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1、2422 直线和圆的位置关系 同步测控优化训练24.2.2 直线和圆的位置关系 一、课前预习 (5分钟训练) 1.已知RtABC的斜边AB=6 cm,直角边AC=3 cm. (1)以C为圆心，2 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_； (2)以C为圆心，4 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_； (3)如果以C为圆心的圆和AB相切，则半径长为_. 2.三角形的内心是三角形_的交点. 3.O的半径r=5 cm，点P在直线l上，若OP=5 cm，则直线l与O的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交 4.设O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与O至少有一个公共点，则
2、d应满足的条件是( ) A.d=3 B.d3 C.d3 D.d3 二、课中强化(10分钟训练) 1.如图24221,已知AOB=30,M为OA边上一点,以M为圆心、2 cm为半径作M.若点M在OA边上运动,则当OM=_ cm时,M与OB相切. 图24221 2.O的半径为R，直线l和O有公共点，若圆心到直线l的距离是d，则d与R的大小关系是( ) A.dR B.dR C.dR D.dR 3.在RtABC中，C=90，AB=10，AC=6，以C为圆心作C和AB相切，则C的半径长为( ) A.8 B.4 C.9.6 D.4.8 4.O内最长弦长为m，直线l与O相离，设点O到l的距离为d，则d与m的
3、关系是( ) A.d=m B.dm C.dmm D.d 225.以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 - 1 - 6.如图24222，PA、PB是O的两条切线，切点是A、B.如果OP=4，PA=23，那么AOB等于( ) 图24222 A.90 B.100 C.110 D.120 7.已知在RtABC中，ABC=90，D是AC的中点，O经过A、D、B三点，CB的延长线交O于点E(如图24223(1). 在满足上述条件的情况下，当CAB的大小变化时，图形也随着改变(如图24223(2)，在这个变化过程中，有
4、些线段总保持着相等的关系. 图24223 观察上述图形，连结图24223(2)中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段CE相等； 连结_. 求证：_=CE. 证明： - 2 - 8.如图24224,延长O的半径OA到B,使OA=AB,DE是圆的一条切线,E是切点,过点B作DE的垂线,垂足为点C. 求证:ACB=1OAC. 3 图24224 三、课后巩固(30分钟训练) 1.如图24225，已知同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E.求证：CD是小圆的切线. 图24225 - 3 - 2.如图24226，是不倒翁的正视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA、PB分别相
5、切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若OAB=25，求APB的度数. 图24226 3.已知如图24227所示，在梯形ABCD中，ADBC，D=90，ADBC=AB，以AB为直径作O，求证：O和CD相切. 图24227 - 4 - 4.如图24228所示，已知AB为O的直径，C、D是直径AB同侧圆周上两点，且CD=BD，过D作DEAC于点E，求证：DE是O的切线. 图24228 5.如图24229，已知正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点,P不运动到M和C,以AB为直径作O，过点P作O的切线交AD于点F,切点为E.求四边形CDFP的周长. 图24229 -
6、5 - 6.如图242210所示，已知AB为半圆O的直径，直线MN切半圆于点C，ADMN于点D，BEMN于点E，BE交半圆于点F，AD=3 cm，BE=7 cm， (1)求O的半径； (2)求线段DE的长. 图242210 7.如图242211,已知A与B外切于点P,BC切A于点C,A与B的内公切线PD交AC于点D,交BC于点M. (1)求证:CD=PB; (2)如果DNBC,求证:DN是B的切线. 图242211 - 6 - 8.在直角坐标系中，O1经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B. (1)如图242212，过点A作O1的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为12
7、AC3,=，求直线AC的解析式; 5BC5(2)若O1经过点M(2，2)，设BOA的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发如果不变，求出其值;如果变化，求其变化的范围. - 7 - 242212 生变化? 图 参考答案 一、课前预习 (5分钟训练) 1.已知RtABC的斜边AB=6 cm,直角边AC=3 cm. (1)以C为圆心，2 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_； (2)以C为圆心，4 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_； (3)如果以C为圆心的圆和AB相切，则半径长为_. 思路解析：由勾股定理知此直角三角形斜边上的高是33 cm，因此当圆与AB相切时，2半径为33 cm. 2
8、33 cm 2答案：相离 相交 2.三角形的内心是三角形_的交点. 思路解析：由三角形的内心即内切圆圆心到三角形三边相等. 答案：三个内角平分线 3.O的半径r=5 cm，点P在直线l上，若OP=5 cm，则直线l与O的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交 思路解析：点P也可能不是切点，而是直线与圆的交点. 答案：D 4.设O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与O至少有一个公共点，则d应满足的条件是( ) A.d=3 B.d3 C.d3 D.d3 思路解析：直线l可能和圆相交或相切. 答案：B 二、课中强化(10分钟训练) 1.如图24221,已知AOB=3
9、0,M为OA边上一点,以M为圆心、2 cm为半径作M.若点M在OA边上运动,则当OM= cm时,M与OB相切. 图24221 - 8 - 思路解析：根据切线的定义,可得OM=22=4. 答案：4 2.O的半径为R，直线l和O有公共点，若圆心到直线l的距离是d，则d与R的大小关系是( ) A.dR B.dR C.dR D.dR 思路解析：直线l与O有公共点，则l与直线相切或相交，所以dR. 答案：D 3.在RtABC中，C=90，AB=10，AC=6，以C为圆心作C和AB相切，则C的半径长为( ) A.8 B.4 C.9.6 D.4.8 思路解析：作CDAB于D，则CD为C的半径，BC=由面积相
10、等，得ABCD=ACBC. CD=AB2-AC2=102-62=8，68=4.8. 10答案：D 4.O内最长弦长为m，直线l与O相离，设点O到l的距离为d，则d与m的关系是( ) mm D.d 22mm思路解析：最长弦即为直径，所以O的半径为，故d. 22A.d=m B.dm C.d答案：C 5.以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 思路解析：直径边必垂直于相切边. 答案：B 6.如图24222，PA、PB是O的两条切线，切点是A、B.如果OP=4，PA=23，那么AOB等于( ) 图24222 - 9
11、 - A.90 B.100 C.110 D.120 思路解析：PA、PB是O的两条切线，切点是A、B, PAOA，PBOB.APO=BPO. OP4，PA=23，OA=2.APO=BPO=30，即APB=60.AOB=120. 答案：D 7.已知在RtABC中，ABC=90，D是AC的中点，O经过A、D、B三点，CB的延长线交O于点E(如图24223(1). 在满足上述条件的情况下，当CAB的大小变化时，图形也随着改变(如图24223(2)，在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系. 图24223 观察上述图形，连结图24223(2)中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段CE相
12、等； 连结_. 求证：_=CE. 证明： 思路分析：由切线的性质定理和三角形中位线定理和线段垂直平分线性质定理来解决. 答案：AE AE 证法一：如图，连结OD, ABC90，CB的延长线交O于点E, ABE90. AE是O的直径. D是AC的中点，O是AE的中点, - 10 - 1CE. 21OD=AE,AECE. 2OD=证法二：如图，连结BD,在RtABC中，ABC90, D是AC的中点, ADCDBD.12. 四边形AEBD内接于O, 1DAE. 2DAE.AECE. 证法三：如图，连结DE, 同证法一，得AE是O的直径, ADE90. D是AC的中点, DE是线段AC的垂直平分线.A
13、ECE. 8.如图24224,延长O的半径OA到B,使OA=AB,DE是圆的一条切线,E是切点,过点B作DE的垂线,垂足为点C. 求证:ACB=1OAC. 3图24224 - 11 - 证明:连结OE、AE,并过点A作AFDE于点F, DE是圆的一条切线,E是切点,OEDC. 又BCDE,OEAFBC. 1=ACB,2=3. OA=OE,4=3.4=2. 又点A是OB的中点,点F是EC的中点. AE=AC.1=2. 4=2=1,即ACB=三、课后巩固(30分钟训练) 1.如图24225，已知同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E.求证：CD是小圆的切线. 1OAC. 3图2
14、4225 思路分析：证切线的两种方法是：作半径，证垂直；作垂直，证半径.本题属于，前一个例题属于. 证明：连结OE，作OFCD于F. AB切小圆于E，OEAB. OFCD，AB=CD，OE=OF.CD是小圆O的切线. 2.如图24226，是不倒翁的正视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA、PB分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若OAB=25，求APB的度数. - 12 - 图24226 思路分析：由切线的性质定理和等腰三角形“三线合一”定理解决. 解法一：PA、PB切O于A、B， PA=PB.OAPA. OAB=25,PAB=65. APB=180652=50. 解法二：连结OB，
15、如图(1). PA、PB切O于A、B， OAPA，OBAB. OAP+OBP=180. APB+AOB=180. OA=OB，OAB=OBA=25. AOB=130.APB=50. 解法三：连结OP交AB于C，如图(2). PA、PB切O于A、B， OAPA，OPAB. OP平分APB，APC=OAB=25. APB=50. 3.已知如图24227所示，在梯形ABCD中，ADBC，D=90，ADBC=AB，以AB为直径作O，求证：O和CD相切. - 13 - 图24227 思路分析：要证O与CD相切，只需证明圆心O到CD的距离等于半径OA(或OB或1AB)即可，即在不知道圆与直线是否有公共点的
16、情况下通常过圆心作直线的垂线段，2然后证垂线段的长等于半径(“作垂直，证半径”)，这是证直线与圆相切的方法之一. 证明：过O作OECD于点E. OECD，OEC=90. D=90，OEC=D.ADOE. ADBC，ADBCOE.来源:Zxxk.Com OA=OB,CE=DE. OE=1 (AD+BC). 21AB. 2ADBC=AB， OE=O与CD相切. 4.如图24228所示，已知AB为O的直径，C、D是直径AB同侧圆周上两点，且CD=BD，过D作DEAC于点E，求证：DE是O的切线. 图24228 思路分析：要证DE是O的切线，根据切线的判定定理，连结OD，只须证明ODDE即可，即“作半
17、径，证垂直”这是证明圆的切线的另一方法. - 14 - 证明：连结OD、AD. 弧CD=弧BD，1=2. OA=OD， 2=3. 1=3. AEOD. AEDE，ODDE. DE是O的切线. 5.如图24229，已知正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点,P不运动到M和C,以AB为直径作O，过点P作O的切线交AD于点F,切点为E.求四边形CDFP的周长. 图24229 思路分析：从圆外一点引圆的两条切线，可证切线长相等，则可将四边形CDFP的周长转化为正方形边长的3倍. 解：四边形ABCD是正方形,A=B=90. AF、BP都是O的切线. 又PF是O的切线, FE
18、=FA,PE=PB. 四边形CDFP的周长为 AD+DC+CB=23=6. - 15 - 6.如图242210所示，已知AB为半圆O的直径，直线MN切半圆于点C，ADMN于点D，BEMN于点E，BE交半圆于点F，AD=3 cm，BE=7 cm， (1)求O的半径； (2)求线段DE的长. 图242210 思路分析：(1)连结OC，证OC为梯形中位线.在解有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径. (2)连结AF，证四边形ADEF为矩形，从而得到AD=EF，DE=AF，然后在RtABF中运用勾股定理,求AF的长. 解：(1)连结OC. MN切半圆于点C， OCMN. ADMN，BEMN， A
19、DOCBE. OA=OB， OC为梯形ADEB的中位线. OC=1(ADBE)=5 cm. 2所以O的半径为5 cm. (2)连结AF. AB为半圆O的直径， AFB=90.AFE=90. 又ADE=DEF=90， 四边形ADEF为矩形. - 16 - DE=AF，AD=EF=3 cm. 在RtABF中，BF=BEEF=4 cm，AB=2OC=10 cm. 由勾股定理，得AF=DE=221 cm. 7.如图242211,已知A与B外切于点P,BC切A于点C,A与B的内公切线PD交AC于点D,交BC于点M. (1)求证:CD=PB; (2)如果DNBC,求证:DN是B的切线. AB2-BF2=1
20、02-42=221(cm), 图242211 思路分析：证线段相等,一般先证两三角形全等.证圆的切线可以先作垂直,后证半径长即可. 证明：(1)BC切A于点C,DP切A于点P, DCM=BPM=90,MC=MP. DMC=BMP,DCMBPM. CD=PB. (2)过点B作BHDN,垂足为点H. HDBC,BCCD,HDCD. BCD=CDH=BHD=90. 四边形BCDH是矩形. BH=CD. CD=PB,BH=PB. DN是B的切线. 8.在直角坐标系中，O1经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B. (1)如图242212，过点A作O1的切线与y轴交于点C，点O到直线AB
21、的距离- 17 - 为12AC3,=，求直线AC的解析式; 5BC5(2)若O1经过点M(2，2)，设BOA的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化?如果不变，求出其值;如果变化，求其变化的范围. 图242212 思路分析：由切线的性质和勾股定理可求出A、C两点的坐标，这样直线AC的解析式可求. 解：(1)如图，过O作OGAB于G，则OG=设OA=3k(k0), AOB=90,12, 5AC3=, BC5AB=5k,OB=4k. OAOB=ABOG=2SAOB, 3k4k=5k=1. OA=3,OB=4,AB=5. A(3,0). AOB=90, AB是O1的直径. AC切O1于A
22、， BAAC. - 18 - 12. 5BAC=90. 在RtABC中,BC=AB4=, BC525. 4OC=BCOB=C(0, 9. 49). 4设直线AC的解析式为y=kx+b，则 3k+b=0,39k=,b=. 944b=-.4直线AC的解析式为y=39x. 44(2)结论：d+AB的值不会发生变化, 设AOB的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T，如图所示. BQ=BT,AP=AT,OQ=OP=BQ=BT=OBd. 2dd,AP=AT=OA. 22ddAB=BT+AT=OB+OA=OA+OBd. 22则d+AB=d+OA+OBd=OA+OB. 在x轴上取一点N，使AN=OB，连结OM、BM、AM、MN. M(2,2),OM平分AOB. OM=22. BOM=MON=45. AM=BM. 又MAN=OBM,OB=AN, BOMANM. BOM=ANM=45,ANM=MON. - 19 - OA+OB=OA+AN=ON=OM2+MN2=2OM=222=4. d+AB的值不会发生变化，其值为4. - 20 -
