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1、424曲线的弧长模块基本信息 一级模块名称 三级模块名称 先行知识 知识内容 1、平面曲线弧长的定义 2、弧长的求法 能力目标 时间分配 修订人 1、培养学生理解能力 2、培养学生的计算能力 30分钟 编撰 秦小娜 校对 审核人 方玲玲 审核 危子青 危子青 张云霞 积分学 曲线的弧长 微元法 二级模块名称 模块编号 模块编号 教学要求 1、 理解平面曲线弧长的定义 2、 掌握简单弧长的求法 应用模块 4-24 4-22 掌握要求 简单应用 一、 正文编写思路及特点： 思路与特点：通过复习函数的微元法，引出曲线弧长概念，提出问题再进行解决 二、授课部分 旧课复习: 复习微元法 新课讲解 我们已
2、经知道，圆的周长可以利用圆的内接正多边形的周长当边数无限增多时的极限来确定. 下面用类似的方法建立平面连续曲线弧长的概念，并利用定积分来计算它的长度. 1、曲线弧长定义 定义1：设有平面曲线AB，在其上任取分点A=M0，M1，Mn-1，Mn=B，连接相邻的两个分点得到n条线段Mi-1Mi，i=1，2， n.以i=表示线段Mi-1Mi的长度，记=maxri,1in若极限limri存在，则定义此极限值为曲线弧AB的长度，l0i=1n并称弧AB是可求长的. 图1 注：光滑曲线弧是可求长的 1、曲线弧长的计算 下面利用定积分的微元法并对曲线弧的方程为直角坐标方程、参数方程、极坐标方程三种情形来推出弧长
3、的计算公式. 直角坐标的情形. 问题：设曲线AB的方程为y=f(x)，xa，b，且f在a，b上有一阶连续导数，求此曲线弧的长度. 解：考虑a,b内的典型小区间x，x+x，相应于此区间的弧长记为s，s近似地等于弦长，即. Dy22Ds=Dx+Dy=1+Dx=1+f(x)Dx .Dx22故得弧长的微分元素为 ds=1+f(x)2dx . 从而，弧AB的长为 s=ba1+f2(x)dx. 23例1 计算曲线y=x2上相应于a，b的一段弧的长度. 3解ds=1+(x)dx=1+xdx s=b333221+xdx=(1+x)2=(1+b)2-(1+a)23a3b122. a(2)参数方程的情形 问题：若
4、曲线弧AB的方程由参数方程 x=j(t), y=y(t),给出，设(t)，(t)在，上具有连续导数，曲线上两个端点A、B所对应t的值分别是与，求此曲线弧的长度. 解：利用微元法，由于dx=(t)dt,dy=(t)dt,因此对于任意的 ta,b典型小区间t,t+dt上相应弧长元素为ds=(dx)2+(dy)2=j2(t)+y2(t)dt. 所以，曲线弧AB的弧长为s=baj2(t)+y2(t)dt. x=a(t-sint),例2如图2所示，计算摆线的一拱y=a(1-cost),的长度. 图2 解由于 ds=a2(1-cost)2+a2sin2tdt =a2(1-cost)dt =2asintdt
5、， 2所以 s=2asin02p2pttdt=2asindt 022t2p=2a(-2cos)=8a. 20(选讲)(3)极坐标方程的情形 问题：如果曲线方程由极坐标方程r=r(q)(aqb)给出，且r(q)在a,b存在一阶连续导数，求这曲线弧的长度. 解：由直角坐标系与极坐标系的关系可得曲线弧的参数方程 x=r(q)cosq, y=r(q)sinq,可得 j(q)=r(q)cosq=r(q)cosq-r(q)sinq, y(q)=r(q)sinq=r(q)sinq+r(q)cosq, 从而2()+2()=r2()+r2(). 于是所求弧长为 s=bar2(q)+r2(q)dq. 图3 例3求
6、心形线R=a的全长. 解由弧长公式有ds=r2+r2dq =a2(1+cosq)2+a2sin2qdq =a2(1+cosq)dq. 由对称性知 ppqqps=2a2(1+cosq)dq=2a2cosdq=8asin=8a. 00220总结： 设曲线AB的方程为y=f(x)，xa，b，且f在a，b上有一阶连续导数，则弧长公式为s=ba1+f2(x)dx. x=j(t),若曲线由参数方程给出，其中(t)，(t)y=y(t),在，上具有连续导数，则弧长公式为s=baj2(t)+y2(t)dt 若曲线由极坐标方程r=r(q)(aqb)给出，则弧长公式为s=bar2(q)+r2(q)dq 三、能力反馈部分 计算曲线y=lnx上相应于3x8的一段弧的长度. 计算星形线x=acos3t,y=asin3t的全长. 求心形线r=a(1+cosq)的全长
