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1、三垂线定理及其逆定理例题三垂线定理及其逆定理例题 知识点： 1.三垂线定理； 2.三垂线定理的逆定理； 3.综合应用； 教学过程： 1三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直； 已知：PA,PO分别是平面a的垂线和斜线，AO是PO在平面a的射影,aa,aAO。 求证：aPO； 证明： 说明： 线射垂直线斜垂直； 证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理； 三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。 直线a与PO可以相交，也可以异面。 三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的
2、判定定理。 例1.已知P是平面ABC外一点，PAABC,ACBC。 求证：PCBC。 B 例2.已知PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点。 求证：POBD,PCBD。 三垂线定理和逆定理第 1 页 共 4 页 PPaAOACPADOBC例4.在正方体AC1中，求证：AC1B1D1,AC1BC1； 2写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性； 命题： 已知： 求证： 证明： 说明： 例2在空间四边形ABCD中，设ABCD,ACBD。 求证：ADBC； 点A在底面BCD上的射影是DBCD的垂心； 三垂线定理和逆定理第 2 页 共 4 页 DC11A1B1DCABPaAOABDC例3.求
3、证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证： PB EO CAF说明：可以作为定理来用。 pp例5已知：RtDABC中，A=,AB=3,AC=4，PA是面ABC的斜线，PAB=PAc=。 23(1)求PA与面ABC所成的角的大小; (2)当PA的长度等于多少的时候，点P在平面ABC内的射影恰好落在边BC上； P B A C 三垂线定理和逆定理第 3 页 共 4 页 作业： 1.正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是A1A,AB上的点,EC1EF. 求证: EFEB1。 P2.已知：PA平面PBC，PB=PC,M是BC的中点。
4、 求证：BCAM； C3.填空并证明： A在四面体ABCD中，对棱互相垂直，则A在底面BCD上的射影是底面MBCD的 心。 B在四面体ABCD中，AB、互相垂直，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心 在四面体ABCD中，AB=AC=AD，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。 在四面体ABCD中，顶点A到BC、CD、DB的距离相等，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。 4.正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长a，点P在AC上，Q在BC1上，APBQa， 求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值； 求证：PQAD 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设E是棱AA1上的点，且AE1:EA=1:2，F是棱AB上的点，C1EF=p2。求AF：FB。 6.点P是DABC所在平面外一点，且PA平面ABC。若O和Q分别是ABC和PBC的垂心，试证：OQ平面PBC。 7.已知EAF在平面a内，ATa,Pa,PAE=PAF，EAT=FAT,PDa,Da。求证：DAT； 三垂线定理和逆定理第 4 页 共 4 页
