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1、三角形的重心与其它三心的统一的向量形式三角形的重心与其它“三心”的统一的向量形式 内容提示：三角形“四心”的统一的向量形式 关 键 词：三角形“四心”向量形式 作 者：西盟一中 武功晓 参考资料：数学必修4 普通高中课程标准实验教科书数学必修4 P113页 习题2.5A组第2题，ABC中，D、E、F分别是AB，BC，CA的中点，BF与CD交于点I，设AB=a，ACb AIBICI证明A，I，E三点在同一直线上，且2 IEIDIF用a，b表示向量AI 解：易知：IFDDF1BC 2IBC A 所以，BI2BF 3 D I F r2C B BFa E 3rr21r=+a 图1 23rr1 3rr1
2、因为AE 2所以AI2AE，因此A、I、E三点在同一直线上，而且AI3IEAIBIBA 1 2，同理可证BI2、CI2，所以AIBICI2 IFIDIEIFID此题即为三角形的重心概念及性质：ABC的三条中线AE、BF、CD相交于一点I，如图1，并且AIBICI2 IEIFID除此之外，还有两条重要的性质： I是ABC的重心的重要条件是：SAIB= SBIC= SAIC 1SABC 3证明：因为I是ABC的重心，所以BI2BF，CI2CD，33AI2AE，SAIF= SCIE，SAID= SBID，SBIE= SCIE，等底等高的3三角形面积相等，又因为SBIE12BIEIsinBIE12BF
3、1AEsinBIE1BFAEsinBIE 9233SAIF1AIIFsinBIF12AE1BF 3223sinBIF1AEBFsinBIF 9BIEAIF 所以，SBIESAIF 同理：SEIC= SAID 所以：SAIB= SBIC= SAIC =1SABC 成立，反之亦成立。 3I是ABC的重心的充要条件是：IAIBIC0 证明：因为I是ABC的重心，所以 IA1，IB1，IC1， IAIBIC10 3所以IAIBIC0成立，反之亦成立。 2 三角形除重心外，还有其它“三心”，内心、外心、垂心，这“三心”的向量形式与三角形的重心向量形式有什么关系呢？下面我们证明它们有统一的向量形式。 1、
4、I为ABC内心的充要条件是aIAbIBcIC0 或IAIBIC0。 证明：设I是ABC的内心，如图2 ICIB bIB，作向量IAaIA，A cIC，连结A、B、C，得到ABC，图为I为ABC内心，所以内心到 ABC各边的距离为ABC的内切圆的半径，设为r。 SIBC1212A I B B 图2 C C IBICsinBICbIBcICsinBIC1bcIBICsinBIC1abcr 22同理可得SIAB1abcr 2 SICA1abcr 2 所以，SIABSIBCSICA1 SABC 3I为ABC的重心，有IAIBIC0，即I为ABC内心有aIAbIBcIC0成立，反之亦成立，由正弦定理得I
5、AIBIC0。 3 2、I为ABC外心的充要条件是IAIBIC0。 证明，设I是ABC的外心，图3，作向量IAIA，IBIB，ICIC，连结A、B、C，得A A ABC，因为I为ABC外心，所以，外心I到ABC各顶点的距离为ABC的外接圆的半径，设为R，且BIC2A。 SIBC1IBICsinBIC B I B C C 图3 2 1 sin 2BIBsin 2CICsin 2A 21R2 sin 2Bsin 2Csin 2A 2同理可得 SIAB1R2 sin 2A sin 2B sin 2C 2 SIAC1R2 sin 2A sin 2B sin 2C 2所以 SIABSIBCSICA1SA
6、BC 3I为ABC的重心，有IAIBIC0，即I为ABC外心有IAIBIC0，反之亦成立。 先证三角形垂心的一条性质，若I是非直角三角形ABC的三条高AD、BE、CF的交点，如图4，则 ADIDtanBtanC，BE A FA I E B D 图4 C 4 IEtanAtanC， CFIFtanAtanB。 证明：因为I为ABC垂心，所以BIDACB，CIDABC，BIFBAC 所以有BDIDtanBIDIDtanC，CD IDtanCIDIDtanB，又因为ADBDtanB， ADCDtanC，所以| AD | 2BDCDtanBtanC| ID | 22，即ADIDtanBtanC。 同理
7、可证 BEIEtanAtanC，CFIFtanAtanB。 3、I为非直角ABC垂心的充要条件是 IAIBIC0 证明：设I是ABC的垂心，如图5，作向量IAIA，IBIB，ICIC，连结A、B、C，得到 ABC SIBC1BICIsinBI C 2A A 1IBIC 2sinBI C tanBtanCSIBC I B B D C C 图5 tanBtanC1BCID 21BCADSABC 25 同理可得SIABSABC，SIACSABC， 所以，SIABSIBCSIAC1 SABC，I为ABC的重心，3从而IAIBIC0，即I为ABC的垂心，有IAIBIC0成立，反之亦成立。 由此，我们得到，I为ABC“心”的统一的向量形式xIAyIBzIC0 I为重心时，xyz1，I为外心时，xsin 2A，ysin 2B，zsin 2C，I为垂心时，xtanA，ytanB，ztanC，I为内心时，xBC，yAC，zAB或xsin A，ysin B，zsin C。 6
