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1、经济数学更新题库及答案华中师范大学高等学历继续教育 经济数学更新题库 一 选择题 1设lim(1+)x=e8 则k=( C ) xkx A.1 B.2 C.8 D.1/8 xkkk思路点拨：lim1+=lim1+=ek xxxx，故选Cxk2. 设f/(x0)存在, 则limh0f(x0-3h)-f(x0)= hA . f/(x0) ; B . -3f/(x0) ; C .3f/(x0) ; D .-f/(x0) 思路点拨：limh0f(x0-3h)-f(x0)f(x0-3h)-f(x0)=lim-3=-3f(x0)h-3hh0 故选B 1 是 25x+2(A) 偶函数 (B) 奇函数 (C)
2、 单调函数 (D) 无界函数 3.函数y=4.若f(sinx)=cos2x，则f(x)=() (A)-4x (B) 1-4x (C) x-1 (D)4x-1 思路点拨：令k=sinx，f(sinx)=cos2x=cos2x-sin2x=1-2sin2x 2f(k)=1-2k2 即 f(x)=1-2xf，(x)=-4x，故选A x2-ax-b)=0，则 5、已知lim(x2x+1111242111. a=-,b= . a=,b=242. a=-,b=- . a=,b=- 141 4x2(1-2a)x2+(-a-2b)x-b-ax-b)=lim=0知 提示：由lim(x2x+1x2x+111a=b
3、=- 故选B 246.当x1时，下列与无穷小等价的无穷小是 A.x2-1 B. x3-1 C.(x-1)2 D.sin(x-1) A提示：如果lim=1 ，A和B是等价的无穷小，记作B:A BA 如果lim=0 ，A 是比B高阶的无穷小，记作A=o(B) BA 如果lim= ，A 是比B低阶的无穷小 BA 如果lim=C0 ，A 与B同阶的无穷小 B(x-1)(x+1)=limx+1=2，x2-1与是同阶x2-1=lim A lim()x1x-1x1x1x-1的无穷小 (x-1)(x2+x+1)x3-1 B lim=lim=lim(x2+x+1)=3，x3-1与x1x-1x1x1x-1是同阶的
4、无穷小 (x-1) C limx12x-1=limx1(x-1)(x-1)=limx-12x-1)=0，(x-1)2是比高(x1阶的无穷小，记作(x-1)=o(x-1) D 由重要不等式limsin(x-1)sinx=1知lim=1，.sin(x-1)和是x0x1xx-1等价的无穷小，记作sin(x-1) 故选D 7.设x0时，excosx-ex与xn是同阶无穷小，则n为 5 . 2 2A提示：有洛必达法则多次求导和定义 可得A 2. 5 . 4 . 8.若函数f(x)在点x0连续，则下列复合函数在x0也连续的有 A、 B、 C、tanf(x) D、ff(x) 提示：A B 在 f(x0) 0
5、时才连续，故不一定在点x0连续 在R上连续，故在在点x0连续 C tanf(x)在f(x0) = p2是不连续，故不一定在点x0连续 D f(x)在点x=f(x0)不一定连续，故不一定在点x0连续 二、填空题 22n2+4n+5=1. lim 2n33n-8思路点拨： lim2n+4n+5=lim2nn3n-822+45+nn2=2 833-2n2.已知y=6sinx+5cosx，求y|x=/6= 63-5 2思路点拨：y|x=p=6cosx-5sinx|6x=p=663163-5 -5=2223.函数y=3x2-4x-1的最小值为 答案：-727y=-y=6x-4，x=3，求导3，3 xx4
6、、求极限lim x/(x+1)= 11提示：由lim-=0和lim1+=e可得 xxxx-(x+1)x1lim =lim 1+-x(x+1)xx+1x-(x+1)11-(+1)xxx-(x+1)x=limex=limex=e-15、求极限lim (1-x)= x01/x提示：lim(1-x)x01/x=lim(1+(-x)x01(-x)-1 =e-16.若f(ex-1)=3x-2，则f(x) 提示：令y=ex-1,则x=lny+1，f(y)=3(lny+1)-2=3lny+1 故f(x)=3lnx+1 7 y=xp的可去间断点为x=0,x=kp+(k=1,L) tanx28、已知f(x)=3/
7、5x+x2/5，求f(0)= 提示：f(x) =332+x故f(0)= 5559、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a= 提示:设直线y=x+a与曲线y=2arctanx的切点为(x0,y0) 则y0=x0+a=2arctanx0，两边求导，1=当x0=1，由1+a=2arctan1=2，x0=1 21+x0p2得a=p2-1 得a=-当x0=-1，由-1+a=2arctan(-1)=-p2p-1 210、函数y=x2-2x+3的极值是y(1)= 提示: f(x)=2x-2=0,x=1,代入- y(1)=1-2+3=2 11、函数y=2x3极小值与极大值分别是 提示: y=6x
8、20,y单调递增，故无极值。 12、函数y=x2-2x-1的最小值为 2-2-2，最小值是-2 提示:y=x2-2x-1=13、函数y=2x-5x2的最大值为 1111提示：y=2x-5x2=-5(x-)2+，最大值为 555514、函数f(x)=x2e-x在-1,1上的最小值为 提示：f(x)=2xe-x-x2e-x=xe-x(2-x)而2-x0,在-1,0，f(x)0，f(x)先减后增，最小值为x=0时，为0 三、计算题 题目内容：1、若f(x)可导，y=f(cos2x)+f(x2)，求y 题目答案：解：y=2cosx(-sinx)f(cos2x)+2xf(x2)=-sin(2x)f(co
9、s2x)+2xf(x2) 题目内容：2、arctanx1+x2dx 题目答案：解：arctanxdx=arctanxd(arctanx)21+x(arctanx)=22+C 题目内容：3、求limx0sinx. x3+3x2+2x题目答案：由洛必达法则知：limx0sinxcosx1=lim= 322x0x+3x+2x3x+6x+22题目内容：4.222x21-x20dx 题目答案：解：令x=sinq，则dx=cosqdq 220pppp22sinqcosq12dx=4dq=42sinqdq=4(1-cos2q)dq=q|04-sin2q|04000cosq21-x22x2p =p4-12 题
10、目内容：5.求曲线y=5x 4-4x 3+1的拐点及凹、凸的区间. 题目答案：解：由y=5x 4-4x 3+1知y=20x 3-12x 2,y=60x2-24x ,令y=60x2-24x=0， x=0或 25 通常凸凹性由二阶导数确定：满足y0的区间为y的凹区间，反之为凸区间；而改变凸凹性的点为拐点 22, +)上曲线是凹的, 在区间0, 上曲线是凸的. 552109 将x=0或 代入曲线y=5x 4-4x 3+1中得y=1或 5125 2109 点(0, 1)和(, )是曲线的拐点. 5125 故在区间(-, 0和 四 证明题 题目内容：1.证明：当x1时，eex 题目答案： x证明：设 f(x)=ex，则对任意的x1，f(x)在闭区间1,x上满足拉格朗日中值定理的条件，且 f(x)=ex. 因此有ex-e1(x-1)ex，其中1xe1, 因此从上式可得 ex-e(x-1)e=ex-e x于是 eex .
