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1、5导数及其应用补讲：导数及其应用 一选择题： (1) 已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x0(a,b)，则limh0f(x0+h)-f(x0-h)= ( ) h (A)f(x0) (B)2f(x0) (C)-2f(x0) (D)0 (2) 函数y=xlnx在区间 ( ) (A) (0,)上单调递减 (B) (,+)上单调递减 (C) (0,+)上单调递减 (D) (0,+)上单调递增 (3) 函数y=2x-3x-12x+5在0,3上的最大值和最小值依次是( ) (A) 12,-15 (B) 5,-15 (C) 5,-4 (D) -4,-15 (4) 已知函数f(x)=x+ax+(a
2、+6)x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是 ( ) (A)-1a2 (B)-3a6 (C)a6 (D)a2 (5) 设点P是曲线y=x-3x+32321e1e2上的任意一点，P点处切线倾斜角为a，则角a的取值范围是 ( ) 32pp2p(A) ，p) (B) (， 323p2pp5p(C) 0,)U,p) (D) 0,)U,p) 2326332 (6) 方程x-6x+9x-10=0的实根个数是 ( ) (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 二填空题： (7) 函数f(x)=x(x-c)在x=2处有极大值，则实数c= (8) 已知曲线C：y=x-3x+2x，直线l：y=kx，若
3、l与C相切于点(x0,y0)(x00)，则切点坐标是 (9) 函数f(x)=-x+bx(bR)在区间(0,1)上单调递增，且关于x的方程 3322f(x)=0的根都在区间-2,2内，则实数b的取值范围是 (10) 已知f(x)=x+3x+a(aR)在-3，3上有最小值3，则在-3，3上， f(x)的最大值是 三解答题： (11) 函数f(x)=x-3ax+b(a0)的极大值为6，极小值为2，求实数a，b的值. 3323-1 (12) 已知函数f(x)=ln(x+1)-x. 求函数f(x)的单调区间； 若x-1，证明：1- (13) (全国卷)设a为实数,函数f(x)=x-x-x+a. 321l
4、n(x+1)x. x+1()求f(x)的极值. ()当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点. 14 ( 全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少? *(15) 设x1,x2是函数f(x)=a3b2x+x-a2x(a0)的两个极值点， 32且|x1|+|x2|=2. 证明：0a1 证明：|b|43 9 若函数h(x)=f(x)-2a(x-x1)，证明：当x1x2且x10时， |h(x)|4a. 16. 已知x=1是函数f(
5、x)=mx-3(m+1)x+nx+1的一个极值点，其中m,nR,m0，取足够小的负数时有f(x)0，所以曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点 结合f(x)的单调性可知： 当f(x)的极大值55即a(-它的极小值也小于0，因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点，+a0即a(1，+)时，它的极大值也大于0，因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点，它在(，1)上。 35)(1，+)时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点。 273即a的取值范围是,+) 4( 全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转当a(-,-90角,再焊接而
6、成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少? 解：设容器的高为x，容器的体积为V，1分 则V=x,(0V24)5分 =4x3-276x2+4320x V=12 x2-552x+43207分 已知x=1是函数f(x)=mx-3(m+1)x+nx+1的一个极值点，其中m,nR,m0，求m与n的关系式； 求f(x)的单调区间； 当x-1,1时，函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围. 2解(I)f(x)=3mx-6(m+1)x+n因为x=1是函数f(x)的一个极值点,所以f(1)=0,即3m-6(m+1)+n=0，所以32n=3m+6 3-3 由知
7、，f(x)=3mx-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)x-1+22 m当m1+2，当x变化时，f(x)与f(x)的变化如下表： m1+2 m21+,1 m1 x f(x) 2-,1+ m(1,+) 0 单调递减 0 单调递增 0 极大值 f(x) 故有上表知，当m3m，即mx-2(m+1)x+20 2222(m+1)x+0即x2-(m+1)x+0,x-1,1 mmmm12设g(x)=x2-2(1+)x+，其函数开口向上，由题意知式恒成立， mm又m0所以x2-22g(-1)01+2+044所以解之得-m又m0所以-m0 mm33g(1)0-100a， 32g (a)0a1， LL7分 322得 g(a)在区间上是增函数，在区间（，1上是减函数， 33216 g(a)maxg LL8分 32743|b| LL9分 9 x1，x2是方程f (x)0的两个实数根， f (x)a(xx1)(xx2) LL10分 h(x)a(xx1)(xx2)2a(xx1)a(xx1)(xx22)， | xx1| xx22|2 | h(x)|a| xx1| xx22|a LL12分 2 xx1，| xx1|xx1 又x10，x1x20，x20x222 x2，xx220 | xx22|x22x | xx1| xx22|x2x12x2-x1+24 | h(x)|4a LL14分 32383-5
