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1、02 第二节 化二次型为型第二节 化二次型为标准形 若二次型f(x1,x2,L,xn)经可逆线性变换化为只含平方项的形式 22b1y12+b2y2+L+bnyn, 则称之为二次型f(x1,x2,L,xn)的标准形. 由上节讨论知,二次型f(x1,x2,L,xn)=XTAX在线性变换X=CY下,可化为YT(CTAC)Y. 如果CTAC为对角矩阵 b1b2 B=Obn22则f(x1,x2,L,xn)就可化为标准形b1y12+b2y2+L+bnyn,其标准形中的系数恰好为对角阵B的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A能否合同于一个对角矩阵. 内容分布图示 二次型的标准性 用配方法化二次型为标准形
2、例1 例2 例3 用初等变换化二次型为标准形 例5 定理3 -4 用正交变换化二次型为标准形 例7 二次型与对称矩阵的规范形 例9 内容小结 课堂练习 习题5-2 返回 例4 例6 例8 例10 内容要点： 一、用配方法化二次型为标准形. 定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤: (1) 若二次型含有xi的平方项,则先把含有xi的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形; (2) 若二次型中不含有平方项, 但是aij0(ij),则先作可逆变换 xi=yi-yj(k=1,2,L,n且ki,
3、j) xj=yi+yjxk=yk化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按()中方法配方. 注：配方法是一种可逆线性变换, 但平方项的系数与A的特征值无关. 因为二次型f与它的对称矩阵A有一一对应的关系，由定理1即得: 定理2 对任一实对称矩阵A，存在非奇异矩阵C，使B=CTAC为对角矩阵. 即任一 实对称矩阵都与一个对角矩阵合同. 二、用初等变换化二次为标准型 设有可逆线性变换为X=CY，它把二次型XTAX化为标准型YTBY，则 CTAC=B. 已知任一非奇异矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积, 故存在初等矩阵P1,P2,L,Ps，使 C=P1P2LPs, 于是 C=EP1P2LPs TCTA
4、C=PsTLP2TP1AP1P2LPs=L. A由此可见, 对2nn矩阵1P2LPs的初等列变换, 再对A施以相应于左E施以相应于右乘PTTT乘P1,P2,L,Ps的初等行变换, 则矩阵A变为对角矩阵B, 而单位矩阵E就变为所要求的可逆矩阵C. 三、用正交变换化二次型为标准形 定理2 若A为对称矩阵，C为任一可逆矩阵,令B=CTAC,则B也为对称矩阵,且r(B)=r(A). 注: (1) 二次型经可逆变换X=CY后,其秩不变,但f的矩阵由A变为B=CTAC; (2) 要使二次型f经可逆变换X=CY变成标准形,即要使CTAC成为对角矩阵, 即 b1y1by22222YTCTACY=(y1,y2,
5、L,yn)=b1y1+b2y2+L+bnyn. OMbnyn定理3 任给二次型f=aijxixj(aji=aij), 总有正交变换X=PY, 使f化为标准形i,j=1n22f=l1y12+l2y2+L+lnyn, 其中l1,l2,L,ln是f的矩阵A=(aij)的特征值. 用正交变换化二次型为标准形 (1) 将二次型表成矩阵形式f=XTAX, 求出A; (2) 求出A的所有特征值 l1,l2,L,ln; (3) 求出对应于特征值的特征向量 x1,x2,L,xn; (4) 将特征向量x1,x2,L,xn正交化, 单位化, 得h1,h2,L,hn, 记C=(h1,h2,L,hn); (5) 作正交
6、变换X=CY,则得f的标准形 22f=l1y12+l2y2+L+lnyn. 四、二次型与对称矩阵的规范型 将二次型化为平方项之代数和形式后,如有必要可重新安排量的次序(相当于作一次可逆线性变换),使这个标准形为 22d1x12+L+dpx2(1) p-dp+1xp+1-L-drxr其中di0(i=1,2,L,r). 定理4 任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形.且规范形是由二次型本身决定的唯一形式,与所作的可逆线性变换无关. 注: 把规范形中的正项个数p称为二次型的正惯性指数,负项个数r-p称为二次型的负惯性指数, r是二次型的秩. 00Ep注: 任何合同的对称矩阵具有相同的规范形0-Er
7、-p0 000定理5 设A为任意对称矩阵,如果存在可逆矩阵C,Q，且CQ,使得 EpTCAC=000-Er-p00EpT0，QAQ=0000-Er-q000 0则 p=q. 注: 说明二次型的正惯性指数、负惯性指数是被二次型本身唯一确定的。 例题选讲: 222例1(讲义例1) 将x1化为标准形. +2x1x2+2x1x3+2x2+4x2x3+x3用配方法化二次型为标准形. 22例2 化二次型f=x12+2x2+5x3+2x1x2+2x1x3+6x2x3为标准形, 并求所用的变换矩阵. 例3 (讲义例2) 化二次型f=2x1x2+2x1x3-6x2x3成标准形, 并求所用的变换矩阵. 例4 用配
8、方法将以下二次型化为标准型. f(x1,x2,x3,x4)=2x1x2-x1x3+x1x4-x2x3+x2x4-2x3x4. 用初等变换化二次为标准型 111例5(讲义例3) 设A=122,求非奇异矩阵C, 使CTAC为对角矩阵. 121例6 求一可逆线性变换将2x1x2+2x1x3-4x2x3化为标准形. 用正交变换化二次型为标准形 22例7 (讲义例4) 将二次型f=17x12+14x2+14x3-4x1x2-4x1x3-8x2x3通过正交变换x=Py, 化成标准形. 例8 设f=2x1x2+2x1x3-2x1x4-2x2x3+2x2x4+2x3x4, 求一个正交变换x=Py, 把该二次型化为标准形. 二次型与对称矩阵的规范型 1222例9 将标准型2y1规范化. -2y2-y32例10 (讲义例5) 化二次型f=2x1x2+2x1x3-6x2x3为规范形, 并求其正惯性指数. 课堂练习 1. 求一正交变换,将二次型 22f(x1,x2,x3)=5x12+5x2+3x3-2x1x2+6x1x3-6x2x3 化为标准形, 并指出f(x1,x2,x3)=1表示何种二次曲面.
