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1、,集合与常用逻辑用语第一节 集合第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词,目 录,集合与常用逻辑用语,知识能否忆起 一、元素与集合 1集合中元素的三个特性：、2集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有 和 两种，表示符号为 和.,确定性,互异性,无序性,属于,不属于,3常见集合的符号表示：,4集合的表示法：、,列举法,描述法,韦恩图,N,N*或N,Z,Q,R,二、集合间的基本关系,AB,AB,BA,AB,BA,B,非空集合,B(B),三、集合的基本运算,x|xA，或xB,x|xA，且xB,x|xU，且xA,小题能否全取1(2012大纲全国卷)已
2、知集合Ax|x是平行四边形，B x|x是矩形，Cx|x是正方形，Dx|x是菱形，则()AABBCB CDC DAD 解析：选项A错，应当是BA.选项B对，正方 形一定是矩形，但矩形不一定是正方形选项C错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形选项D 错，应当是DA.答案：B,2(2012浙江高考)设集合Ax|1x4，集合Bx|x22x30，则A(RB)()A(1,4)B(3,4)C(1,3)D(1,2)(3,4)解析：因为RBx|x3，或x1，所以A(RB)x|3x4,答案：B,3(教材习题改编)A1,2,3，BxR|x2ax10，aA，则ABB时a的值是()A2 B2或3C1或3 D1或2解
3、析：验证a1时B满足条件；验证a2时B1也满足条件,答案：D,4.(2012盐城模拟)如图，已知U1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，集合A2,3,4,5,6,8，B 1,3,4,5,7，C2,4,5,7,8,9，用列举 法写出图中阴影部分表示的集合为_ 解析：阴影部分表示的集合为AC(UB)2,8,答案：2,8,答案：0,1.正确理解集合的概念研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么注意区分x|yf(x)、y|yf(x)、(x，y)|yf(x)三者的不同2注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合
4、的子集在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性例如：AB，则需考虑A和A两种可能的情况,例1(1)(2012新课标全国卷)已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，则B中所含元素的个数为()A3 B6C8 D10,(2)已知集合M1，m，Nn，log2n，若MN，则(mn)2013_.自主解答(1)B(x，y)|xA，yA，xyA，A1,2,3,4,5，x2，y1；x3，y1,2；x4，y1,2,3；x5，y1,2,3,4.B(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，B中所含
5、元素的个数为10.,答案(1)10(2)1或0,1研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性2对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性,1(1)(2012北京东城区模拟)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合PQab|aP，bQ，若P0,2,5，Q1,2,6，则PQ中元素的个数为()A9 B8C7 D6,(2)已知集合Aa2,2a25a,12，且3A，则a_.解析：(1)PQab|aP，bQ，P0,2,5，Q1,2,6，当a0时，ab的值为
6、1,2,6；当a2时，ab的值为3,4,8；当a5时，ab的值为6,7,11，PQ1,2,3,4,6,7,8,11，PQ中有8个元素,例2(1)(2012湖北高考)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0 x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为()A1B2C3 D4,(2)已知集合Ax|log2x2，B(，a)，若AB，则实数a的取值范围是(c，)，其中c_.自主解答(1)由x23x20，得x1或x2，A1,2 由题意知B1,2,3,4，满足条件的C可为1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4(2)由log2x2，得04，即c4.答案(1)4(2)4,1判断两集合的关系常有两种方
7、法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系2已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析,A2 012,2 013 B(2 012,2 013)C2 013,2 011 D(2 013,2 011),答案：(2 012,2 013),例3(1)(2011江西高考)若全集U1,2,3,4,5,6，M2,3，N1,4，则集合5,6等于()AMNBMNC(UM)(UN)D(UM)(UN),(2)设UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0若(
8、UA)B，则m的值是_自主解答 A2，1，由(UA)B，得BA，方程x2(m1)xm0的判别式(m1)24m(m1)20，B.B1或B2或B1，2若B1，则m1；,若B2，则应有(m1)(2)(2)4，且m(2)(2)4，这两式不能同时成立，B2；若B1，2，则应有(m1)(1)(2)3，且m(1)(2)2，由这两式得m2.经检验知m1或m2符合条件 m1或2.答案(1)D(2)1或2,将例3(1)中的条件“M2,3”改为“MNN”，试求满足条件的集合M的个数解：由MNN得MN.含有2个元素的集合M有1个，含有3个元素的集合M有4个，含有4个元素的集合M有6个，含有5个元素的集合M有4个，含有
9、6个元素的集合M有1个因此，满足条件的集合M有1464116个,1在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍2在解决有关AB，AB等集合问题时，一定先考虑A或B是否为空集，以防漏解另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用,A0,1 B0,1)C(0,1)D(0,1,答案：D,以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，常见的命题形式有新定义、新运算、新性质，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题
10、、解决创新问题的能力,1创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题,A1B3C7 D31,答案B,题后悟道该题是集合新定义的问题，定义了集合中元素的性质，此类题目只需准确提取信息并加工利用，便可顺利解决,2创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的典例2设P和Q是两个集合，定义集合PQx|xP，且xQ，如果Px|log2x1，Qx|x2|1，那么PQ()Ax|0 x1
11、Bx|0 x1Cx|1x2 Dx|2x3,解析由log2x1，得0 x2，所以Px|0 x2；由|x2|1，得1x3，所以Qx|1x3由题意，得PQx|0 x1答案B题后悟道解决创新集合新运算问题常分为三步：(1)对新定义进行信息提取，确定化归的方向；(2)对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法；(3)对定义中提出的知识进行转换，有效地输出其中对定义信息的提取和转化与化归是解题的关键，也是解题的难点,3创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题,A1 B1C0 Di,解析Sa，b，c，d，由集合中元
12、素的互异性可知当a1时，b1，c21，ci，由“对任意x，yS，必有xyS”知iS，ci，di或ci，di，bcd(1)01.答案B,题后悟道 此题是属于创新集合新性质的题目，通过非空集合S中的元素属性的分析，结合题目中引入的相应的创新性质，确定集合的元素,教师备选题（给有能力的学生加餐）,答案：1,2设集合A1,2,3,4,5,6，B4,5,6,7,8，则满足 SA且SB的集合S的个数是()A57 B56 C49 D8 解析：由SA且SB可知：元素4,5,6中至少有 一个是S中的元素S中的其余元素是从1,2,3中选1 个，2个，3个或不选 故S的个数为(CCC)2356.答案：B,3某班有3
13、6名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有_人,解析：由题意知，同时参加三个小组的人数为0，设同时参加数学和化学小组的人数为x，Venn图如图所示，(20 x)654(9x)x36，解得x8.,答案：8,4已知集合Ax|x22xa0，Bx|ax4a9，若A，B中至少有一个不是空集，则a的取值范围是_解析：若A，B全为空集，则实数a满足44a4a9，即1a3，则满足题意的a的取值范围为(，13，)答案：(，13，),答案：D
14、,知识能否忆起 一、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题其中 的语句叫做真命题，的语句叫做假命题,判断真假,判断为真,为假,判断,二、四种命题及其关系1四种命题,若q，则p,2四种命题间的逆否关系,3四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 三、充分条件与必要条件 1如果pq，则p是q的，q是p的 2如果pq，qp，则p是q的,相同,没有关系,充分条件,必要条件,充要条件,小题能否全取1(教材习题改编)下列命题是真命题的为(),答案：A,答案：C,3(2012温州适应性测试)设集合A，B，则
15、AB是ABA成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：由AB，得ABA；反过来，由ABA，且(AB)B，得AB.因此，AB是ABA成立的充要条件,答案：C,4“在ABC中，若C90，则A、B都是锐角”的否命题为：_.解析：原命题的条件：在ABC中，C90，结论：A、B都是锐角否命题是否定条件和结论 即“在ABC中，若C90，则A、B不都是锐 角”答案：“在ABC中，若C90，则A、B不都是 锐角”,5下列命题中所有真命题的序号是_“ab”是“a2b2”成立的充分条件；“|a|b|”是“a2b2”成立的必要条件；“ab”是“acbc”成立的充要条件,答案
16、：,1.充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“pq”“qp”；(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“pq”而后者是“qp”,2从逆否命题，谈等价转换 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”,例1,A B C D 自主解答中否命题为“若x2y20，则xy0”，正确；中，14m，当m0时，0，原命题正确，故其逆否命
17、题正确；中逆命题不正确；中原命题正确故逆否命题正确,答案B,在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手,1以下关于命题的说法正确的有_(填写所有正确命题的序号)“若log2a0，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数”是真命题；命题“若a0，则ab0”的否命题是“若a0，则ab0”；命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶
18、数”的逆命题为真命题；命题“若aM，则bM”与命题“若bM，则aM”等价,解析：对于，若log2a0log21，则a1，所以函数f(x)logax在其定义域内是增函数，故不正确；对于，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于，原命题的逆命题是“若xy是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如134是偶数，但3和1均为奇数，故不正确；对于，不难看出，命题“若aM，则bM”与命题“若bM，则aM”是互为逆否命题，因此二者等价，所以正确综上可知正确的说法有.答案：,例2(1)(2012浙江十校联考)设xR，那么“x0”是“x3”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分
19、也不必要条件(2)(2012北京高考)设a，bR,“a0”是“复数abi是纯虚数”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件,自主解答(1)取x0，则x22x0，故由x2不能推出x22x0；由x22x0得0 x2，故由x22x0可以推出x2.所以“x2”是“x22x0”的必要而不充分条件(2)当a0，且b0时，abi不是纯虚数；若abi是纯虚数，则a0.故“a0”是“复数abi是纯虚数”的必要而不充分条件答案(1)B(2)B,充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论
20、”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分,2下列各题中，p是q的什么条件？(1)在ABC中，p：AB，q：sin Asin B；(2)p：|x|x，q：x2x0.,例3 方程ax22x10至少有一个负实根的充要条件是()A0a1 Ba1Ca1 D0a1或a0,法二：(排除法)当a0时，原方程有一个负实根，可以排除A、D；当a1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，所以选C.,答案C,利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：(1)若p是q的充分不必
21、要条件，则pq且q/p；(2)若p是q的必要不充分条件，则p/q，且qp；(3)若p是q的充要条件，则pq.,3(2013兰州调研)“x3，a”是不等式2x25x30成立的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是(),答案D,典例(2012山东高考)设a0且a1，则“函数f(x)ax在R上是减函数”是“函数g(x)(2a)x3在R上是增函数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件,常规解法“函数f(x)ax在R上是减函数”的充要条件是p：00，即a0且a1，所以“函数g(x)(2a)x3在R上是增函数”的充要条件是q：0a2且a1.显然pq，但q/p，所以p
22、是q的充分不必要条件，即“函数f(x)ax在R上是减函数”是“函数g(x)(2a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件答案A,1充分、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法2三种不同的方法各适用于不同的类型，定义法适用于定义、定理判断性问题，而集合法多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断,巧思妙解p：“函数f(x)ax在R上是减函数”等价于00，即a2.而a|0a1是a|a2的真子集故答案为充分不必要.,答案：B,教师备选题（给有能力的学生加餐）,1(2012济南模拟)在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否
23、命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20平行，则a1b2a2b10”那么f(p)()A1 B2C3 D4,解析：若两条直线l1：a1xb1yc10与l2：a2xb2yc20平行，则必有a1b2a2b10，但当a1b2a2b10时，直线l1与l2不一定平行，还有可能重合，因此命题p是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有2个正确命题，即f(p)2.答案：B,A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不
24、必要条件,答案：B,3判断命题“若a0，则x2xa0有实根”的逆否命题的真假,知识能否忆起 一、简单的逻辑联结词 1用联结词“且”联结命题p和命题q，记作，读作“”2用联结词“或”联结命题p和命题q，记作，读作“”,pq,p且q,pq,p或q,假,一真一假,(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“”,二、全称量词与存在量词 1全称量词与全称命题(1)短语“”“”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示(2)含有 的命题，叫做全称命题,所有的,任意一个,全称量词,xM，p(x),对任意x属于M，有,p(x)成立,(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成
25、立”可用符号简记为，读作“”,2存在量词与特称命题(1)短语“”“”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示(2)含有 的命题，叫做特称命题,存在一个,至少有一个,存在量词,x0M，P(x0),存在M中的元,素x0，使p(x0)成立,三、含有一个量词的命题的否定,小题能否全取1(2011北京高考)若p是真命题，q是假命题，则()Apq是真命题Bpq是假命题 C綈p是真命题 D綈q是真命题 答案：D,答案：C,答案：D,答案：所有的三角形都不是等边三角形,1.逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“
26、或、且、非”三个联结词构成的命题问题 2正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论 命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系,答案D,2含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)pq：p、q中有一个为真，则pq为真，即一真全真；(2)pq：p、q中有一个为假，则pq为假，即一假即假；,1(1)如果命题“非p或非q”是假命题，给出下列四个结论：命题“p且q”是真命题；命题“p且q”是假命题；命 题“p或q”是真命题
27、；命题“p或q”是假命题 其中正确的结论是()A B C D,(2)(2012江西盟校联考)已知命题p：“x0,1，aex”，命题q：“xR，x24xa0”，若命题“pq”是真命题，则实数a的取值范围是()A(4，)B1,4Ce,4 D(，1解析：“非p或非q”是假命题“非p”与“非q”均为假命题p与q均为真命题“pq”是真命题，则p与q都是真命题p真则x0,1，aex，需ae；q真则x24xa0有解，需164a0，所以a4.pq为真，则ea4.答案：(1)A(2)C,Aa，bR，ananb，有an是等差数列CxR,3x0Dx0R，lg x00,例2下列命题中的假命题是(),答案B,1全称命题
28、真假的判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立;(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值xx0，使p(x0)不成立即可2存在性命题真假的判断方法要判断一个存在性命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个xx0，使p(x0)成立即可，否则这一存在性命题就是假命题,答案：C,例3(2013武汉适应性训练)命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是()A所有能被2整除的整数都是奇数 B所有不能被2整除的整数都不是奇数 C存在一个能被2整除的整数是奇数 D存在一个不能被2整除的整数不是奇数,自主解答命题“所有不能被2整
29、除的整数都是奇数”的否定是“存在一个不能被2整除的整数不是奇数”，选D.答案D,若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”，其否定为_答案：所有能被2整除的整数都不是奇数,1弄清命题是全称命题还是存在性命题是写出命题否定的前提2注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定,4常见词语的否定形式有：,原语句,是,都是,至少有一个,至多有一个,对任意xA使p(x)真,否定形式,不是,不都是,一个也没有,至少有两个,存在xA使p(x)假,答案：C,典例(2012湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A任意一个有理数，它的平方是有理数 B任意一个无理数，
30、它的平方不是有理数 C存在一个有理数，它的平方是有理数 D存在一个无理数，它的平方不是有理数,尝试解题特称命题的否定为全称命题，即将“存在”改为“任意”，并将其结论进行否定原命题的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”答案B,1.因只否定量词不否定结论，而误选A.2.对含有一个量词的命题进行否定时，要明确否定的实质，不应只简单地对量词进行否定，应遵循否定的要求，同时熟记一些常用量词的否定形式及其规律.,解析：全称命题的否定是存在性命题，全称量词“任何”改为存在量词“存在”，并把结论否定答案：存在xR，使得|x2|x4|3,2命题“能被5整除的数，末位是0”的否定是_解析：省略了全称量词“任何一个”，否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0.答案：有些可以被5整除的数，末位不是0,教师备选题（给有能力的学生加餐）,Ap1，p4 Bp2，p3Cp1，p3 Dp2，p4解析：对于p1：ab0a0或b0或ab，当a0，则a方向任意，a，b不一定垂直，故p1假，否定B、D，又p3显然为真，否定C.答案：A,3已知p：方程x2mx10有两个不等的负根；q：方程4x24(m2)x10无实根若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围,
