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1、212微分在一元函数近似计算及误差计算中的应用模块基本信息 一级模块名称 先行知识 微分的概念 教学要求 1、理解微分的几何意义、误差的相关定义 简单应用 2、会利用微分求简单函数的近似值和误差估计 微分学 二级模块名称 应用模块 模块编号 模块编号 2-12 2-11 掌握程度 三级模块名称 微分在一元函数近似计算及误差计算中的应用 知识内容 1、微分的几何意义、误差的相关定义 2、简单函数的近似值和误差估计 能力目标 1、培养学生的理解能力 2、培养学生的对比类推能力 时间分配 修订 45分钟 编撰 肖莉娜 秦小娜 校对 二审 方玲玲 审核 危子青 危子青 一、正文编写思路及特点： 思路：
2、首先复习函数微分的相关知识，利用微分的几何意义，导出近似计算公式，给出误差估计。 特点：通过微分的几何意义，说明微分的近似计算公式，直观，更容易理解。 二、授课部分 复习回顾 由微分的定义可知： 1、函数值得增量：Dy=f(x0)Dx+aDx 2、增量的主要部分：dy=f(x0)Dx 3、近似相等：Dydy 微分的几何意义 当Dy 是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的增量时, dy 就是曲线的切线上点纵坐标的|Dx|很小时, |Dx|小得多. 因此在可以用切线段来近似 相应增量. 当|Dy-dy|比点M的邻近,代替曲线段. 由于dy=f(x0)Dx=tanaDx，其中a为切线的倾斜角，而Dy 是
3、曲线y=f(x)上的点的纵坐标的增量，当|Dx|很小时, |Dy-dy|比|Dx|小得多. 因此在点M的邻近,可以用切线段来近似代替曲线段. 微分在近似计算中的应用 由Dydy=f(x0)Dx有： f(x) f(x 0)+f (x0)(x-x0). 例1利用微分计算sin 3030的近似值. 解: 已知3030= p+p, x0= p, Dx=p. 63606360 sin 3030=sin(x0+Dx)sin x0+Dx cos x0 =sin p+cos pp 66360 =1+3p=0.5076. 22360即 sin 30300. 5076. 例2求1.05的近似值. 解: 已知 n1
4、+x1+1x, 故 n 1.05=1+0.051+10.05=1.025. 2直接开方的结果是1.05=1.02470. 例3有一批半径为1cm的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0. 01cm. 估计一了每只球需用铜多少g(铜的密度是8. 9g/cm 3)? 解: 已知球体体积为V=4pR3, R0=1cm, DR=0. 01cm. 3镀层的体积为 DV=V(R0+DR)-V(R0)V (R0)DR=4pR 02DR =43. 1412 0. 01=0. 13(cm3). 于是镀每只球需用的铜约为 0. 13 8. 9 =1. 16(g). 误差估计 简单介绍误差估计的用
5、途 绝对误差：如果某个量的精确值为A, 它的近似值为a, 那么|A-a|叫做a的绝对误差. 相对误差：绝对误差|A-a|与|a|的比值|A-a|叫做a的相对|a|误差. 绝对误差限：在实际工作中, 只能估计|A-a|的上界，叫做测量A的绝对误差限, 记为dA. 相对误差限: dA叫做测量A的相对误差限. |a| 例4设测得圆钢截面的直径D=60. 03mm, 测量D的绝对误差限dD=0.05. 利用公式A=pD2计算圆钢的截面积时, 试估计面4积的误差. 解:DAdA=ADD= pDDD , 2 |DA|dA|= pD|DD|pDdD. 22 已知D=60.03, dD =0. 05, 所以 dA= pDdD= p60.030.05=4.715(mm 2)， 22dAA=2pDdDpD24=2dD=20.050.17%. D60.03三、能力反馈部分 利用微分求tan46o的近似值。 计算球的体积时，若要求相对误差不超过0.02，测量直径的相对误差不能超过多少？
