2-6(m+n)+9,解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2,做一做,把下列各式分解因式.(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1；(2)(x+y)2-4(x+y-1).,(1)(x2+3)2,(2)(x+y-2)2,(2)1-10 x+25x2,(3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.,=(a+b+2a)(a+b-2a),=(3a+b)(b-a),=(1-5x)2,=1-10 x+(5x)2,4a2,(2a)2,+2a,-2a,25x2,(5x)2,综合运用,例3 分解因式.(1)x3-2x2+x；
13、(2)x2(x-y)+y2(y-x),解:(1)x3-2x2+x,=x(x2-2x+1),=x(x-1)2,(2)x2(x-y)+y2(y-x),x,=x2(x-y)-y2(x-y),=(x-y)(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)2,=(x-y)(x2-y2),小结 解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没有公因式是两项，则考虑能否用平方差公式分解因式.是三项式考虑用完全平方式，最后，直到每一个因式都不能再分解为止.,探索与创新题,例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k=,分析:完全平方式是形如：a22ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和
14、(或差).,9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2kxy=23x6y=36xyk=36,做一做,若x2+(k+3)x+9是完全平方式，则k=_,k=3或k=-9,思考题 分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10,分析:把x4+x2作为一个整体，用一个新字母代替，从而简化式子的结构.,解：令x4+x2=m，则原式可化为(m-4)(m+3)+10=m2-m-12+10=m2-m-2=(m-2)(m+1)=(x4+x2-2)(x4+x2+1)=(x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)=(x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1),1、利用因式分解计算：,（1）（2）(1)(1)(1)(1)（3）20042-40082005+20052（4）9.929.90.20.01,2、若a、b、c为ABC的三边，且满足a2b2c2abacbc，试判断ABC的形状。,（2）,3.分解因式：,（1）.,（3）,（4）,熟能生巧,计算：1、(3a2b3)2(-2ab3c)22、x(x-1)-2x(-x+1)-3x(2x-5)3、先化简,再求值:(3a+1)(2a-3)-6(a+2)(a-1),其中a=-3,解：原式=(9a4b6)(4a2b6c2)=(94)(a4a2)(b6b6)c2=36a6b12c2,1.将多项式am+an+bm+bn 分解因式,
