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1、三合一法求函数的参数第二讲 “三合一”法求函数的参数问题 百度文库上看到一篇探究已知函数的值域求参数的问题的好文章，反复读了好几遍，其中的例题也通过画图得到了验证，对此类问题有了更深的认识。但认为一定有更简单的求解方法。 通过画图，我发觉已知函数的值域求参数，应将函数的定义域结合进去，只有将值域和定义域“有机”地结合在一起，才能得到正解。 先复习一个知识,再进一步分析。 二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象与零点的关系 0 0 0 函数的图象 与x轴的 交点 2个(x2,0) 1个 / f(x)0 函数的定义域 (-,x1)(x2,+) 部分解 (-,x1)(x1,+) xR 即xx1，
2、部分解 f(x)0 函数的定义域 (-,x1x2,+) 部分解 xR / f(x)0或D0 再考虑f(x)的定义域：xR 16a-4a(2a+6)=0a=3 结合值域和定义域：a0,且D0，D 可进一步用图象验证： 14212121010f(x) = 3x2 12x + 23 + 6886f(x) = 4x2 16x + 24 + 6644221055101055102a=3 a=4 变式：已知函数的值域为(0,+)，求的取值范围。 解：先考虑f(x)值域：f(x)0，则D0、D0、D0皆可 再考虑f(x)的定义域：xR 16a-4a(2a+6)00a0,且D0，D函数图象为： 2141412
3、1210f(x) = x2 4x + 12 + 610f(x) = 2x2 8x + 22 + 688664422105510105510a=1 a=2 例2：已知函数的值域为，求的取值范围。 x2+ax-22x2+ax-22(x2-x+1) 解：先考虑f(x)值域：f(x)0 再考虑f(x)的定义域：xR 结合值域和定义域：D0，D(2+a)-160-6a2 函数f(x)2图象为： 1010288664f(x) = 2x 4x 2x2 x + 151010524f(x) = x2 + 2x 2x2 x + 12105510224466a=-4 a=2 仔细看上图会发现：不论a取何值，其值域总
4、不能取到,随着x趋向于，函数无限接近y=1线。所以这道题的“值域为改为值域2。 ”改为“值域0且D0，D函数图象为： 101028f(x) = (x + 4x + 4)264128f(x) = (3x + 12x + 6)2264122105510105510224466a=1 10 a=3 10886f(x) = (x2 4x + 2)42126f(x) = (4x2 16x 1)2421105510105510224466a=-1 a=-4 变式:已知函数 解：先考虑f(x)值域：f(x)0， 再考虑f(x)的定义域：xR 的定义域为R，求的取值范围。 16a-4a(a+3)=0a=1 结
5、合值域和定义域：a0且D=0，D2例4：已知函数 解：先考虑f(x)值域：f(x)0， 再考虑f(x)的定义域：xR 的值域为，求的取值范围。 结合值域和定义域：D=0，D4a+4a=0a=0或a=-1 函数图象为： 10102886f(x) = 2x 126f(x) = 2x 2 2x + 1 14422105510105510224466a=0 a=-1 变式：已知函数的定义域为，求的取值范围。 解：先考虑f(x)值域：无要求，随定义域和参数变化而变化。 再考虑f(x)的定义域：xR 结合值域和定义域：D0，D4a+4a0-1a0 2函数图象为： 866f(x) = 2(x2 1 x +
6、2)f(x) = (2x 4x + 2)2 21 112 1442210551010551022446681a=- 2a=-2 例5：已知函数的值域为R，求的取值范围。 2 解：先考虑f(x)值域：f(x)Rx+ax+10 再考虑f(x)的定义域：x+ax+10 结合值域和定义域：D0，Da-40a2或a-2 22函数图象为： 442210551010551022g(x) = log(x2 + 3x + 1)64g(x) = log(x2 3x + 1)648810101212 a=3 a=-3 变式：已知函数2的值域为2，求的取值范围。 解：先考虑f(x)值域：f(x)Rx+ax+11x+a
7、x0 10再考虑f(x)的定义域：x+ax+10 x+ax0 2286g(x) = log(x2 + 1)4x+ax+10，xR 10522510结合值域和定义域：D=0，Da=0a=0 224函数图象为。 6此时，xR，f(x)0 a=0 例6： 对于函数f(x)=log1(x2-2ax+3)，解答下述问题：若函数的定义域2为R，求实数a的取值范围； 若函数的值域为R，求实数a的取值范围；若函数在-1,+)内有意义，求实数a的取值范围； 若函数的定义域为，求实数a的值； 若函数在 解： 解：先考虑f(x)值域：无要求 再考虑f(x)的定义域：xR 结合值域和定义域：D0，D4a-120-3a
8、3 2，求实数a的值；若函数的值域为内为增函数，求实数a的取值范围. 函数图象为： 1214g(x) = logx2 (112 232x + 3)10log()12810684log(x2 4x + 3)g(x) = 1log2()1062410255210551042a=3 xR f(x)R a=2 xRf(x)R 解：先考虑f(x)值域： f(x)Rx-2ax+30 再考虑f(x)的定义域： x-2ax+30 结合值域和定义域：D0，D4a-120a3或a-3 222函数图象为： 64g(x) = 2log(x2 2x + 3)1log2()105510151052464g(x) = 2l
9、og(x2 + 4x + 3)1log2()5101524668a=18a=1(不符合） a=-2 若函数在-1,+)内有意义，求实数a的取值范围； 解：函数在-1,+)内有意义，则x-1，+)时，x2-2ax+30 分两种情况考虑： a0a-2 即-2a-1 a-1，D04a-120-3a3 即-3a3 函数图象为： 862-2a0，1和3分别是x-2ax+3=0的两个根 x1+x2=2aa=2 函数图象如图所示： 86log(x2 4x + 3)g(x) = 1log2()101412410f(x) = x2 4x + 3281055156244261085510a=2 在x-13，函数无
10、意义 先考虑f(x)值域： f(x)-1x-2ax+32x-2ax+10 再考虑f(x)的定义域：x-2ax+30 x-2ax+10 x-2ax+30，xR 结合值域和定义域：D=4a222222-4=0a=1， 函数图象如图所示： 6642log(x2 2x + 3)g(x) = 1log24()2log(x2 + 2x + 3)g(x) = 1log2()101055101555101522446688a=1 a=-1 函数f(x)=log1(x2-2ax+3)在22内为增函数，则g(x)=x-2ax+3在内为减函数，且g(x)=x-2ax+30。 2 即， 得a的取值范围是. ax2+8
11、x+b例7：已知g(x)=的值域是y1,9，求ax2+8x+b的定义域和值域。 2x+1 若函数f(x)的值域为-1,4，求实数a的值。 若函数f(x)对于定义域内的任意x值，都有f(x)-1,4，求实数a的值。 解：先考虑f(x)值域： -1f(x)=22即 4x-ax+10D1=a-16 22 x+ax+40D2=a-16 ax+322-x-1ax+34x+4 42x+1再考虑f(x)的定义域： xR 结合值域和定义域：，D1=0a=4 D2=0a=4 a=4 先考虑f(x)值域： -1f(x)=ax+34-x2-1ax+30D1=a-16 x2+ax+40D2=a2-16 再考虑f(x)
12、的定义域： xR 结合值域和定义域：，D10-4a4 D20-4a0。还有一些题函数解析式中的：对数的底数也含参数，那“三合一”是不够的，要多考虑底数的因素。 2. 方法一：三合一法解非“一元二次方程”类题型。 这一“三合一法”指的是：“值域 + 定义域 + ymin” 相结合。先看下图： 86ymin0 141210函数的图象 1054882665104242241065510810551022/ 与x轴的 交点 2个(x2,0) 1个 f(x)0 函数的定义域 (-,x1)(x2,+) (-,x1)(x1,+) xR 部分解 即xx1，部分解 f(x)0 函数的定义域 (-,x1x2,+)
13、 部分解 xR / f(x)0 54x再考虑g(x)的定义域： 5+x+m0 5例1 已知函数f(x)=lg(5+x结合值域和定义域：ymin0，5x+44x+m25+m=4+m 5x5xymin=4+m0m-4 如图所示， 88664422105510105510224f(x) = log5x + (4 4.015x)4f(x) = log5x + (4 105x)6688m=-4.01 m=-10 变式：已知函数f(x)=lg(5+ 解：先考虑g(x)值域： 无要求 x4则m的取值范围是的 (-4,+) +m)的定义域是R，5x再考虑g(x)的定义域： g(x)=5+与0，且xR x5符号相反 0，5x+44x+m25+m=4+m 5x5xymin=4+m0m-4 小结：在解此类题型时，要注意两个方法的不同点： 值域定义域 0/ymin0 0 0 (-,x1)(x2,+) (-,x1)(x1,+) R / / / (-,x1x2,+) (x1,x2) R / 0 0 x1,x2 x=x1
