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1、第一讲 不等式和绝对值不等式,1、不等式,1、不等式的基本性质：、对称性：传递性：_、，a+cb+c、ab，那么acbc；ab，那么acbc、ab0，那么，acbd、ab0，那么anbn.（条件）、ab0 那么（条件）,练习：1、判断下列各命题的真假，并说明理由：（1）如果ab，那么acbc；（2）如果ab，那么ac2bc2；（3）如果ab，那么anbn(nN+)；（4）如果ab,cb-d。2、比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。,（假命题）,（假命题）,（真命题）,（假命题）,解：因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6)=x2+3x+2-(x2+3x-18)=200，
2、所以(x+1)(x+2)(x-3)(x+6),例2、已知ab0，cd0，求证：,例1、求证：如果ab0，cd0，那么acbd。,证明：因为ab0,cd0，由不等式的基本性质（3）可得acbc,bcbd，再由不等式的传递性可得acbcbd。,练习：如果ab,cd，是否一定能得出acbd？并说明理由。,2、基本不等式,定理1 如果a,bR,那么 a2+b22ab.当且仅当a=b时等号成立。探究：你能从几何的角度解释定理1吗？分析：a2与b2的几何意义是正方形面积，ab的几何意义是矩形面积，可考虑从图形的面积角度解释定理。,如图把实数a，b作为线段长度，以ab为例，在正方形ABCD中，AB=a；在正
3、方形CEFG中，EF=b.则 S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2.S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，其值等于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。即a2+b22ab.当且仅当a=b时，两个矩形成为正方形，此时有 a2+b2=2ab。,定理2（基本不等式）如果a，b0，那么当且仅当a=b时，等号成立。,证明：因为=a+b-2 0，所以a+b，上式当且仅当，即a=b时，等号成立。,称为a,b的算术平均,称为a，b的几何平均,两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。,如图在直角三角形中，CO、CD分别是斜边上的中线和高，设AD=a，DB=b，则由图形
4、可得到基本不等式的几何解释。,例3 求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。,结论：已知x,y都是正数。（1）如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2；（2）如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值,A,B,E,N,M,F,D,C,Q,P,H,G,例4 某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图（右图）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米
5、210元，再在四个空角（图中四个直角三角形）上铺上草坪，造价为每平方米80元。（1）设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式。（2）当x为何值时S最小，并求出这个最小值。,课堂练习：课本P10第5题、第6题、第9题5、设a,bR+,且ab，求证：(1)(2)6、设a,b,c是不全相等的正数，求证：（1）(a+b)(b+c)(c+a)8abc；（2）a+b+c9、已知x、yR,求证：,小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时，一定要满足“一正二定三相等”的条件。,作业：课本P10第7、8、10题，第11题为选做题。,3、三个正数的算术-几何平均不等
6、式,练习：是锐角，求y=sincos2的最大值。,二、绝对值不等式,1、绝对值三角不等式 实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：,O,a,A,x,|a|,x,A,B,a,b,|a-b|,任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。,联系绝对值的几何意义，从“运算”的角度研究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的关系：,分ab0和ab0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|,O,x,a,b,a+b,O,x,a,b,a+b,（2）当ab0,b0，如下图可得：|a+b|a|+|b|,O,b,a,x,a+b,如
7、果a0，如下图可得：|a+b|a|+|b|,a+b,a,b,x,O,（3）如果ab=0，则a=0或b=0，易得：|a+b|=|a|+|b|,定理1 如果a,b是实数，则|a+b|a|+|b|当且仅当ab0时，等号成立。,探究 如果把定理1中的实数a,b分别换成向量a,b,能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？,O,x,y,探究 当向量a,b共线时，有怎样的结论？,这个不等式称为绝对值三角不等式。,定理1的代数证明：,探究 你能根据定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？例如：|a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b|与|
8、a-b|等之间的关系。,|a|-|b|a+b|,|a|+|b|a-b|,|a|-|b|a-b|.,如果a,b是实数，那么|a|-|b|ab|a|+|b|,例1 已知0，|x-a|,|y-b|，求证：|2x+3y-2a-3b|5.,证明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|=|2(x-a)+3(y-b)|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|2+3=5.所以|2x+3y-2a-3b|5.,定理2 如果a,b,c是实数，那么|a-c|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)0时，等号成立。,证明：根据绝对值三角不等式有|a-c|=|(a-b)
9、+(b-c)|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)0时，等号成立。,B,例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？,分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。,练习：课本P20第1、2题.求证：(1)|a+b|+|a-b|2
10、|a|(2)|a+b|-|a-b|2|b|2.用几种方法证明,D,D,C,小结：理解和掌握绝对值不等式的两个定理：|a+b|a|+|b|(a,bR,ab0时等号成立）|a-c|a-b|+|b-c|(a,b,cR,(a-b)(b-c)0时等号成立）能应用定理解决一些证明和求最值问题。,作业：课本P20第3、4、5题,2、绝对值不等式的解法,复习：如果a0，则|x|a的解集是(-,-a)(a,+),（1）|ax+b|c和|ax+b|c(c0)型不等式的解法：换元法：令t=ax+b,转化为|t|c和|t|c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。分段讨论法：,例3 解不等式|3x-1|2,例4 解不等式|2-3x|7,补充例题：解不等式,|ax+b|c(c0)型不等式比较：,课堂练习：P20第6题,利用绝对值不等式的几何意义,零点分区间法,构造函数法,作业：P20第7题、第8题(1)(3),练习：P20第8题(2),补充练习：解不等式：（1）1x+3.,答案：（1）x|0 x1或-2x-1（2）x|-5x-1或3x7（3）,作业,8.解不等式:,
