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1、1九年级数学自招班讲义1相似三角形及综合 1、九年级数学签约班讲义相似三角形及综合 姓名 一、知识梳理 本单元的知识结构 数学的单元复习最重要就是梳理知识，穿线结网，形成清晰的知识链，就“相似三角形”这一单元而言，其知识网络大致如图所示： 本单元的基本图形结构图 二、典型例题： 如图已知ABC中，AB=AC,APQ=B， 求证:ABPPCQ 变式:等边ABC的边长为6,点E在AC上,AE=2,BE的中垂线交AB于点P,交BC于点F 求 :A Q B P C BP的值. BFP A E B F C 1已知在平行四边形ABCD中，AC =2AB； 求证：ABD =DAC DOCAB2已知：如图，在
2、ABC中，ADE=B，BAC=DAE 求证：A ADAE； =ABACB E C 当BAC=90时，求证：ECBC D 3、在RtDABC中, ACB=90, CDAB,垂足为D. E、F分别是AC、BC边上一点,且11AC,BF=BC. 33ACCD (1 )求证=. BCBD (2 )求EDF的度数. CE=CEFADBBAC=90，AD是BC边上的高，4、如图，在ABC中，点E在线段DC上，EFAB，EGAC，垂足分别为F，G求证： EGCG=； ADCDFDDG AGFBDEC如图，G是ABC的重心，AG、BG的延长线分别交BC于F，交AC于E，已知SDGEF=1，求：SDGBA；SD
3、ABC A G B F E C 变式在DABC中，矩形DEFG的一边FG在BC上，点D、E分别在AB、AC上，AH是BC边上的高，BC=10，AH=6. 如图4，若DG=2DE，求DE的长； 如图5，对角线DF与EG的交点过DABC的重心O，求矩形DEFG的面积. A A D K E E D K O B G H F 图4 C B G H F 图5 C 例、在平行四边形ABCD中，AB=5，AD=3，平行四边形面积是10，点P是AB上一动点，过点P作PQAD交BD于Q，连结CQ，设AP 的长为x，四边形QPBC的面积为y。写出y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围；是否存在实数x，使得S
4、DBPQ=SDBCQ？如果存在，求出x的值；如果不存在，请说明理由。 D Q C A P B 变式： 1、如图，已知梯形ABCD，ADBC，ABAD5，tanDBC=作EFDC交射线BC于点F联结EC，设BE= x，34E为射线BD上一动点，过点ESDECFSDBDC=y 求BD的长； 当点E在线段BD上时，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 联结DF，若BDF与BDA相似，试求BF的长 A D A D E B C C F B 备用图 第25题图 1、如图十二，在边长为1的正方形ABCD中，点E在边BC上(与端点不重合)，点F在射线DC上 若AF=AE，并设CE=x，AEF的面
5、积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； 当CE的长度为何值时，AEF和ECF相似? 若CE=1，延长FE与直线AB交于点G，当CF的长度为何值时，EAG是等腰三角形？ 4F C E D D C D B C B C D B B 2、在ABC中，ACB=90，AC=4,BC=3，D是边AC上一动点，过动点D的直线l与射线AB相交于点E，与射线BC相交于点F， 设CD=1，点E在边AB上，ADE与ABC相似，求此时BE的长度 如果点E在边AB上，以点E、B、F为顶点的三角形与以点E、A、D为顶点的三角形相似，设CDx， BFy，求y与x之间的函数解析式并写出函数的定义域 设CD=1，以
6、点E、B、F为顶点的三角形与以点E、A、D为顶点的三角形相似， 求SEBF:SEAD的值 BBBCACACA一、选择题 1已知x:y=2:3，下列等式中正确的是. (x+y):y=2:3； (x+y):y=1:3； (x+y):y=3:2； (x+y):y=5:3. o2RtDABC中，C=90，若BC=2，AC=3，下列各式中正确的是 . 2222； cosA=； tanA=； cotA= 3333D C 3如图，点F在平行四边形ABCD的边AB的延长线上，连结DF 交BC于点E则图中与DBEF相似的三角形有. sinA=1个； 2个； 3个； 4个. A B 4如图，在直角坐标平面内，点P
7、与原点O的距离OP=2，线段 E F OP与x轴正半轴的夹角为30， 则点P的坐标是. ； ； ； O oy P 5已知a0，关于-2a，下列说法中错误的是. -2a0； -2a与a同方向； -2a是a的2倍 x -2a与a反方向 ； 6如图，在DABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE BC， 若 AE:AC=1:3， 则SDDEC:SDDBC等于. 1:2； 1:3； 1:4； 1:5 二、填空题 7已知4:x=2:5 则x= 8计算：tan60o+3cot60o= 9已知线段AB=2cm，点P是线段AB的黄金分割点，且APPB， 则线段AP= cm 10如图，DABC的两条中线AD、
8、BE相交于点G，如果AD3， 那么GD 11若a与e的方向相反，且长度为5，用e表示a，则a= B 12如图，梯形ABCD中，点E、F分别在AB、DC边上， B E D A E C B A G D A D E C F C ADBCEF， BE:EA=1:2，若FC=2.5，则FD= 13已知DABCDA1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应， 若A= 40，C= 60，则B1=_度. 14如图，小丽的身高为1.6米，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C 点时，发现自己影子的顶端正好与树影子的顶端重合，此时，恰好D、E、A 三点在同一直线上，测得BC=4.2米，CA=0.8米，树高
9、为 米. 15. 若a=2c，b=-3c，且c0，则a与b的位置关系是 . 16. 如图, 在DABC中, 点D、E分别在BC、AC上, BE平分ABC, DEBA，CD=4, AB=8线段DE= 17. 如图，RtDABC中，ACB=90，AC=3，BC=4， oD EA C A E C B B D C CDAB，垂足为D，则cosDCB= . o18如图，RtDABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，D是 AB边的中点，P是BC边上一动点，若以 D、C、P为顶点的三角形与DABC相似，则线段PC= . 三、 A A D D B abcC 19已知： = = ，且 a + b + c =
10、 24，求a、b、c的值. 345 B o20如图，在DABC中，AB=4，BC=7，B=45，求DABC的面积. A B C 21如图，点D是DABC的边AB的中点，设AC=a，CB=b，试用a、b表示CD C A D B 22如图，正方形DEFG的边EF在DABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AHBC，垂足为H已知BC=12，AH=8，求正方形DEFG的边长 A G D B C H F E 23已知：如图， DEADAE= 求证:(1)DAB=EAC BCABAC(2) DBAC=ABEC A D E C B 24如图：在正方形ABCD中，E为BC中点，点F在CD边上，且DF
11、 = 3 FC，联结AE、AF、EF，求证ECFABE；图中是否存在与EAF相等的角？若存在，请写出并加以证明；若不存在，请说明理由 A D F B E C 25如图1，已知梯形ABCD中，ADBC,AB=10，BC=12，cosB=3，点P5在边BC上移动(点P不与点B、C重合)，点Q在射线AD上移动，且在移动的过程中始终有APQ=CAD，PQ交AC于点E 求对角线AC的长； 若PB=4，求AE的长； 当DAPE为等腰三角形时，求PB的长 A Q D E B P C 图1 A Q D E B P C 备用图 A D B C 备用图 数学试卷答案 一、选择题 1D；2C；3B；4C；5B；6B
12、 二、填空题 710；823；95-1；101；11-5e；125；1380；1410； 15平行；16. 4；17315；183或. 54三、 19解法：abca+b+cabc= 3453+4+5345代入a+b+c=24，得3k+4k+5k=24解得：a=6,b=8,c=10. 20解：作ADBC，垂足为D.在RtDABD中sinB=AD ABAD=ABsinB=4sin45=4 SDABC=o2=22 . 211BCAD=422=42. 2221 解：AC=a，CB=bAB=AC+CB=a+b 111AB,得AD=AB=(a+b) 22211111CD=AD-AC=(a+b)-a=a+b
13、-a=b-a. 2222222解：设DABC的高AH交DG于点P，正方形的边长为x 由正方形DEFG得，DGEF，即DGBC，AHBC，APDG DGAP=由DGBC得DADGDABCPHBC，DEBC BCAHDGAH-PH=PH=ED,AP=AH-PH即 BCAHx8-x24=由BC=12,AH=8,DE=DG=x，得 ，解得x= 128524正方形DEFG的边长是 5DEADAE=23证明：(1) 在DADE和DABC中，DADEDABC BCABACDAE=BAC，即DAB+BAE=BAE+EACDAB=EAC 点D是边AB的中点，AD=ADAE=且DAB=EAC ABACDBAB=D
14、ADBDAEC DBAC=ABEC ECAC(2) 在DADB和DAEC中，24如图：在正方形ABCD中，联结AE、AF、EF求证ECFABE；图中是否存在与EAF相等的角？若存在，请写出并加以证明；若不存在，请说明理由 o证明：由正方形ABCD得 AB=BC=CD，B=C=90(2分) 111AB，FC=CD=AB， 244FCBE1FCBE=在DECF和DABE中，=且B=C DECFDABE 图中存在与EAF相等的角，分别是BAE和FEC DECFDABE，FEC=BAE，且oEFECBE= AEABABoo在DABE中，B=90，BEA+BAE=90 FEC+BEA=90， oAEF=
15、90，AEF=B又EFBE=，DAEFDABE， AEABEAF=BAE 同理FEC=EAF 25解：作AHBC，垂足为H (1分) 在RtDABH中， cosB=BH3，BH=ABcosB=10=6，HC=BC-BH=12-6=6 AB5在RtDAHC中，由勾股定理得 AC=AH2+HC2=82+62=10(1分) AB=10，Ac=10 AB=AC B=ACB ADBC，得 CAD=ACB，APQ=CAD APQ=ACB， B=ACB=APQ. APC=B+BAP=APQ+QPC，又APQ=B，BAP=QPC， 即BAP=EPC 又B=ACB DABPDPCE ， PBCE4CE=(1分)
16、 ，即 解得 CE=3.2 ABPC1012-4AE=AB-CE=10-3.2=6.8 APQ=ACB，即APE=ACB又 PAE=PAC DAPEDACP 当DAPE是等腰三角形时，DACP也一定是等腰三角形）. 当PC=AC=10时，PB=BC-PC=BC-AB=12-12=2 (1分) 当PA=PC时，PAC=PCA=ABC，DACPDBCA 2511ACBC22=AC=PCBC，即10=12PC，解得 PC= PB= (1分) PCAC33当AC=AP时，则有APC=ACB=ABC，点P在BC边上，点P与点B重合， 这与点P不与点B重合矛盾 所以AEAP (1分) 综上所述，当DAPE是等腰三角形时，PB=2或PB= 11 (1分) 3
