《微积分》复习大纲.docx

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1、微积分复习大纲微积分复习大纲 第六章 定积分 教学目的和要求： 1、了解定积分的概念及存在定理，理解定积分的基本性质和中值定理 2、掌握牛顿-莱布尼兹公式，掌握定积分的换元法和分部积分法 3、理解两种广义积分的概念并掌握它们的求法 4、理解定积分的应用并掌握它们的求法 重点： 1、 牛顿-莱布尼兹公式 2、 定积分的换元法和分部积分法 难点： 1、 定积分的概念 2、 积分上限函数的概念与应用 3、 定积分的换元法和分部积分法中的技巧 第一节 定积分的概念和性质 教学目的和要求： 1、通过曲边梯形的面积以及变速直线运动的路程实例引入定积分的概念，从中领会从有限到无限、特殊到一般的数学思想，从而

2、培养学生的数学意识和利用数学解决实际问题的能力。 2、使学生掌握定积分的概念和存在定理，并通过例题使学生学会如何处理和解决相应的数学问题。 3、理解定积分的基本性质和中值定理 重点：定积分的概念 教学过程： 一、问题的提出 1、几何上，曲边梯形的面积 2、物理上，变速直线运动的路程 1 二、定积分的定义 1、定积分的定义 2、定积分存在的条件 3、定积分的几何意义 三、定积分的性质 1、线性性质 2、线性性质 3、区间可加性 4、用定积分求矩行面积的公式 5、定积分的不等式性质 6、定积分的估值不等式 7、定积分的中值定理 第二节 微积分基本定理 教学目的和要求： 1、掌握积分上限函数的定义及

3、其性质 2、掌握微积分基本公式，会用这个公式求一些函数的定积分 重点： 1、积分上限函数的定义及其性质 2、牛顿-莱布尼茨公式 教学过程： 一、积分上限函数的定义及其性质 1、积分上限函数的定义 2、积分上限函数的性质 3、原函数存在定理 二、牛顿-莱布尼茨公式 第三节 定积分的积分法 教学目的和要求： 1、使学生掌握定积分的换元积分法、分部积分法。 2 重点：定积分的换元积分法、分部积分法。 一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法 第四节 定积分的应用 教学目的和要求： 1. 理解定积分的应用于求面积、体积。 重点：在直角坐标系中列出所求问题的积分式 一、平面图形的面积 二、体积 1.

4、平行截面面积为已知的立体的体积 2.旋转体的体积 一般情况，闭区间a,b上连续曲线f(x)构成的曲边梯形绕X轴旋转一周而成的立体，闭区间c,d上连续曲线x=g(y)构成的曲边梯形绕Y轴旋转一周而成的立体，叫旋转体。 第五节 教学目的和要求： 1、使学生理解广义积分实际上是普通定积分的极限，并会求解广义积分 2、培养学生对广义积分尤其是无界函数广义积分的识别能力 重点：1、广义积分的识别与计算 广义积分 一、广义积分的计算 1、无穷限的广义积分 广义积分+11dx当p1时收敛，p1时发散 px2、无界函数的广义积分 广义积分 101dx当q1时收敛，当q1时发散 xq第七章 无穷级数 3 第一节

5、 常数项级数的概念与性质 教学目标： 1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念. 2、掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数收敛和发散的条件. 重点难点：级数概念及其敛散性 教学活动： 一、级数的概念 1、级数的定义 2、级数的收敛与发散limsn存在(不存在) n二、基本性质 1、级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变. 2、收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 3、级数前面加上有限项不影响级数的敛散性. 4、收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和. 5、收敛的必要条件 第二节 正项级数的敛散性判别 教学目标： 1、掌握正项级数的比较判别法、比值判别法，会用根值判

6、别法. 2、掌握p级数的收敛与发散条件. 重点难点：常数项级数的敛散性判别法 一 正项级数及其审敛法 1、正项级数的定义 2、正项级数收敛的充要条件: 3、比较判别法 4、比值判别法(达朗贝尔DAlembert判别法) 5、根值判别法 (柯西判别法) 第三节 任意级数的敛散性判别 4 教学目标： 1、掌握交错级数的莱布尼兹判别法。 2、掌握绝对收敛与条件收敛的概念及性质. 重点难点：莱布尼兹判别法、绝对收敛与条件收敛的判别。 一、 交错级数及其审敛法 1、定义： 2、莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件: ()unun+1(n=1,2,3,L);()limun=0, n则级数收敛,且其和su1,

7、其余项rn的绝对值rnun+1. 二、 绝对收敛与条件收敛 1、判别un的敛散性，un收敛，则un收敛，而un可用正项级数判别法。2、若un的发散，其发散性的判别若用的是比值法或根值法，则limun0,故un发散。n 若发散性的判别用的是比较法，但un为交错级数，可用莱布尼兹准则。3、若un不是交错级数或是交错级数但不符合莱布尼兹准则的条件， 可否有limS2n=limS2n+1nn第四节 幂级数 教学目标： 1、了解幂级数收敛域的结构及幂级数的和函数的概念. 2、掌握一些幂级数的收敛半径和收敛区间的求法，会求一些简单幂级数的和函数. 重点：幂级数的收敛半径和收敛区间及幂级数的和函数 一、幂级

8、数及其收敛性 1、定义， 2、收敛性定理：收敛半径、收敛区间； 二、幂级数的和函数 1、幂级数anxn的和函数s(x)在收敛区间(-R,R)内连续,在端点收敛,则在端点n=0 5 单侧连续. 2、幂级数anxn的和函数s(x)在收敛区间(-R,R)内可积,且对x(-R,R)可逐n=0项积分. 3、幂级数anxn的和函数s(x)在收敛区间(-R,R)内可导, 并可逐项求导任意n=0次. 第五节 函数的幂级数展开 教学目标： 1、了解函数展开为幂级数的充分必要条件，掌握ex,sinx,cosx,ln(1+x)， (1+x)a的麦克劳林展开式，并利用它们将一些简单函数间接展开为幂级数. 重点：函数展

9、开为幂级数 一、 泰勒级数 二、函数展开成幂级数 1、直接法 2、间接法 利用已知函数的展开式作间接展开时，必须注意已知展开式的收敛区间问题。 如果f(x)=anxn(-RxR)在该区间的端点x=R(x=-R)仍收敛而f(x)n=0在x=R(-R)有定义且连续，那么根据幂级数的和函数的连续性，该展开式对 x=R(x=-R)也成立。第八章 多元函数微积分学 第一节 多元函数的基本概念 教学目标：理解多元函数的概念，了解二元函数的几何表示、极限、连续的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质. 重点：多元函数的极限、多元函数的连续性 一、多元函数的概念 6 1、平面点集，n维空间 2、二元函数的概念

10、二、 多元函数的极限 三 多元函数的连续性 第三节 偏导数 教学目标： 1、理解多元函数偏导数的概念，掌握偏导数和高阶偏导数的求法. 2、了解偏导数存在与连续的关系以及的几何意义，了解混合偏导数与求导次序无关的充分条件. 重点：偏导数的计算 一、偏导数的定义及其计算法 1、定义 注意: fx(x0,y0)=limDx0f(x0+Dx,y0)-f(x0,y0)d=f(x,y0)Dxdxx=x02、有关偏导数的几点说明： 偏导数u是一个整体记号，不能拆分; x 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； 偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导则该点连续，而多元函数中在某点偏导数存在，则未必在该

11、点连续， 二、 高阶偏导数 第四节 全微分 教学目标： 1、理解多元函数全微分的概念，掌握全微分的求法. 2、理解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分在近似计算中的应用. 重点：全微分的概念 一、全微分的定义 1、全增量的概念 7 2、全微分的定义 二、可微的条件 三、全微分的计算 第五节 多元复合函数的求导法则 教学目标：掌握各种情况下的多元复合函数偏导数的求法. 重难点：复合函数偏导数 一、复合函数的求导法则 二、全微分形式不变性 全微分形式不变形的实质：无论z=f(u,v)是自变量u,v的函数或中间变量u,v的函数，它的全微分形式是一样的. 三、隐函数的求导法则 第六节 多元函数极

12、值及其求法 教学目标： 1、理解多元函数极值和条件级值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解多元函数极值存在的充分条件. 2、掌握求二元函数的极值以及运用拉格朗日乘数法求条件极值的方法. 3、会求二元函数的最大值和最小值，并解决一些实际问题. 重难点：二元函数极值及其求法 一、多元函数的极值和最值 1、二元函数极值的定义 2、多元函数取得极值的条件 定理1 注：仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点. 定理2 3、多元函数的最值求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 8 二、

13、条件极值拉格朗日乘数法 1、条件极值：对自变量有附加条件的极值 2、拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况 第七节 二重积分 教学目的和要求： 1、 通过对曲顶柱体体积以及平面薄片质量的计算实例引入二重积分的概念，从中领会“有限到无限”、“特殊到一般”的数学思想，从而培养学生的数学意识和利用数学知识解决实际问题的能力。 2、 使学生掌握二重积分的定义和性质，并通过例题学会如何处理和解决相应的数学问题。 重点：二重积分的概念 一、二重积分的定义 1、曲顶柱体体积的计算 2、二重积分的定义 3、二重积分存在的充分条件 4、二重积分的几何意义 二、二重积分的性质 1、线性性质 2

14、、积分区域的可加性 3、用二重积分求平面区域面积的公式 4、二重积分的比较性质 5、二重积分的估值性质 6、二重积分的中值定理 二重积分的计算方法 教学目的和要求：掌握二重积分的计算方法 重点：直角坐标和极坐标下二重积分的计算。 难点：坐标系的选取。 直角坐标下积分次序的交换和对称性的运用。 一利用直角坐标计算二重积分： 9 1X-型和Y-型积分域的特点。 注：一般区域总可以分割成X-型区域和Y-型区域。 2积分限的确定方法： 1）先画出积分区域。 2）定积分限的原则： 先积后定限，外层常数见，域内画条线，先交写下限，后交写上限。 1二重积分的计算方法公式累次积分法。 2二重积分计算时注意的问

15、题： 1） 确定坐标系选择、选择积分次序、确定积分限是关键。 2） 注意何时、何类型的题目要交换积分次序。 3） 如何利用奇偶性、对称性简化计算。 4） 被积函数绝对值的处理：分块积分；利用对称性。 5）何时必须用分块积分。 二利用极坐标计算二重积分 1公式 注：ds换成rdrdq。 2积分限的确定： 注：1）极点在D之外。 2）极点在D之内。 3）极点在D的边界上。 3极坐标计算适合的类型： 1）积分域为圆域或圆域的一部分。 2）被积函数含有x2+y2的因子或为f(x2+y2)的形式。 第九章 微分方程初步 教学目标： 1、掌握微分方程概念以及积分曲线的概念. 2、掌握可分离变量微分方程的解法. 3、掌握齐次方程和可化为齐次的方程的解法. 重点：微分方程的概念及解法 难点：微分方程的应用 教学活动： 一、微分方程的概念 定义，分类，微分方程的解特解通解 10 二、可分离变量的微分方程 三、一阶线性微分方程 11