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1、413 定积分中的重要结论模块基本信息 一级模块名称 积分学 三级模块名称 定积分中的重要结论 1、函数的奇偶性与周期性 先行知识 2、定积分的几何意义和性质 知识内容 1、函数奇偶性计算定积分 2、函数周期性计算定积分 能力目标 时间分配 培养学生的计算能力 20分钟 编撰 王明 二级模块名称 基础模块 模块编号 4-13 模块编号 1-1 模块编号 4-3 教学要求 掌握程度 1、会用函数奇偶性计算定积分 了解 2、了解函数周期性计算定积分 熊文婷 审核 危子青 校对 一、正文编写思路及特点 思路：根据积分的几何意义，结合函数奇偶性特点，周期性特点，得出相关结论，简化部分函数的积分难度。
2、特点：根据对不同特点函数积分的处理，培养学生的总结能力和观察能力。 二、授课部分 知识回顾 1、函数的奇偶性与周期性 2、定积分的几何意义和性质 新课讲授 1、利用函数的奇偶性计算定积分 函数奇偶性定理：设f(x)在关于原点的对称区间-a,a上连续，则有 a0-af(x)dx=f(x)+f(-x)dx； aa于是我们可以得到以下结论： 若f(x)为奇函数，则f(x)dx=0； -aa 若f(x)为偶函数，则f(x)dx=2f(x)dx. -aa0证明：采用区间积分的可加性得 a-af(x)dx=f(x)dx+f(x)dx -a-a00a-a-a00a对于积分f(x)dx，令t=-x得f(x)d
3、x=f(-t)dt 则式可化为f(x)dx=f(-x)dx+f(x)dx -a00aaa若f(x)是奇函数，那么对于x-a,a,都有f(-x)=-f(x),此时式可化为 a-af(x)dx=f(-x)dx+f(x)dx 00aa00aa =f(-x)dx+f(x)dx =-f(x)dx+f(x)dx=0 00aa若f(x)是偶函数，那么对于x-a,a,都有f(-x)=f(x),此时式可化为 a-af(x)dx=f(-x)dx+f(x)dx 00aaaaa =f(x)dx+f(x)dx=2f(x)dx 000综上所得，结论成立。 说明：上述结论很重要，常常来简化奇函数与偶函数在关于原点对称的区间
4、-a,a上的积分. x3sin2xdx 例1 ：求定积分-51+x2+x45解:注意到积分区间为对称区间，被积函数为奇函数，于是 x3sin2x-51+x2+x4dx=0 5sinx2例2 ：求定积分+xxdx 81+x解:因为 而121-211sinxsinx22+xxdx=1dx+21x2xdx 88-1+x-1+x22121-2sinx11112-,-,上的偶函数，是上的奇函数，是xx81+x2222121-2所以sinx123，dx=0xxdx=2xdx=x1+x82121-21201420=1 32sinx112 故 +xxdx=0+=1+x83232(选讲)例3：求定积分p121-
5、2cosxcos2x+2sin2x2-pdx(提高部分,可选讲） 解:Qcosxcosx+2sinxp2是偶函数 dxcosxcos2x+2sin2xpcosx-p=2dxcos2x+2sin2xppcosx-cosx=22dx+p2cos2x+2sin2xdx 0cos2x+2sin2x0p=2arctansin=2=p20-arctansinxpp2p22、利用函数的周期性计算定积分 如果被积函数是一个周期函数，我们应注意将积分区间进行分割，分割成几段长度相同的区间，这样我们只需要计算一个区间的定积分就可以得到整个区间的定积分的值。也就是说利用函数的周期性可以简化计算，减少计算量。 定理:
6、如果f(x)是一周期为T的连续函数，a为任意实数，则必有 (1)f(x)dx=0TT+T2T2f(x)dx=a+Taf(x)dx，即f(x)在任意长度等于T的区间上，定积分值相等，和区间的两端点位置没有关系。 例如：sinxdx=sinxdx=coxxdx=cosxdx=0，正弦函0-p0-p2pp2pp数、余弦函数在周期区间上的定积分的值为0. nT0f(x)dx=nf(x)dx, 0T例如：cosxdx=cosxdx=0，即余弦函数在半周期的区间上，0TT2T定积分的值等于0. 例4 求定积分 I=p01dx.(提高部分,可选2222asinx+bcosx讲） 解：由题意得，被积函数是一个
7、以p为周期的偶函数 I=pp01dx2222asinx+bcosx =2p1dx-a2sin2x+b2cos2x2 p0=22pd(tanx)b2+a2tan2x d(tanx)aab1+(tanx)2b p20=2202a=arctan(tanx)abb-0=pab 1000例5 设j(x)表示距离x最近整数的距离，计算j(x)dx(提高部分,可选讲） 1x,0x2，且j(x)为周期函数，周期为1， 解：由j(x)=1-x,1x12则j(x)dx=100j(x)dx=100xdx+1xdx+1(1-x)dx=25 0022100112011三、能力反馈部分 x3dx. 1、求定积分-21+sin2x22、求定积分 2x2-x5cosx2+4-x2-2dx.
