《圆》知识点及练习题.docx

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1、圆知识点及练习题圆知识点及练习题 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线

2、且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 dr 点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 dr 无交点； 2、直线与圆相切 d=r 有一个交点； 3、直线与圆相交 dR+r； 外切 有一个交点 d=R+r； 相交 有两个交点 R-rdR+r； 内切 有一个交点 d=R-r； 内含 无交点 dR-r； dR图1rRdr图2dR图3rd五、垂径定理 图4RrdrR图5垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分

3、弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： AB是直径 ABCD CE=DE 弧BC=弧BD 弧AC=弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在O中，ABCD 弧AC=弧BD 2 COABCBADOED六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：AOB=DOE；AB=DE； OC=OF； 弧BA=弧BD 七、圆周角定理

4、1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 AOB=2ACB 2、圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在O中，C、D都是所对的圆周角 C=D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 即：在O中，AB是直径 或C=90 C=90 AB是直径 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在ABC中，OC=OA=OB ABC是直角三角形或C=90 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直

5、角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 3 BOACAODCEFBCBOADCBOACBOA八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在O中， 四边形ABCD是内接四边形 C+BAD=180 B+D=180 DAE=C 九、切线的性质与判定定理 切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：MNOA且MN过半径OA外端 MN是O的切线 OCDBAE性质定理：切线垂直于过切点的半径 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论

6、也称二推一定理： 即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 十、切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：PA、PB是的两条切线 PA=PB PBMANO PO平分BPA A4 十一、圆幂定理 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在O中，弦AB、CD相交于点P， PAPB=PCPD 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即：在O中，直径ABCD， CE=AEBE 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交

7、点的两条线段长的比例中项。 即：在O中，PA是切线，PB是割线 PA=PCPB 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 即：在O中，PB、PE是割线 PCPB=PDPE 十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的公共弦。 如图：O1O2垂直平分AB。 即：O1、O2相交于A、B两点 O1O2垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式： 公切线长：RtDO1O2C中，AB2=CO12=O1O22-CO22； 外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和 。 5 CO222BOPCADCBOED

8、AADPCOBEAO1BO2的ABO1十四、圆内正多边形的计算 正三角形 在O中ABC是正三角形，有关计算在RtDBOD中进行：COBAOD:BD:OB=1:3:2； 正四边形 同理，四边形的有关计算在RtDOAE中进行，OE:AE:OA=1:1:2： 正六边形 DBOACED同理，六边形的有关计算在RtDOAB中进行，AB:OB:OA=1:3:2. OB十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：弧长公式：l=AAnpR； 180OSlnpR21=lR 扇形面积公式： S=3602Bn：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积 2、圆柱： 圆柱侧面展开图 S表=S侧+

9、2S底=2prh+2pr B2ADD1母线长底面圆周长C1B1圆柱的体积：V=prh 圆锥侧面展开图 O2CS表=S侧+S底=pRr+pr 212圆锥的体积：V=prh 3ARCrB6 选择题 1. 若两圆相切，且两圆的半径分别是2，3，则这两个圆的圆心距是 A. 5 B. 1 C. 1或5 D. 1或4 2. O1 和O2 的半径分别为1和4，圆心距O1O25，那么两圆的位置关系是 A. 外离 B. 内含 C. 外切 D. 外离或内含 3如果半径分别为1cm和2cm的两圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为3cm的圆的个数有 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4若两圆半径分别为

10、R和r，圆心距为d，且R2d2r22Rd，则两圆的位置关系是 A. 内切 B. 外切 C. 内切或外切 D. 相交 5. 如图，O的直径为10厘米，弦AB的长为6cm，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是 A. 3OM5 B. 4OM5 C. 3OM5 D. 4OM5 6. 已知：O1和O2的半径是方程x25x60 的两个根，且两圆的圆心距等于5则O1和O2的位置关系是 A. 相交 B. 外离 C. 外切 D. 内切 7. 如图，ABC为等腰直角三角形，A90，ABAC2，A与BC相切，则图中阴影部分的面积为 A M O B pppp B. 1 C. 1 D. 1 23451 8.

11、 如图，点B在圆锥母线VA上，且VBVA，过点B作平行于底面的平面截得一3个小圆锥，若小圆锥的侧面积为S1，原圆锥的侧面积为S，则下列判断中正确的是 1111 A. S1S B. S1S C. S1S D. S1S 3469 A. 1填空题 1. 若半径分别为6和4的两圆相切，则两圆的圆心距d的值是 _ 。 2. O1和O2 的半径分别为20和15，它们相交于A，B两点，线段AB24，则两圆的圆心距O1O2_。 3. O1和O2相切，O1的半径为4cm，圆心距为6cm，则O2的半径为_； O1和O2相切，O1的半径为6cm，圆心距为4cm，则O2的半径为_。 4.O1、O2和O3是三个半径为1

12、的等圆，且圆心在同一直线上，若O2分别与O1，O3相交，O1与O3不相交，则O1与O3圆心距 d的取值范围是_。 7 5. 在ABC，C90，AC3，BC4，点O是ABC的外心，现在以O为圆心，分别以2、2.5、3、为半径作O，则点C与O的位置关系分别是_。 6.如图在O中，直径AB弦CD，垂足为P，BAD30，则AOC的度数是 _度。 7.在RtABC，斜边AB13cm，BC12cm，以AB的中点O为圆心，2.5cm为半径画圆，则直线BC和O的位置关系是_。 8.把一个半径为12厘米的圆片，剪去一个圆心角为120的扇形后，用剩下的部分做成一个圆锥侧面，那么这个圆锥的侧面积是_。 9.已知圆锥

13、的母线与高的夹角为30，母线长为4cm，则它的侧面积为 _ cm2。 10. 一个扇形的弧长为4，用它做一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 。 解答证明题 1. 已知：如图，O1和O2相交于点A、B，过点A的直线分别交两圆于点C，D点M是CD的中点直线，BM分别交两圆于点E、F。 求证：CE/DF 求证：MEMF 2. ABC的三边长分别为6、8、10，并且以A、B、C三点为圆心作两两相切的圆，求这三个圆的半径。 8 3.如图所示，O1和O2相切于P点，过P的直线交O1于A,交O2于B，求证：O1AO2B。 4.如图，A为O上一点，以A为圆心的A交O于B、C两点，O的弦AD交公共弦BC于E点。 求证：AD平分BDC 求证：AC2AEAD B E D A C O 9 5. 如图，O的半径OC与直径AB垂直，点P在OB上，CP的延长线交O于点D，在OB的延长线上取点E，使EDEP。 求证：ED是O的切线； 当OC2，ED2时，求E的正切值tanE和图中阴影部分的面积。 6.两圆相交于A、B，过点A的直线交一个圆于点C，交另一个圆于点D，过CD的中点P和点B作直线交一个圆于点E，交另一个圆于点F，求证：PE=PF。 10