《复变函数》重点难点.docx

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1、复变函数重点难点重点难点 第一篇 复变函数论 本篇重点：解析函数、复变函数的积分与留数定理. 本篇特色：通过一典型环路积分，将各章节有机联系起来，使复变函数理论成为一个系统的有机整体，并加强了各部分内容之间的相互联系.注重培养创新思维、计算机仿真和解决实际问题的能力. . 第一章复数与复变函数 本章重点：复数的基本知识和复变函数区域的基本概念及其判断方法； 复变函数连续和极限的概念； 区域概念及其判断； 复变函数的极限和连续。 本章难点：涉及到计算机编程实践, 以培养读者的计算机仿真能力. 读者可以利用Matlab ,Mathcad,Mathmatic 等数学工具软件直接进行复数及复变函数的基

2、本运算, 详细参考第四篇：计算机仿真编程实践部分 本章知识点摘要： 1.复数的概念 定义形如x+iy的数为复数，记作z=x+iy.其中x、y分别称为复数z的实部、虚()，部，记作间一般不能比较大小. 2.复数的表示法 x=Rezy=Im(z)2，i称为虚数单位，它满足i=-1.与实数不同，两个复数之uuurOP矢量表示； O0,0Px,y几何表示：对于复数z=x+iy可以用平面上起点在()，终点在()的Px,y代数表示：对于平面上的点()可用代数形式z=x+iy表示复数，这种表示法称为代数表示，也可称为直角坐标表示； z=r(cosq+isinq)三角表示：当z=x+iy0时，复数可用三角函数

3、形式表示.称为复数z的模；q=Argz=argz+2kp称为z的辐角.当k=0时，对应于辐角的主值q0=argz，在本书中规定为-0). 由w=z=(x+iy)=x-y+i2xy，可以视为从xy平面到uv平面的映射，即为从z平面(原像)到w平面的映射，易得 u=x-y,v=2xy 我们具体考察在w平面的像为相互垂直的直线,原像应该是什么？由题得到 u=x-y=a, v=2xy=b, (a,b0) 22x-y=a,(a0) 显然原像为双曲线，如图1.11(a)实线所示； 即有 即有 v=2xy=b, (b0) 显然原像为双曲线，如图1.11(a)虚线所示. 22222222另外我们还可以进一步观

4、察双曲线对应的变化关系. 特别地，当原像点在如图1.11(a)的双曲线右分支实线上时，由u=a且v=2xy，得到，v=2yy2+a.因此双曲线的右分支的像可以表示为参数形式： y v u=a0 v=b0 u=a, v=2yy2+a(-y)很明显，当点(x,y)沿0 x 图1.11 0 (b) u 着右分支实线向上运动时，它的像如图1.11(b)沿直线u=a向上运动.同样，双曲线左分支的像的参数形式表示为 u=a, v=-2yy+a (-y0) 映像到直线v=b.变化趋势如图1.11(a),(b)虚线所示，读者可自行分析. 重点难点 第二章 解析函数 重点：复变函数导数的定义、求导法则及可微性概

5、念； 解析函数的概念； 保角映射的概念； 常用的初等解析函数； 解析函数与调和函数的关系 难点：多值函数产生多值性的原因； 如何找出支点以及在什么样的区域内多值函数可以划分为单值的解析分支； 从几何意义上描述解析函数的特征. 特色：编程计算简单的复数方程 本章知识点摘要： 1.复变函数的导数与微分 复变函数的导数定义在形式上和一元实函数的导数定义是类似的： f(z)=limDz0f(z+Dz)-f(z)Dz 微分的定义和高等数学里面一元实函数的微分定义也相似，而且可导和可微是等价的，df(z)=f(z)dz. 2.解析函数的概念 解析函数是复变函数中一个十分重要的概念，它是用复变函数的可导性来

6、定义的，若f(z)在z0及其一个邻域内处处可导，则称f(z)在z0解析.函数在某一点可导，在这点未必解析，而在某一点解析，在这点一定可导.函数在一个区域内的可导性和解析性是等价的. 3.柯西黎曼条件方程 复函数的解析性除了要求其实部和虚部的可微性外，还要求其实部和虚部满足柯西黎曼方程. 函数f(z)=u+iv在区域D内解析u,v在D内可微，且满足C-R条件：. 4.关于解析函数的求导方法 (1) 利用导数的定义求导数 (2) 若已知导数存在，可以利用公式 f(z)=ux+ivx=vy-iuy=ux-iuy=vy+ivxux=vy,vx=-uy求导. 5初等复变函数 初等复变函数的解析性：初等函

7、数解析性的讨论是以指数函数的解析性为基础的，因此在研究初等解析函数的性质时，都可归结到指数函数来研究. 6解析函数与调和函数的关系 区域D内的解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的实部和虚部都是D内的调和函数.要想使得f(z)=u+iv在区域D内解析，u和v还必须满足C-R条件. 因此若己知一调和函数，可由它构成某解析函数的实部，并可相应地求出该解析函数的虚部，从而求出该解析函数. 平面稳定场求复势就是其典型应用，也是解析函数物理意义的体现. 解题思路 若设 22x+y=c，求复势. 例 已知 等势线的方程为uxx=2,uyy=2 u+u0u=x2+y2xxyy，则，故u不是调和函数

8、.因而不u=0222r=x+y,u=F(r)j能构建为复势的实部.若令 ，采用极坐标有，故1u12uDu=(r)+2=02rrrrj把极坐标系中的拉普拉斯方程 简化为1u(r)=0rrr，即为 u=C1,u=C1lnr+C2r vu=r=C1,v=C1j+C3jr根据极坐标C-R条件的得到 ， r故复势为 f(z)=C1lnr+C2+iC1j+iC3=C1(lnr+ij)+C2+iC3 =C1lnz+C, (C=C2+iC3)22n我们可以总结出，当u,v具有(x+y)的函数形式时，一般采用极坐标运算较为方便. 重点难点 第三章 复变函数的积分 重点：复变函数积分的概念、性质及计算方法； 解析

9、函数积分的基本定理柯西积分定理； 推广得到的复合闭路定理，闭路变形定理； 由柯西积分定理推导出一个基本公式柯西积分公式. 难点：理解分别以有界单连通域、有界复连通域、无界区域对柯西积分公式进行的证明； 理解复变函数积分理论既是解析函数的应用推广 特色：尝试计算机仿真计算积分的值。 本章知识点摘要 1本章所涉及的典型实例类型总结 第一类典型实例：给出了不同于常规教材的重要典型实例，即计算环路积分|z|=2，它可以分别用复变函数论中的理论进行求解由此读者能应用柯西积分定理、柯西积分公式、以及即将学习的级数展开法、留数定理以及留数和定理进行求解. 由此加强各章节之间的有机联系, 使读者充分理解各定理

10、的区别和联系 第二类典型实例：复变函数模的积分的计算方法，取模后该积分与二元实函数的环路积分类似，故为高等数学中的环路实积分提供了新的计算方法 第三类典型实例：若要使闭合环路积分中换元法仍然有效，则必须考虑积分变换后辐角的改变. 2本章系统知识概述 1）复变函数的积分 复变函数积分的概念是这一章的主要概念，它是定积分在复数域中的自然推广，和定积分在形式上也是相似的只是把定积分的被积函数f(x)换成了复函数f(z)，积分区间a,b|z|=Rzndz-1|z-a|dz|2换成了平面上的一条有向曲线C复积分实际上是复平面上的线积分，它们的许多性质是相似的 如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，

11、则 Cf(z)dz=u(x,y)dx-v(x,y)dy+iv(x,y)dx+u(x,y)dyCC即复变函数的积分可以化为两个二元函数的曲线积分 2）柯西定理与柯西公式 柯西定理 如果函数f(z)在单连通域D内处处解析，那么函数f(z)沿D内任意一条闭曲线C的积分值为零，即 Cf(z)dz=0f(z)dz推论 如果函数f(z)在单连通域D内处处解析，则积分C与连结起点与终点的路径C无关 牛顿莱布尼兹公式 若f(z)在单连通域D内处处解析，G(z)为f(z)的一个原函数，那么 z1z0f(z)dz=G(z)z1=G(z1)-G(z0)0z 其中z0、z1为D中任意两点 复合闭路定理 设L为复连通域

12、D内的一条简单闭曲线，C1,C2,L,Cn是在L内的简单闭曲线，且C1,C2,L,Cn中的每一个都在其余的外部，以C1,C2,L,Cn为边界的区域全含于D如果f(z)在内解析，那么有 G(i) f(z)dz=0n，其中G为由L以及Ck所组成的复合闭路正方向 Ckk=1(ii)，其中L及所有的Ck都取逆时针正方向 闭路变形原理 在区域D内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在D内作连续变形而改变积分的值，只要在变形过程中曲线不经过函数f(z)不解析的点 3）.柯西积分公式的几个重要推论 高阶导数公式 解析函数的导数仍为解析函数，它的n阶导数为: Lf(z)dz=f(z)dzf(n)(z0)=

13、n!f(z)dz(n=1,2,L)2iC(z-z0)n+1其中C为f(z)的解析区域D内包含D； 解析函数的平均值公式; (3) 柯西不等式; (4）刘维尔定理; 莫勒纳定理; 解题思路 z0在其内部的任意一条正向简单闭曲线，且内部全属于dz0， L 不包含z0=Lz-z02i， L包含z0的物理意义 例 试根据复变函数环路积分讨论公式设在点z0有电量为4e0的点电荷, 在复平面上形成二维静电场 ,我们知道在点z处的场强为： E=4e0er(x-x0)ex+(y-y0)eyQe=e2r2r24e0r4e0rr(x-x0)2+(y-y0)2 其中er,ex,ey分别代表径向,x,y方向的单位矢量

14、 于是电场强度E的分量为： Ex=我们注意到函数 x-x0y-y011=-iEx-iEyz-z0(x-x0)+i(y-y0)(x-x0)2+(y-y0)2(x-x0)2+(y-y0)2易见向量场正好与这个函数的共轭相对应，因此 x-x0y-y0,E=y(x-x0)2+(y-y0)2(x-x0)2+(y-y0)2 x-x0y-y0dz=-id(x+iy)2222Lz-z0L(x-x)+(y-y)(x-x)+(y-y)0000=(Ex-iEy)d(x+iy)(Exdx+Eydy)+i(-Eydx+Exdy)LLLL=El0ds+iEn0dsL上式中矢量l0,n0含义与复变函数环路积分物理意义中的含

15、义相同。 其物理意义7：由场论知电场是无旋的场，则电场强度E沿着L的环量 Elds0 Ends2； 另外，如果L包含z点，则通量 Ends0. 如果L不包含z点，则通量 L00L00L0重点难点 第四章 解析函数的幂级数表示 重点：复级数的基本概念及其性质； 如何将解析函数展开成泰勒级数及罗朗级数； 解析函数的重要性质。 难点：理解一个函数的解析性与一个函数能否展为幂级数是等价的. 特色：尝试用计算机仿真编程方法(Matlab，Mathematic ，Mathcad)进行级数展开。 本章知识点摘要： 1.复数项级数 数列似. bn=an+ibn(n=1,2,.)和级数n=1bn的收敛定义与实数

16、域内数列和级数的收敛定义类数列bn=an+ibn收敛的充要条件是实数列an和bn同时收敛. 级数nbnn=1收敛的充要条件是实级数ann=1和n=1bn同时收敛. 是级数n=1收敛的必要条件. 2.函数项级数 幂级数 函数项级数limbn=0bnf(z)nn=0中的各项如果是幂函数fn(z)=cn(z-z0)n或fn(z)=cnzn，那么就得到幂级数n=0或n=0. 幂级数的收敛域为一圆域，其边界称为收敛圆. 在圆的内部幂级数绝对收敛；在圆的外cn(z-z0)ncznn部幂级数发散，在圆周上幂级数可能处处收敛，也可能处处发散，或在某些点收敛，在另一些点发散. 收敛圆的半径称为幂级数的收敛半径，

17、求幂级数n=1有比值法或根值法 R=limncn(z-z0)n或n=0cznn的收敛半径的公式cn cn+1 R=lim或 11=nn|c|mn 3.泰勒级数 形如n=0定理 若函数f(n)(z0)(z-z0)nn!的幂级数称为泰勒级数，若z0=0，则为麦克劳林级数. z-z0Rf(z)f(z)在圆域内解析，则在此圆域内，n=0可展开成泰勒级数 f(z)=f(n)(z0)(z-z0)nn!. 且展开式是唯一的. 但需要特别说明的是： 尽管上式右端的幂级数可能在收敛圆周上处处收敛，也可能处处发散，或在某些点收敛，在另一些点发散. 但幂级数的和函数在收敛圆周上至少有一个奇点. 4.罗朗级数 形如n

18、=-c(z-z)n0+n的级数称为罗朗级数，它是一个双边幂级数. Rz-z0R2定理 若函数f(z)在圆环域1内解析，则在此圆环域内，f(z)可展开成罗朗级数 f(z)=cn=n=-c(z-z)n0+n， 其中5.本章主要题型及解题方法 (1)讨论复数列的敛、散性 可通过讨论它的实部数列和虚部数列的敛、散性进行判断. (2)讨论复级数的敛散性 可通过讨论它的实部数列和虚部数列的敛、散性进行判断. 对于有些级数，若当n时，通项不趋于零，则级数发散. 通过讨论的敛散性来获得n=1的敛散性. (3)求幂级数的收敛半径及在收敛域内的和函数 解题思路： n=11f(z)dz ,(n=0,1,2,.)z2

19、iL(z-z0)n+1，L为圆环域内绕0的任一正向简单闭曲线. bnbn1(z-1)(z-2)在平面上有两个奇点：z=1与z=2. z平面可以被分成例 函数如下三个互不相交的f(z)的解析区域：(1)圆|z|1；(2)圆环1|z|2；(3)圆环f(z)=2|z|+，试分别在此三个区域内求f(z)的展开式. 首先将f(z)分解成部分分式 11-z-2z-1 z1|z|12|z|1(1) (1) 在圆域内，因为，故2，于是有 f(z)=1111zk1kf(z)=-=z_k=1-k+1zk1-z21-zk=02k=022k=02 为f(z)在圆域|z|1内的泰勒展开式. 1z111|z|2z2(2)

20、 (2) 在圆环域内，有，故 11111zk11zk1f(z)=-=-k-k-1=-k+1-k21-zz1-12k=02zk=1zk=02k=1z2z 12112|z|+(3)在圆环域内，这时z，z，故 111112k1f(z)=-=k-k21z1-z1-zk=0zzzz 1f(z)=(z-1)(z-2)还可以求它在奇点2的去心邻域0|z-2|1的罗另外，对函数朗展开式 +111f(z)=-=-(-1)k(z-2)kz-2z-2+1z-2k=0 这是同一个函数在不同的圆环域中的罗朗展开式. 显然在不同的展开区域有不同的展开式，这与罗朗展开式的唯一性并不矛盾. 重点难点 第五章 留数定理 重点：

21、利用留数定理转化为留数计算问题. 难点：选好复变量积分的被积函数和积分围线； 确定积分区域和奇点。 特色：利用计算机仿真计算留数积分。 本章知识点摘要： 1孤立奇点概念及其类型 0z-z0dzz若函数f(z)在0处不解析，但在0的某一去心邻域内处处解析，则z0称为f(z)的一个孤立奇点. 0孤立奇点0可按函数f(z)在解析邻域内的罗朗展开式中是否含有(z-z0)的负幂项及含有负幂项的多少分为三类如果展开式中不含、或只含有限项、或含无穷多个z0z-zd(z-z0)的负幂项，则z0分别称为f(z)的可去奇点、极点、本性奇点. 孤立奇点类型的极限判别法： 1） 1） 若zz0limf(z)=a，则z

22、0为f(z)的可去奇点； 2） 2） 若zz0limf(z)=lim(z-z)z，则0为f(z)的极点。进一步判断，若zz00mf(z)=b，则0为f(z)的m阶极点； 2留数的定义、计算方法 留数定义：设z0为函数f(z)的孤立奇点，那么f(z)在z0处的留数 Resf(z),z0=c-1=0z-z0)，分式多项式xlimf(x)0，即分母比分子至少高一阶. 解题思路： 例： 计算积分|z|=ntanzdz. tanz=sinz1zk=k+ (k=0,1,2,L)cosz以2为一阶极点，故得 Restanzz=ksinz(cosz)zk=k+12=-于是由留数定理得 1 |z|=ntanzd

23、z=2iRestanzz=2i(zknk-2n)=-4ni 2：求I=20cos2qdq (0p0. w=az+bcz+d，其中a,b,c,d都是实数，z-lz-l把上半平面映射为单位圆内部的映射为 (iii）把单位圆内部映射成单位圆内部的映射为 z-lw=eiq (0l0).(1）幂函数w=z (n2)这一映射的特点是：把以原点为顶点的角形域映射为角形区域，其张角的大小变成了原来的n倍 z(2）指数函数w=e这一映射的特点是：把水平的带形域0Im(z)a映射成角形域0argw0 z+i0映射成w的上半平y p 3Z平面 x平面 h平面 w=f(z)? w平面 v z2 z1 x u 图 6.

24、14 如图6.14，经计算交点为z1=3，z2=-3，其中z2处圆弧的方向角为3 可考虑先将z平面上的弓形域映射成x平面的角形域，再将角形域映射成w平面的上半平面 设分式线性映射将z1=3映射成x平面上的点0. 而z2=-3映射成x平面上的， 于是该映射可写为 x=z-3z+3 z-313x=x=-+iz+3将弓形域映射成22，所以映射当z=0时x=-1；当z=i时，2argx=3和argx=为两边的角形域角形域：即为x平面上的顶点在原点，且以射线周期函数的傅里叶展开 若函数f(x)以2l为周期的光滑或分段光滑函数，且定义域为-l,l，则式 称为周期函数f(x)的傅里叶级数展开式，其中的展开系

25、数称为傅里叶系数 f(x)=a0+(akcosk=1kxkx+bksin)ll 复数形式的傅里叶级数 f(x)以2l为周期的函数，则在的傅里叶级数 f(x)=f(x)的连续点处可将它展开成复指数形式kxlk=-Ckei ， kx-i1lCk=f(x)eldx2l-l其中. 2傅里叶变换的定义 傅里叶变换 若 f(x)满足傅氏积分定理条件，称表达式 F(w)=+-f(x)e-iwxdx为f(x)的傅里叶变换式,记作 F(w)=Ff(x) 傅里叶逆变换 如果 1+F(w)eiwxdw-2 -1则上式为f(x)的傅里叶逆变换式，记为f(x)=FF(w) f(x)=3傅里叶变换的性质 性质1 线性定理

26、 函数的线性组合的傅氏变换等于函数的傅氏变换的线性组合即是说，如果a,b为任意常数，则对函数f1(x),f2(x)有 Faf1(x)+bf2(x)=aFf1(x)+bFf2(x)性质2 对称定理 若已知 F(w)=Ff(x)，则有 FF(x)=2pf(-w) 这反映出傅氏变换具有一定程度的对称性，若采用第一种定义，则完全对称 性质 3 位移定理 若已知 F(w)=Ff(x)，则有 Ff(xx0)=eiwx0Ff(x) miwx-1 FF(ww0)=ef(x) 0性质4 坐标缩放定理 设a是不等于零的实常数，若Ff(x)=F(w)，则有 Ff(ax)=1wF|a|a 性质5 卷积定理和频谱卷积定

27、理 +卷积概念：已知函数 的卷积，记作 f1(x)*f2(x)f1(x),f2(x) 则积分12-f(x)f(x-t)dt12称为函数f1(x)与f2(x)+，即有f1(x)*f2(x)=-f(x)f(x-t)dt(2)卷积定理 设 Ff1(x)=F1(w),Ff1(x)=F1(w)，则 Ff1(x)*f2(x)=F1(w)F2(w) 成立 这个定理说明了两个函数卷积的傅氏变换等于这两个函数傅氏变换的乘积 性质6 乘积定理 设 Ff1(x)=F1(w), Ff2(x)=F2(w)则 -其中 f1(x),f2(x)为x的实函数，而F1(w), F2(w)代表对应函数的共轭 4相关函数 互相关函数

28、 对于两个不同的函数 f1(x)和f2(x)积分 f1(x)f2(x)dx=11F(w)F(w)dw=F1(w)F2(w)dw122-2- 称为两个函数f1(t)+-f1(x)f2(x+t)dxR12(t)和f2(t)的互相关函数，用记号R21(t)=R12(-t)表示 互相关函数满足性质：自相关函数 当 f1(x)=f2(x)=f(x)时，积分 称为函数f(x)的自相关函数，用记号R(t)表示，即为 -+f(x)f(x+t)dx+R(t)=-f(x)f(x+t)dx易见，自相关函数是偶函数，即解题思路： 例 求三角脉冲函数 R(-t)=R(t)tt2E(x+) -x0t22tt2Ef(x)=

29、-(x-) 0x2 的傅氏变换及其傅氏积分表达式，其中E,t0. 本题的目的在于比较傅氏变换和傅氏积分表达式，及其综合应用 根据傅氏变换的定义，且注意到三角脉冲函数是偶函数，所以 +F(w)=Ff(x)=t/2-f(x)e-iwxdx=-f(x)cos(wx)dx=2-02Et/2(x-)coswxdxt2t=-=-4Etxcoswxdx-0tt/220coswxdx2sin(24E1这就是三角脉冲函数的傅氏变换下面我们通过其傅氏变换来求三角脉冲函数的积分表达式 根据傅氏逆变换的定义，并利用奇、偶函数的积分性质，可得 tw(cos2wt2-1)=8Ewt4tw)f(x)=F-1F(w)=1+1

30、+8Eiwx2wtiwxF(w)edw=sinedw22-2-tw4 4E =t-8E =t02sin(+wt4)coswx22sin(+wwt4dw)coswx2wdw重点难点 第八章 拉普拉斯变换 重点：了解怎样从傅里叶变换的定义出发，导出拉普拉斯变换的定义； 拉普拉斯变换的一些基本性质； 其逆变换的积分表达式复反演积分公式； 像原函数的求法 难点：拉普拉斯变换的灵活应用 特色：试用计算机仿真求解其拉氏变换，并对结果进行反演变换，验证是否能变换为原函数 本章知识点摘要： 1拉氏变换的概念 (1)定义 设函数某一区域内收敛，则将函数 f(t)当t0时有定义，而且积分+0f(t)e-ptdt在

31、p的F(p)=+0f(t)e-ptdt称为一些常用的函数的拉氏变换 Lu(t)=1p ； 1ktLe=p-k ； f(t)的拉氏变换，记为F(p)=Lf(t). Ld(t)=1 ； m!mLt=pm+1 ； kpLsinkt=2Lcoskt=22p+k ； p+k2 . 2 .拉氏逆变换概念 若满足式：F(p)=+0f(t)e-ptdt，我们称f(t)为F(p)的拉普拉斯逆变换，简称拉氏逆变换-1，记为 f(t)=FF(p). 3.拉氏变换的性质 性质1 线性定理 若a,b为任意常数，且F1(p)=Lf1(t),F2(p)=Lf2(t)，则 Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t) 性质2 延迟定理 若设t为非负实数，Lf(t)=F(p)，又当tp0)性质4 相似定理 设Lf(t)=F(p)，对于大于零的常数c，则有 1pLf(ct)=Fcc (n)性质5 微分定理 设Lf(t)=F(p)，设f(t) (n=1,2,L)存在且分段连续，则 (n)nn-1n-2(n-2)(0)-f(n-1)(0) Lf(t)=pLf(t)-pf(0)-pf(0)-L-pf 性质6 像函数的微