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1、243 正多边形和圆 同步测控优化训练24.3 正多边形和圆 一、课前预习 (5分钟训练) 1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( ) A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化 2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( ) A.321 B.432 C.421 D.643 3.正五边形共有_条对称轴，正六边形共有_条对称轴. 4.中心角是45的正多边形的边数是_. 5.已知ABC的周长为20,ABC的内切圆与边AB相切于点D,AD=4,那么BC=_. 二、课中强化(10分钟训练) 1.若正n边形的一个外角是一个内角的23时，此时该正n边形有_条
2、对称轴. 2.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( ) A.62 B.34 C.63 D.433.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是( ) A.S3S4S6 B.S6S4S3 C.S6S3S4 D.S4S6S3 4.已知O和O上的一点A(如图24-3-1). (1)作O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH； (2)在(1)题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是O内接正十二边形的一边. 图24-3-1 - 1 - 三、课后巩固(30分钟训练) 1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( ) A.36 B.34 C.12
3、233 D.332.已知正多边形的边心距与边长的比为，则此正多边形为( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形 3.已知正六边形的半径为3 cm，则这个正六边形的周长为_ cm. 4.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于_度. 5.如图24-3-2，两相交圆的公共弦AB为23，在O1中为内接正三角形的一边，在O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比. 图24-3-2 6.某正多边形的每个内角比其外角大100，求这个正多边形的边数. 7.如图24-3-3，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆
4、片的半径最小应为多少？ 图24-3-3 - 2 - 8.如图24-3-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价). 图24-3-4 9.用等分圆周的方法画出下列图案： 图24-3-5 10.如图24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、24-3-6(n)，M、N分别是O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、正n边形ABCDE的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON. 图24-3-6 (1)求图24-3-6(1)中MON的度数； (2)图24-3-6(2)中MON的度数是_，图24-3-6(3)中MO
5、N的度数是_； (3)试探究MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案). - 3 - 参考答案 一、课前预习 (5分钟训练) 1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( ) A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化 思路解析：由题意知圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正n边形的边长也扩大一倍，所以相应的圆内接正n边形的边长与半径之比没有变化. 答案：D 2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( ) A.321 B.432 C.421 D.643 思路解析：如图，设正三角形的边长为a，则高AD=32a，外接圆半径OA=33a，边心距OD=36
6、a， 所以ADOAOD=321. 答案：A 3.正五边形共有_条对称轴，正六边形共有_条对称轴. 思路解析：正n边形的对称轴与它的边数相同. 答案：5 6 4.中心角是45的正多边形的边数是_. 思路解析：因为正n边形的中心角为答案：8 5.已知ABC的周长为20,ABC的内切圆与边AB相切于点D,AD=4,那么BC=_. 思路解析:由切线长定理及三角形周长可得. 答案:6 二、课中强化(10分钟训练) 1.若正n边形的一个外角是一个内角的思路解析：因为正n边形的外角为所以由题意得360n23360360n，所以45=360n，所以n=8. 时，此时该正n边形有_条对称轴. ，一个内角为(n-
7、2)180n=n2(n-2)1803， n，解这个方程得n=5. - 4 - 答案：5 2.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( ) A.62 B.34 C.63 D.43思路解析：画图分析,分别求出正三角形、正方形的边长，知应选A. 答案：A 3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是( ) A.S3S4S6 B.S6S4S3 C.S6S3S4 D.S4S6S3 思路解析：周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大. 答案：B 4.已知O和O上的一点A(如图24-3-1). (1)作O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH； (2)在(1
8、)题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是O内接正十二边形的一边. 图24-3-1 思路分析：求作O的内接正六边形和正方形，依据定理应将O的圆周六等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分.要证明DE是O内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明DE所对圆心角等于3601230. (1)作法： 作直径AC; 作直径BDAC; 依次连结A、B、C、D四点, - 5 - 四边形ABCD即为O的内接正方形; 分别以A、C为圆心，OA长为半径作弧，交O于E、H、F、G; 顺次连结A、E、F、C、G、H各点. 六边形AEFCGH即为O的内接正六边形. (2)证明：
9、连结OE、DE. AOD360490，AOE360660， DOEAODAOE30. DE为O的内接正十二边形的一边. 三、课后巩固(30分钟训练) 1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( ) A.36 B.34 C.233 D.33思路解析：正六边形的两条平行边之间的距离为1，所以边心距为0.5,则边长为答案：D 2.已知正多边形的边心距与边长的比为1233. ，则此正多边形为( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形 思路解析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选B. 答案：B 3.已知正六边形的半径为3 cm，则这个正六边形的周长为_ cm. 思
10、路解析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用P66an求出周长. 答案：18 4.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于_度. 答案：144. 5.如图24-3-2，两相交圆的公共弦AB为23，在O1中为内接正三角形的一边，在O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比. - 6 - 图24-3-2 思路分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径R3与R6的平方比即可. 解：设正三角形外接圆O1的半径为R3，正六边形外接圆O2的半径为R6，由题意得R3=33AB，R6=AB，R3R633.O1的面积O2的面积13. 6.某正多边形的每个内角
11、比其外角大100，求这个正多边形的边数. 思路分析：由正多边形的内角与外角公式可求. 解：设此正多边形的边数为n，则各内角为(n-2)180n(n-2)180n，外角为360n，依题意得-360n100.解得n9. 7.如图24-3-3，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？ 图24-3-3 思路分析：设三个圆的圆心为O1、O2、O3，连结O1O2、O2O3、O3O1，可得边长为4 cm的正O1O2O3，设大圆的圆心为O，则点O是正O1O2O3的中心，求出这个正O1O2O3外接圆的半径，再加上O1的半径即为所求. 解：
12、设三个圆的圆心为O1、O2、O3，连结O1O2、O2O3、O3O1，可得边长为4 cm的正O1O2O3，则正O1O2O3外接圆的半径为433 cm，所以大圆的半径为433+2=43+63 (cm). - 7 - 8.如图24-3-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价). 图24-3-4 答案：略. 9.用等分圆周的方法画出下列图案： 图24-3-5 作法：(1)分别以圆的4等分点为圆心，以圆的半径为半径，画4个圆； (2)分别以圆的6等分点为圆心，以圆的半径画弧. 10.如图24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、24-3
13、-6(n)，M、N分别是O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、正n边形ABCDE的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON. 图24-3-6 (1)求图24-3-6(1)中MON的度数； (2)图24-3-6(2)中MON的度数是_，图24-3-6(3)中MON的度数是_； - 8 - (3)试探究MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案). 答案：(1)方法一：连结OB、OC. 正ABC内接于O， OBM=OCN30， BOC=120. 又BM=CN，OB=OC， OBMOCN. BOMCON. MON=BOC=120. 方法二：连结OA、OB. 正ABC内接于O， AB=AC，OAM=OBN=30, AOB=120. 又BMCN， AM=BN. 又OA=OB, AOMBON. AOM=BON. MON=AOB=120. (2)90 72 (3)MON=360n. - 9 -
