《11静电场习题思考题[1].docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《11静电场习题思考题[1].docx(44页珍藏版)》请在三一办公上搜索。
1、11静电场习题思考题1 53 习题11 11-1直角三角形ABC的A点上,有电荷q1=1.810-9C,B点上有电荷q2=-4.810-9C,试求C点的电场强度(设BC=0.04m,AC=0.03m)。 q14pe0rACq224pe0rBC2v解:q1在C点产生的场强:E1=vi, vq2在C点产生的场强:E2=vvvvj, vvvjC点的电场强度:E=E1+E2=2.7104i+1.8104j; C点的合场强:E=aE12+E22=3.24104V1.82.7oom, vi方向如图:a=arctan =33.7=3342。 11-2用细的塑料棒弯成半径为50cm的圆环,两端间空隙为2cm,
2、电量为3.1210-9C的正电荷均匀分布在棒上,求圆心处电场强度的大小和方向。 解:棒长为l=2pr-d=3.12m, 电荷线密度:l=ql=1.010-9ORaax2cmCm-1可利用补偿法,若有一均匀带电闭合线圈,则圆心处的合场强为0,有一段空隙,则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去d=0.02m长的带电棒在该点产生的场强,即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在O点产生的场强。 解法1:利用微元积分: dEOx=14pe0lRdqR2cosq, EO=a-acosqdq=l4pe0R2sinal4pe0R2a=ld4pe0R2=0.72Vm-1; 解法2:直接利用点电荷场强公式: -
3、11由于dd时,由S22x-有:E=rd2e0。图像见右。 56 11-8在点电荷q的电场中,取一半径为R的圆形平面(如图所示), 平面到q的距离为d,试计算通过该平面的E的通量. 解:通过圆平面的电通量与通过与A为圆心、AB为半径、圆的平面 为周界的球冠面的电通量相同。 【先推导球冠的面积:如图,令球面的半径为r,有r=球冠面一条微元同心圆带面积为:dS=2prsinqrdq 球冠面的面积:S=drd2+R2, rdqrsinqOdrq02prsinqrdq=2prcosq20cosq=x=2pr(1-2)】 球面面积为:S球面=4pr,通过闭合球面的电通量为:F闭合球面=F球冠F球面S球面
4、S球冠2qe0, 由:=,F球冠=12(1-dr)qe0=q2e0(1-dR+d22)。 11-9在半径为R的“无限长”直圆柱体内均匀带电,电荷体密度为,求圆柱体内、外的场强分布,并作Er关系曲线。 解:由高斯定律vv1EdS=Se0qS内i,考虑以圆柱体轴为中轴,半径为r,长为l的高斯面。 当rR时,2prlE=rpRle02,则:E=rR2e0r; rR2e0Err2e(rR)2e0roRr图见右。 11-10半径为R1和R2的两无限长同轴圆柱面,单位长度分别带有电量l和-l,试求:rR1;R1rR2处各点的场强。 57 解:利用高斯定律:Svv1EdS=e0qS内i。 rR1时,高斯面内
5、不包括电荷,所以:E1=0; R1rR2时,利用高斯定律及对称性,有:2prlE3=0,则:E3=0; vE=0rR1lv即:E=E=rR1rR2 11-11一球体内均匀分布着电荷体密度为r的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为r的一个小球体,球心为O,两球心间距离OO=d,如图所示。求: 在球形空腔内,球心O处的电场强度E0; 在球体内P点处的电场强度E,设O、O、P三点在同一直径上,且OP=d。 解:利用补偿法,可将其看成是带有电荷体密度为r的大球和带有电荷体密度为-r的小球的合成。 以O为圆心,过O点作一个半径为d的高斯面,根据高斯定理有: rvr4rd3,方向从O指向O;
6、EdS=pdE=0Se033e01过P点以O为圆心,作一个半径为d的高斯面。根据高斯定理有: rvr4rd3,方向从O指向P, EdS=pdE=P1Se033e01过P点以O为圆心,作一个半径为2d的高斯面。根据高斯定理有: 3rvrrr43, dS=-prEP2=-2SE23e0de03E=EP+EP=12r3e0(d-r324d),方向从O指向P。 vvv11-12设真空中静电场E的分布为E=cxi,式中c为常量,求空间电荷的分布。 解:如图,考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面, r由:EdS=cx0DS Szr1由高斯定理:EdS=Se0q, S内ox00DS设空间电荷的密度为r(x),有
7、:cx0DS= x0r(x)DSdxe0yx0x0r(x)dx=x00e0cdx,可见r(x)为常数r=e0c。 58 11-13如图所示,一锥顶角为q的圆台,上下底面半径分别为R1和R2,在它的侧面上均匀带电,电荷面密度为s,求顶点O的电势(以无穷远处为电势零点) 解:以顶点为原点,沿轴线方向竖直向下为x轴,在侧面上取环面元,qdx如图示,易知,环面圆半径为:r=xtan,环面圆宽:dl= q2cos2dS=2prdl=2pxtanq2dxcosq2, 利用带电量为q的圆环在垂直环轴线上x0处电势的表达式: U环=14pe0qr+x220, dl=dxcoss2pxtan有:dU=14pe0
8、(xtanq22q2dxcos2q2=stanqdx, 2e02rq2x)+x考虑到圆台上底的坐标为:x1=R1cotU=q2,x2=R2cotR2cotq2, 。 x2x1s2e0tanq2dx=s2e0tanqq222R1cotqdx=s(R2-R1)2e011-14电荷量Q均匀分布在半径为R的球体内,试求:离球心r处P点的电势。 解:利用高斯定律:EdS=Svv1e033q可求电场的分布。 S内orPRPrR时,4prE外=22Qe0RQr;有:E内=Qr4pe0RQ23; e0;有:E外=4pe0r; E外dr,即: 23离球心r处的电势:Ur=Ur=RrE内dr+3Q8pe0R-RR
9、rQr4pe0R3dr+RQ4pe0r2dr=Qr8pe0R。 11-15图示为一个均匀带电的球壳,其电荷体密度为r,球壳内表面半径为R1,外表面半径为R2设无穷远处为电势零点,求空腔内任一点的电势。 解:当rR1时,因高斯面内不包围电荷,有:E1=0, 43r当R1rR2时,有:E3=43p(R2-R1)4pe0r233=r(R2-R1)3e0r2, 59 以无穷远处为电势零点,有: R2vvvvU=E2dr+E3dr=R1R2R2R1r(r-R1)3e0r233dr+r(R2-R1)3e0r233R2dr=r2e022(R2-R1)。 11-16电荷以相同的面密度s 分布在半径为r1=10
10、cm和r2=20cm的两个同心球面上,设无限远处电势为零,球心处的电势为U0=300V。 求电荷面密度s; 若要使球心处的电势也为零,外球面上电荷面密度s为多少? 解:解一:当rr1时,因高斯面内不包围电荷,有:E1=0, 当r1rr2时,可求得:E3=U0=r1Osr1e0r22, r2s(r1+r2)e0r222, 2r2r2r1vvE2dr+r2vvE3dr=-12r2r1sr1e0rdr+2s(r1+r2)e0r-9222dr=se0(r1+r2) 那么:s=e0U0r1+r2=8.8510300-33010=8.8510Cm 2解二:由均匀带电球面在球心处的电势:U=U0=U1+U2
11、=q4pe0r,结合电势叠加原理得: s4pr14pe0r12+s4pr24pe0r22=sr1e0+sr2e0s=e0U0r1+r2=8.8510-9C/m2设外球面上放电后电荷密度s,则有: sr1sU0=(sr1+sr2)/e0=0,s=-=- r22则应放掉电荷为: Dq=4pr22(s-s)=3s4pr22=43.148.8510-123000.2=6.6710-9C。 211-17如图所示,半径为R的均匀带电球面,带有电荷q,沿某一半径方向上有一均匀带电细线,电荷线密度为l,长度为l,细线左端离球心距离为r0。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响,试求细线所受球面电荷的电场力和细线
12、在该电场中的电势能。 解:以O点为坐标原点,有一均匀带电细线的方向为x轴, 均匀带电球面在球面外的场强分布为:E=。 24pe0rvv取细线上的微元:dq=ldl=ldr,有:dF=Edq, vvr0+lqlqlrvvv为rldr=F= r2r04pe0x4pe0r0(r0+l)均匀带电球面在球面外的电势分布为:U=q4pe0rq。 60 对细线上的微元dq=ldr,所具有的电势能为:dW=W=q4pe0q4pe0rldr, r0+lr0ldrr=ql4pe0lnr0+lr0。 11-18. 一电偶极子的电矩为p,放在场强为E的匀强电场中,p与E之间夹角为q,如图所示若将此偶极子绕通过其中心且
13、垂直于p、E平面的轴转180o,外力需作功多少? 解:由功的表示式:dA=Mdq vvv考虑到:M=pE,有:A=qp+qpEsinqdq=2pEcosq。 11-19如图所示,一个半径为R的均匀带电圆板,其电荷面密度为s(0)今有一质量为m,电荷为-q的粒子(q0)沿圆板轴线(x轴)方向向圆板运动,已知在距圆心O为b的位置上时,粒子的速度为v0,求粒子击中圆板时的速度(设圆板带电的均匀性始终不变)。 解:均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上x0处产生的电势为: U=s2e0(R+x0-x0),那么, 22UOb=UO-Ub=s2e012(R+b-2R+b), 222由能量守恒定律,2mv=12m
14、v0-(-qUOb)=12mv0+2qs2e0(R+b-R+b), 22有:v= v0+qsme0(R+b-R+b) 22思考题11 11-1两个点电荷分别带电q和2q,相距l,试问将第三个点电荷放在何处它所受合力为零? 答:由qQ4pe0x2=2qQ4pe0(l-x)2,解得:x=l(2-1),即离点电荷q的距离为l(2-1)。 11-2下列几个说法中哪一个是正确的? 电场中某点场强的方向,就是将点电荷放在该点所受电场力的方向; 在以点电荷为中心的球面上,由该点电荷所产生的场强处处相同; 场强方向可由E=F/q定出,其中q为试验电荷的电量,q可正、可负,F为试验电荷所受的电场力; 以上说法都
15、不正确。 答: 11-3真空中一半径为R的的均匀带电球面,总电量为q(q0),今在球面面上挖去非常小的一块面积DS(连同电荷),且假设不影响原来的电荷分布,则挖去DS后球心处的电场强度大小和方向. 答:题意可知:s=有:E=sDS4pe0R2q4pe0R2,利用补偿法,将挖去部分看成点电荷, ,方向指向小面积元。 61 11-4三个点电荷q1、q2和-q3在一直线上,相距均为2R,以q1与q2的中心O作一半径为2R的球面,A为球面与直线的一个交点,如图。求: (1)通过该球面的电通量EdS; (2)A点的场强EA。 解:(1)EdS=Svvq1+q2e0;(2)EA=q14pe0(3R)2+q
16、24pe0R2+q34pe0R2。 11-5有一边长为a的正方形平面,在其中垂线上距中心O点a/2处, 有一电荷为q的正点电荷,如图所示,则通过该平面的电场强度通量 为多少? 解:设想一下再加5个相同的正方形平面将q围在正方体的中心, 通过此正方体闭合外表面的通量为:F闭合=q/e0,那么, 通过该平面的电场强度通量为:F=q6e0。 11-6对静电场高斯定理的理解,下列四种说法中哪一个是正确的? (A)如果通过高斯面的电通量不为零,则高斯面内必有净电荷; (B)如果通过高斯面的电通量为零,则高斯面内必无电荷; (C)如果高斯面内无电荷,则高斯面上电场强度必处处为零; (D)如果高斯面上电场强
17、度处处不为零,则高斯面内必有电荷。 答:(A) 11-7由真空中静电场的高斯定理vv1EdS=Se0q可知 (A)闭合面内的电荷代数和为零时,闭合面上各点场强一定为零; (B)闭合面内的电荷代数和不为零时,闭合面上各点场强一定都不为零; (C)闭合面内的电荷代数和为零时,闭合面上各点场强不一定都为零; (D)闭合面内无电荷时,闭合面上各点场强一定为零。 答:(C) 11-8图示为一具有球对称性分布的静电场的Er关系曲线请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。 (A)半径为R的均匀带电球面; (B)半径为R的均匀带电球体; (C)半径为R、电荷体密度r=Ar(A为常数)的非均匀带电球体; (D)
18、半径为R、电荷体密度r=A/r (A为常数)的非均匀带电球体。 答:(D) 62 11-9如图,在点电荷q的电场中,选取以q为中心、R为半径的球面上一点P处作电势零点,则与点电荷q距离为r的P点的电势为 (A)(C)q4pe0rq4pe0(r-R) (B)11-4pe0rRqq (D)11- 4pe0Rr答:(B) 11-10密立根油滴实验,是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡而测量电荷的,其电场由两块带电平行板产生实验中,半径为r、带有两个电子电荷的油滴保持静止时,其所在电场的两块极板的电势差为U12当电势差增加到4U12时,半径为2r的油滴保持静止,则该油滴所带的电荷为多少? U4U12443解:12q=r3g,q=(2r)g d3d3联立有:q=2q=4e。 11-11设无穷远处电势为零,则半径为R的均匀带电球体产生的电场的电势分布规律为(图中的U0和b皆为常量): 答:(C) 11-12无限长均匀带电直线的电势零点能取在无穷远吗? 答:不能。见书中例11-12。