《复变函数》复习提要合集.docx

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1、复变函数复习提要合集复变函数复习提要 第1章：复数与复变函数 了解复数定义及其几何意义； 熟练掌握复数的运算； 知道无穷远点邻域； 了解单连通区域与复连通区域； 理解复变函数； 理解复变函数的极限与连续。 复数是用有序数对(x,y)定义的，其中x,y为实数。要注意，因为复数是“有序数对”，所以一般地讲，(x,y)(y,x)。 正如所有实数构成的集合用R表示，所有复数构成的集合用C表示，即 C=z=(a,b):a,bR 复数的四则运算定义为 (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) (a,b)-(c,d)=(a-c,b-d) (a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad) (a,b)(c,d

2、)=(ac+bdc+d22,bc-adc+d22),c+d220 复数的四则运算满足以下运算律 加法交换律 z1+z2=z2+z1 加法结合律 z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3 乘法交换律 z1z2=z2z1 乘法结合律 z1(z2z3)=(z1z2)z3 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (x,-y)称为z=(x,y)的共轭复数，记为z。z。共轭复数满足 22x+y称为z=(x,y)的模，记为 zz=z2,z+z2=Rez,z-z2i=Imz z1z2=z1z2 z1z2=z1z2 (z1z2)=z1z2,z20 z1z2 例1 设z1=2-5i,z2=3

3、+i，求 分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。 z1解 为求，在分子分母同乘z2，再利用i2=-1，得 z2z1z2=z1z2z2z2=(2-5i)(3-i)z2=1-17i10=110-1710i 例2 求复数A=(4+3i)(1-2i)(4-3i)(1+2i)的模 解 令z1=4+3i,z2=1-2i，有 1 A=z1z2z1z2由共轭复数的运算结果得 A=z1z2z1z2=z1z2z1z2=z1z2z1z2=1 复数的三角式 z=r(coqs+isinq) 复数的三角式 z=reiq 由此得如下关系式 z1z2=r1eiqr2eiq=r1r2ei(q

4、121+q2)z1z2=r1er2eiq1iq2=r1r2ei(q1-q2),z20 zn=rneinq z1z2=z1z2 z1z2=z1z2,z20 Arg(z1z2)=Arg(z1)+Arg(z2) zz1)-Arg(z2) Arg(1)=Arg(z2 对于复数z=re，它的n次方根为 例3 求(1+i)8 解 1+i=2ei4iqnz=nreiq+2kn(k=0,1,L,n-1)。 ，故有 8i4(1+i)=(2e)=(2)e88i84=16ei2=16 例4 设z=1+i，求4z 解 因z=2ei4，故z=2,argz=8p4于是，z的四个四次方根为 w0= w1= w2= w3=2

5、ei1682e2e2ei9168i171625168i z0点的r邻域为复数集合z:z-z0r，记为N(z0,r)。 z0点的去心r邻域为复数集合z:0z-z0r，记为N(,r)。 对于区域D，若D中任意一条简单闭曲线的内部仍属于D，则称D为单连通区域。不是单连通区域的区域称为复连通区域。 复变函数w=f(z)的定义类似于数学分析中实函数y=f(x)的定义，不同的是前者 2 w=f(z)是复平面到复平面的映射，所以无法给出它的图形。 复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在一点的极限来讨论，即 limf(z)=AlimRef(z)=ReA且limImf(z)=ImA zz0RezRez0Imz

6、Imz0RezRez0ImzImz0复变函数期末复习提要 第2章：解析函数 理解解析函数的定义，性质及其充分必要条件； 了解函数在一点解析与函数在一点可导的区别； 熟练掌握利用柯西黎曼条件判别解析函数的方法； 熟练掌握“已知解析函数的实部，求该解析函数”的方法。 函数在一点可导的定义是 设函数w=f(z)定义在区域D内，z0D,(z0+Dz)D，若 Dz0limf(z+Dz)-f(z)Dz存在，则称此极限为函数f(z)在点z0的导数，记为f(z0)，即 f(z0)=limf(z0+Dz)-f(z0)DzDz0此时，称函数f(z)在点z0可导，否则，称函数f(z)在点z0不可导。 函数在一点解析

7、的定义是 设函数w=f(z)定义在区域D内，z0为D内某一点，若存在一个邻域N(z0,p)，使得函数f(z)在该邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0解析。此时称点z0为函数f(z)的解析点。若函数f(z)在点z0不解析，则称z0为函数f(z)的奇点。 函数在一点解析，则在该点可导，反之则未必。 例1 试证：函数f(z)=Re(z)在复平面上处处不可导。 分析：导数是一个特定类型的极限，要证明复变函数在某点的极限不存在，只需要找两条特殊的路径，使自变量沿这两条路径趋于该点时，函数值趋于不同的值。 证 对任意点z，因 f(z+Dz)-f(z)Dzf(z+Dz)-f(z)Dz=Re(z+Dz)-

8、Re(z)DzDxDx+iDy令Dz=Dx+iDy，于是有 = 由于上式当z+Dz沿平行于虚轴的方向趋于点z时，其极限为0；当z+Dz沿平行于实轴的方向趋于点z时，其极限为1，所以 limf(z+Dz)-f(z)DzDz0不存在，故f(z)在点z处不可导。 由点z的任意性，函数f(z)=Re(z)于复平面上处处不可导。 若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内，则函数f(z)在区域D内为解析函数的充分必要条件是： u(x,y)与v(x,y)在D内可微。 ux=vy,uy=-vx在D内成立。 条件称为柯西黎曼条件或C. R.条件。 3 函数f(z)在区域D内为解析函数的充分必要

9、条件是： ux,uy,vx,vy在D内连续 ux=vy,uy=-vx在D内成立 例2 试证函数f(z)=z+1在复平面解析 证 令f(z)=u+iv,z=x+iy，则 f(z)=z+1=x+iy+1 =x+1+iy =u+iv 于是 u=x+1 v=y 从而有 ux=1, vx=0,uy=0 vy=1 显然，ux,uy,vx,vy在复平面上处处连续，且满足C. R.条件，故函数f(z)在复平面解析。 函数f(z)在区域D内为解析函数的充分必要条件是Imf(z)为Ref(z)的共轭调和函数。 例3 设u(x,y)=x2-2xy-y2，试求以u(x,y)为实部的解析函数f(z)=u(x,y)+iv

10、(x,y)，使得f(0)=i 解 依C. R.条件有 vy=ux=2x-2y 于是 v=(2x-2y)dy =2xy-y2+j(x) 由此得 vx=2y+j(x) =-uy =2x+2y 从而有 2 j(x)=x+c 因此 v(x,y)=2xy-y+x+c 故得 f(z)=x-2xy-y+i(2xy-y+x+c) =(1+i)z+ic 将f(0)=i代入上式，得 f(0)=ic=i 由此得c=1，故得 f(z)=(1+i)z+i 经验证，所得f(z)既为所求。 22222222复变函数期末复习提要 4 第3章：初等函数 理解ez,sinz与cosz的定义及其主要性质； 知道支点概念。 幂函数

11、定义3.1 设z=x+iy，n为正整数，称w=zn为幂函数 根式函数 定义3.3 设z=reiq(0)，称满足 wn=z 的w为z的n次根式函数，或简称根式函数，记作 w=nz 根式函数为多值函数，它不是解析函数 对于每一个确定的z=reiq(0)，都有n个不同的w与之对应，即有 w0= w1= L nreiqnnnreiq+2q+2(n-1)nwn-1=nrei因为根式函数是多值函数，所以，它不是解析函数 根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出n个单值函数 定义3.4 设函数w=F(z)为多值函数，若当变点z从起始点z0出发绕一条包围点a的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点z0时，函

12、数F(z)从一个支变到另一个支，则称点a为函数F(z)的支点 根式函数w=nz的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数 指数函数 定义3.5 设z=x+iy，称 e=e(cosy+isiny) 为指数函数，其等式右端中的e为自然对数的底，即e=2.71828L 对任意二复数z1=x1+iy1与z2=x2+iy2,有 e1ezzzxzz2=ez1+z2z e在复平面上为解析函数，且有(e)=e 对任意一复数z=x+iy，有 ez=ex, e只以2ki(k为整数)为周期 ez1zz2Arg(z)=y+2k =ez的充分必要条件是 z2-z1=2ki lime不存在 zzx 设z=x

13、+iy，若y=0，则e=e；若x=0，则 eiy=cosy+isiny 这便是欧拉公式 若z=x+iy，则ez=ez 5 例1 试证e-z=1ez 证：设z=x+iy，由定义得及三角函数的性质得 e-z=e-xcos(-y)+isin(-y) =cosy-isinyxe(cosy-isiny)(coys+isiny) =ex(cosy+isiny) =cos2y+sin2yex(cosy+isiny) =1ez对数函数 定义3.6 设z0,，称满足 ew=z 的w为z的对数函数，记作 w=Lnz 令z=reiq,z0,w=u+iv由定义3.6可得 w=Lnz =lnr+i(q+2k) =lnz

14、+iArzg 即对于每一个z0,，有无穷个不同的w，即有 M M M w2=lnz+i(q+4k) w1=lnz+i(q+2k) w0=lnz+iq w-1=lnz+i(q-2k) w-2=lnz+i(q-4k) M M M 与之对应，因此，对数函数为多值函数，从而，它不是解析函数 例2 计算Ln(1+i) 解： Ln(1+i)=ln1+i+iArg(1+i) =1ln2+i(24+2k) 三角函数 定义3.7 设z为复数，称 eiz-e-izeiz+e-iz2i 与2分别为z的正弦函数和余弦函数，分别记作 z-izsinz=ei-e2i 与 cosz=eiz+e-iz2k：整数） 6 ，若f

15、(z)在G内解析，则 7 cf(z)dz=0 定理4.4 设有围线c0,c1,c2,L,cn，其中c1,c2,L,cn中的每一条均在其余各条的外部，而它们又全都在c0的内部；又设G为由c0的内部与c1,c2,L,cn的外部相交的部分组成的复连通区域，若f(z)在G内解析，且在闭区域G上连续，则 -f(z)dz=0 -c0+c1+L+cn 积分基本公式 定理4.5 设G是以围线c为边界的单连通区域，若f(z)在G内解析，且在G上连续，则 f(z0)= 例1 计算积分2iz-zc1f(z)0dzz0G z=2zz-12dz。 解 首先，识别积分类型由于被积函数在积分路径内部含有两个奇点z=-1与z

16、=1，所以，想到用“挖奇点”法来计算。 其次，为了用“挖奇点”法，作c1:z+1=12,c2:z-1=12，由定理4.4有 z=2zz-12dz=c1zz2-1dz+c2zz2-1dz 最后，计算上式右端两个积分，对这两个积分分别重复例4.4的解题步骤，得 zzz-1z2-1dz=z+1dz cc11 =2i =i zz2zz-1z=-1c2z-1dz=c2z+1dz z-1zz+1z=1 =2i =i 故 zz2-1dz=2i z=2 高阶导数公式 定理4.6 设G是以围线c为边界的单连通区域，若f(z)在G内解析，且在G上连续，则f(z)在区域G内有各阶导数，并且有 f(n)(z0)=n!

17、2i(z-zcf(z)0n+1dzz0G 8 例2 计算积分z-1=1z43(z-1)dz。 解 由高阶导数公式 z-1=1z43(z-1)dz=2i2!(z)4z=1 =12i 刘维尔定理 定理4.9 若f(z)在复平面上解析，且有界，则f(z)必为常数。 最大模原理 定理4.12 设G为区域，G=G+c为有界闭区域，函数f(z)在G内不是常数，若f(z)在G内解析，且在G上连续，则 f(z)M,zG 其中的M为f(z)在G上的最大值。 最大模原理为我们提供了一种证明在区域G内解析的函数f(z)为常数的方法：只须证对G内某点z0有f(z0)=M即可，其中的M为f(z)在G上的最大值。 莫瑞拉

18、定理 定理4.15 设f(z)在单连通区域G内连续，c为G内任意一条围线，若 cf(z)dz=0 则f(z)在G内解析。 莫瑞拉定理不仅给出了一个函数为解析函数的充分条件，而且它与定理4.2一起可得解析函数的又一等价定义。 复变函数期末复习提要 第5章：解析函数的幂级数表示 了解复级数的基本概念； 理解解析函数的幂级数表示； 理解收敛圆及收敛半径的概念； 熟练掌握收敛圆及收敛半径的求法； 了解解析函数的零点并掌握其判别方法； 熟练掌握将函数在一点展成幂级数的方法； 了解解析函数的唯一性定理，掌握其证明方法。 幂级数 定义5.7 称形如 或 cn=0nnzn=c0+c1z+c2z+L+cnz+L

19、 2ncn=0n(z-z0)=c0+c1(z-z0)+c2(z-z0)+L+cn(z-z0)+L 2n的级数为幂级数，其中z0,c0,c1,c2,L,cn,L均为复常数。 收敛圆 收敛半径 对于级数，总存在圆周cR:z=R，使得级数在cR的内部绝对收敛，在cR的外部发散我们称圆N(0,R):zR为级数的收敛圆，称R为级数的收敛半径。 9 求收敛半径的方法与数学分析中的方法一样。 定理5.7 对于级数，若极限 limcn+1cnnn存在，则极限 limncn 存在，并且有 limnncn=limcn+1cnn =l =1R其中的R为级数的收敛半径当l=0时，规定R=+，当l=+时，规定R=0。

20、解析函数的幂级数表示 定理5.9 设G为区域，点aG，圆K:z-aR含于G，若函数f(z)在G内解析，则在K内有 f(z)=其中 cn=且上述展式是唯一的。 例1 试将f(z)=zz+2cn=0nn(z-a) f(n)(0)n!,n=0,1,2,L 在点z=1展成泰勒级数。 解 因为z=-2是f(z)的唯一有限奇点，所以，f(z)可在z-11-(-2)=3内展成泰勒级数，有 zz+2=z-1+1z-1+3 +1(z-1)+3+)3(1+n+1 = =z-1(z-1)+3z-13(1+ )nn1z-13z-13n = =n=0(-1)(z-1)3n+1+n=0n(-1)(z-1)3,n+113+

21、2(-1)n=1n+1(z-1)3n+1z-13 解析函数的零点 定义4.8 设函数f(z)在点a解析，若f(a)=0，则称点a为f(z)的零点，若f(z)的零点a满足 f(a)=f(a)=L=f(m-1)(a)=0，但f(m)(a)0 则称点a为函数f(z)的m级零点。 计算f(z)的零点的级别的方法 10 定理5.11 点a是不恒为零的解析函数f(z)的m级零点的充分必要条件是 f(z)=(z-a)mj(z) 其中，j(z)在点a解析，且j(a)0。 例2 试判断点z=-2是函数f(z)=z3+4z2+4z的几级零点。 解 因为 32f(z)=z+4z+4z =z(z+2)2 所以，若令j

22、(z)=z，则j(z)在点z=-2解析，且j(-2)0，即j(z)满足定理5.11的条件，故点z=-2为函数f(z)的二级零点。 解析函数的唯一性 定理5.13 若 函数f1(z)与f2(z)在区域G内解析。 E为G内一无穷点集，且E在G内至少有一个聚点a。 f1(z)=f2(z)在E上成立，则f1(z)=f2(z)在G内成立。 解析函数的唯一性定理可以用来在复平面证明我们过去熟知的一些等式。 复变函数期末复习提要 第6章：解析函数的罗朗级数表示 了解双边幂级数的有关概念； 理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点类别的方法； 了解罗朗定理，熟练掌握将函数在孤立奇点展成罗朗级数的方法； 了解解析函

23、数在其孤立奇点邻域内的性质。 定义6.1 称级数 c-nc-1nnc(z-a)=L+L+c+c(z-a)+L+c(z-a)+L n01nnz-a(z-a)n=- 为双边幂级数，其中a与cn(n=0,1,2,L)为复常数，称cn(n=0,1,2,L)为双边幂级数的系数 定义6.2 若级数在圆环rz-aR(0rR+)内收敛，则称此圆环为级数的收敛圆环 类似幂级数，双边幂级数有如下定理： 定理6.1 若级数的收敛圆环为G:rz-aR(0rR+)，则级数在G内绝对收敛，且在G内每个较小的同心闭圆环G:rz-aR(r rRR)上一致收敛，其和函数在G内为解析函数 定理6.2 若函数f(z)在圆环G:rz

24、-aR(0rR+)内解析，则f(z)在G内可展成双边幂级数为 其中 cn=cn=-n(z-a) n2i(zc1f(z)-a)n+1dz,n=0,1,2,L 这里的c为圆周z-a=r(rrR)，并且系数cn被f(z)及圆环G唯一确定 2-1例1 试将f(z)=(z-3z+2)在圆环1z2内展成罗朗级数 11 解 首先，知道f(z)在圆环1z2内解析，所以，f(z)在该圆环内可展成罗朗级数，且展式是唯一的 其次，利用展式 11-z=zn=0n,z1 将f(z)展成罗朗级数由1z2得 1z1 及 z21 故 f(z)=1(z-1)(z-2)1z-2-1z-1 = 1z(1-1z) =-12(1-z2

25、n-) =-n=0z2n+1-n=01zn+1,1z2 例2 试将f(z)=sinzz在点z=0的去心邻域内展成罗朗级数 解 首先，确定使f(z)在其中解析的点z=0的最大去心邻域为0z+ 其次，将f(z)展成罗朗级数，有 f(z)=sinzzn = = 孤立奇点的分类 1(-1)zn=0nz2n2n+1(2n+1)!,0z+ n=0(-1)z(2n+1)!定义6.3 设点a为函数f(z)的奇点，若f(z)在点a的某个去心邻域0z-aR内解析，则称点a为函数f(z)的孤立奇点 定义6.4 设点a为函数f(z)的孤立奇点： 若f(z)在点a的罗朗级数的主要部分为零，则称点a为f(z)的可去奇点；

26、 若f(z)在点a的罗朗级数的主要部分有有限多项，设为 c-m(z-a)m+c-(m-1)(z-a)m-1+L+c-1z-a,c-m0 则称点a为f(z)的m级极点； 若f(z)在点a的罗朗级数的主要部分有无限多项，则称点a为f(z)的本性奇点 依定义，点z=0为sinzz的可去奇点，点z=0为ezz2的二级极点，点z=1为sinz1-z的本性奇点 函数在孤立奇点的去心邻域内的性质 12 函数在可去奇点的去心邻域内的性质 定理6.3 若点a为f(z)的孤立奇点，则下列三个条件是等价的： 点a为f(z)的可去奇点； limf(z)=c()； za函数f(z)在点a的某个去心邻域内有界 函数在极点

27、的去心邻域内的性质 定理6.4 若点a为f(z)的孤立奇点，则下列三个条件是等价的 点a为f(z)的m级极点； f(z)在点a的某个去心邻域0z-aR内可表示为 f(z)=h(z)(z-a)m其中的h(z)在点a的邻域z-aR 内解析，且h(a)0； 点a为1f(z)定理6.5 点a为函数f(z)的极点的充分必要条件是 limf(z)= za的m级零点 函数在本性奇点的去心邻域内的性质 定理6.6 点a为函数f(z)的本性奇点的充分必要条件是limf(z)不存在，即当zaza时，f(z)既不趋于有限值，也不趋于 定理6.7 若点a为f(z)的本性奇点，且f(z)在点a的充分小的邻域内不为零，则

28、点a必为1f(z)的本性奇点 例3 设f(z)=5(1+ez)-1，试求f(z)在复平面上的奇点，并判定其类别 解 首先，求f(z)的奇点f(z)的奇点出自方程 1+e=0 z的解解方程得 z=Ln(-1) =(2k+1)i(1+e)z,k=0,1,2,L 若设zk=(2k+1)i(k=0,1,2,L)，则易知zk为f(z)的孤立奇点另外，因 z=zk=0,(1+e)zz=zk0 z所以，由零点的定义知zk为1+e的一级零点从而知zk(k=0,1,2,L)均为f(z)的一级极点 20Ra(cosx,sinx)dx=+-Ra(1-t1+t22,2t1+t2)21+t2dt 复变函数期末复习提要

29、第7章：留数及其应用 理解留数的定义； 熟练掌握计算留数的方法； 理解留数基本定理，熟练掌握用留数理论计算积分。 定义7.1 设a()为函数f(z)的孤立奇点，c为圆周：z-a=r，若f(z)在 13 0z-ar上解析，则称 2ic1f(z)dz 为f(z)在点a的留数，记作Res(f,a)或Res(a)，即 Res(f,a)=例1 设f(z)=5z-22ic1f(z)dz z(z-1)解法1 由式得 ，求Res(f,0) Res(f,0)=12iz=5z-214z(z-1)5z-2dz =12iz=14z-1dzz =(5z-2z-114)z=0 =2 注意：这里的积分路径的半径并非只能取件

30、 解法2 因点 z=0为f(z)的孤立奇点，所以，在N*(0,f(z)=5z-2z(-1)1-zn，只须使半径小于1即可满足定义7.1的条13):0z13内有 =( =2z-5)z n=02z-3z n=0n由此得c-1=2，依式得Res(f,0)=2 解法3 因点z=0为f(z)的一级极点，所以，依式得 Res(f,0)=limzz05z-2z(z-1) =2 5z-2解法4 因点z=0为f(z)=的一级极点，所以，由式得 z(z-1)Res(f,0)=5z-2z(z-1)z=0 =2 定义7.2 设z=为函数f(z)的孤立奇点，c为圆周：z=r，若f(z)在Rz+内解析(R1 2解 首先，

31、弄清被积函数在积分路径内部有无奇点由z+2az+1求出被积函数的奇点有 z1=-a+a-1 与 z2=-a-2a-1 2因a1，所以，z21，又因z1z2=1，故z11，即在积分路径内部只有被积函数的一个奇点z1 其次，经检验，由式得 2iz=1z+2az+12dz=2iRes(2iz+2az+12,z1) 2i =2ilim(z-z1)zz1(z-z1)(z-z2) =留数在计算某些实积分上的应用 -2a-12 15 +P(x)ndx=2iRes(P(z),zj) -Q(x)j=1Q(z) 例4 计算积分+x2-x4+x2+1dx 解 经验证，此积分可用式计算 首先，求出P(z)Q(z)=z24在上半平面的全部奇点令 z+z2+1z4+z2+1=0 即 z4+z2+1=(z4+2z2+1)-z2 =(z2+1)2-z2 =(z2+z+1)(z2-z+1) =0 于是，P(z)在上半平面的全部奇点只有两个： Q(z)a=12+32i 与 b=-12+32i 且知道，a与b均为P(z)的一级极点 Q(z)其次，算留数，有 Res(P(z)Q(z),a)=lim(z