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1、25反函数的求导法则模块基本信息 一级模块名称 三级模块名称 先行知识 微分学 反函数的求导法则 二级模块名称 模块编号 模块编号 教学要求 1、了解反函数求导的证明 2、会用反函数的求导法则求导 计算模块 2-5 2-2 2-4 掌握程度 导数的定义 导数的四则运算法则 知识内容 1、反函数求导的证明 2、反函数的求导法则求导 能力目标 时间分配 修订 培养学生解决问题的能力 15分钟 编撰 陈亮 理解 校对 方玲玲 审核 危子青 危子青 肖莉娜 二审 一、正文编写思路及特点 思路：通过引例引出反函数的求导问题，接着解决问题，并由此导出反函数的求导法则，最后把所得结论运用到其他反函数的求导上
2、。 特点：通过问题引导学生思考，并从中推导出一些常见反函数导数计算方法，培养学生解决问题的能力。 二、授课部分 、预备知识 1、导数的定义 2、导数的四则运算法则 、新课讲授 =? 1、引例：(arcsinx) 如果令y=arcsinx得x=siny 提问： dydx与有什么关系？ dxdy 2、反函数的求导法则 如果函数x=f(y)在某区间Iy内单调、可导且f(y)0 , 那它的反函数y=f-1(x)在对应区间Ix=x|x=f(y),yIy内也可导, 并且 f-1(x)=dy11. 或. =dxdxf(y)dy 简要证明: 由于x=f(y)在Iy内单调、可导(从而连续), 所以x=f(y)
3、的反函数y=f-1(x)存在, 且f-1(x)在Ix内也单调、连续. 任取xIx , 给x以增量Dx(Dx0, x+DxIx), 由f-1(x)的单调性可知 -1-1 Dy=f(x+Dx)-f(x)0 于是 Dy1=. DxDxDy因为f-1(x)连续, 故 从而 f-1(x)=limDy11=lim=Dy0DxDxf(y)Dy Vx0limDy=0Dx0 注：反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 、典型例题 例1. 证明：(arcsinx)=11-x2解：函数x sin y)在开区间(-y)=cos y0. p p, )内单调、可导, 且(sin 22 因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间Ix=(-1,1)内有 (arcsinx)=11= (siny)cosy =课堂练习： 11-siny2=11-x2证明：(arccosx)=- 证明：(arctanx)=11-x21 1+x2三、能力反馈部分 证明：(arccotx)=- 1 21+x
