三角形三条边的关系.docx

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1、三角形三条边的关系第3课 3.2 三角形三条边的关系 教学分析 重点：掌握三角形三边的关系定理，能利用定理及其推论进行简单的证明。 难点：明确三角形按边分类的原则和结论。 一、复习 1、复习提问 师：什么样的图形叫做三角形？ 生：由三条线段首尾须次连结所组成的图形叫做三角形。 师：是否具有任意长度的三条线段都能“首尾须次连结”？是否“首尾须次连结”的三条线段都能组成三角形？ 师：请用三根木条做成一个三角形，并量出各边的长度，然后把最短的边剪去一小段，观察会出现什么现象，再剪去一小段，观察又会出现什么现象， 师：你做成的三角形的三边长度各是多少？ 最短边剪去一小段后，是否能“首尾须次连结”？若能

2、首尾须次连结，是否组成了三角形？ 再剪去一小段，情况如何？再剪去一小段，情况又如何？ 剪到什么情况时三根木条不能首尾连结成三角形？ 师：根据大家实验的结果，我们可以将三角形三边的关系总结一下。请看表格。 语言描述 几何图形 三条线段首尾须次连结组成三角形 c b a b+ca 三条线段首尾须次连结，但未能组成三角形 b c a b+c=a 三条线段未能首尾须次连结 B c a b+cABAC，AB+BCAC， BC+ACAB， AC+ABBC. 生：由移项可得出三角形两边之差与第三边的关系. 教师提醒学生，为使三角形两边之差为正数，在上述三个式子中，需要挑选合适的一个来证明所需要的结论，如要证

3、明BC-AB与AC的关系，需选择式变形为ACBC-AB.由此得出： 推论1 三角形的两边之差小于第三边. 结合三角形三边关系的定理及推论1，可从另一角度概括出第三边的范围. 推论2 三角形的第三边大于另两边之差的绝对值，且小于另两边之生. 练习3 一个三角形的两边a=3，b=6,能确定第三边c的长度码？能确定c的范围吗？ 若c为偶数，能求出c的值吗？ 答： |b-a|cb+a, 3c1) 教师板书(1)、的格式，让学生练习其余题目.注意总结以下两点： (1)事实上，当三条线段两两互不相等时，只要三条线段中较小的两条之和大于第三条，就可以判断它们能构成三角形. (2)等腰三角形的一腰大于底边的一

4、半. 练习4 以4cm长的线段为底，1cm长的线段为腰，能否构成等腰三角形？以1cm长的段线为底，4cm长的线段为腰呢？ 通过此题，让学生总结出以下结论：已知等腰三角形的三边时，若最短边大于最长边的一半，则最长边可能为底或腰；否则最长边只可能为腰. 例2 已知：ABC的周长是84cm,b=6(c-a),a:c=7:8.求三边a,b,c的长. 分析：将三角形三边的长看成三个未知数，题目分别提供了未知数所满足的三个等量关系，可翻译成三个方程.教师必须提早培养学生具备“列方程”的意识，而根据条件a:c=7:8,最好利用设比使解方程的计算简化，最后还要检验是否能构成三角形. 设a=7,c=8,则b=6

5、,代入得：a=28cm,b=24cm,c=32cm. 28+2432, 它们能构成三角形. 说明：也可直接用代入消元法解这个方程. 练习5 一个等腰三角形周长为组18cm. (1)腰长的3倍比底边长的2倍多6cm.求各边长. (2)已知其中一边长为4cm，求其它两边长；若一边长为5cm呢？ (3)若底边长是偶数，求三边长. 分析： 利用方程的观点列出关于腰长和底边长的方程组，等腰三角形的三边一般设两个未知数即可.设腰长为xcm，底为ycm，则 解得三边长分别为6cm,6cm,6cm. (2) 因为长为4cm 的边可能是腰，也可能是底，所以需要分类讨论.照课本过程讲解，答案为一解；当一边长为5c

6、m时，答案为两解：5cm，8cm或6.5cm,6.5cm. (3) 设腰长为xcm,底边长ycm,由等腰三角形腰长和底边长的关系列出2xy.结合周长2x+y=18,代入消x后,将y的范围缩小为0y12(AB+AC). 分析:根据所要证的不等式的结构,选择恰当的三角形来运用三角形三边关系的定理,结合不等式的性质来进行推理.必要时可添加辅助线构造三角形运用三边关系定理.例题见补充题4(1). 证明 AD为BC边中线, BD=DC,(三角形中线的定义) 2(AD+BD)=2AD+2BD=(AD+BD)+(AD+DC). 又 在ABD中,AD+BDAB,在ADC中,AD+DCAC,即2(AD+BD)A

7、B+AC, AD+BD12(AB+AC). 五、师生共同小结 1. 三角形按边如何分类?需防止什么错误? 2. 三角形三边满足什么关系?三角形中的第三边在什么范围内? 3. 如何判断三条线段能否构成三角形? 4. 计算三角形三边经常采用什么方法?需要注意什么问题? 5. (机动)怎样利用三角形三边的关系来证明三角形中线段的不等关系? 补充题: 1.三角形三条边的长分别是3,1-2m和8,求m的取值范围.(答:-5m2; 0bBD+DC; (2)DA+DB+DC2(AB+AC+BC); (3)DA+DB+DCAB+BC+AC. 提示：延长BD交AC于E，在ABE与CDE中使用三边关系定理；连结A

8、D，在ABD，ACD及BCD中用定理；类比第问，三式相加. 1.三角形按边的关系分类对学生来说是难点,他们经常会把等边三角形与等腰三角形并列对待.因此,教师从三个三角形的例子正面引导学生对三角形三边的大小关系进行分类,并立即用两组练习从正、反两方面强化分类的层次性,以便有效地解决这类问题. 2.三角形三边的关系定理与三角形的定义有着密切的逻辑联系,教师应注意让学生发现定理的形成过程,从中对学生进行逻辑思维的训练,来提高能力. 3.利用定理或推论来证明三角形边的不等关系,可适当增加难度,教师也可将补充题改造成填空题,以便逐步培养证明不等关系. 3.3 三角形的内角和 教学分析 重难点：三角形内角

9、和定理的证明；定理及推论的应用。 一、复习 1、叙述三角形内角和定理及其推论1。 2、什么叫做锐角三角形、钝角三角形、直角三角形？ 3、三角形的一个内角正好等于其余两个内角之和，则此三角形是什么三角形？ 二、新授 1、三角形外角定义：讲这一概念时，结合图形指明外角的三个特征：顶点在三角形的一个顶点上，一条边是三角形的一边，另一边是三角形某一边的延长线。 2、三角形外角的性质： 由三角形内角和定理证明，容易得到下面2个推论： 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 推论2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 例题讲解： 例2 按课本P15页内容讲解。解：略 例3 分析

10、：按课本P15页内容讲解。解：略 3.5三角形全等的判定(一)(1) 教学重点和难点 应用三角形的边角边公理证明问题的分析方法和书写格式. 教学过程设计 一、 实例演示，发现公理 1教师出示几对三角形模板，让学生观察有几对全等三角形，并根据所学过的全等三角形的知识动手操作，加以验证，同时写出全等三角形的数学表达式. 2在此过程中应注意以下几点： 可用移动三角形使其重合的方法验证图3-49中的三对三角形分别全等，并根据图中已知的三对对应元素分别相等的条件，可以证明结论成立.如图3-49(c)中，由AB=AC=3cm,可将ABC绕A点转到B与C重合；由于BAD=CAE=120，保证AD能与AE重合

11、；由AD=AE=5cm,可得到D与E重合.因此BAD可与CAE重合,说明BADCAE. 每次判断全等，若都根据定义检查是否重合是不便操作的，需要寻找更实用的判断方法用全等三角形的性质来判定. 由以上过程可以说明，判定两个三角形全等，不必判断三条边、三个角共六对对应元素均相等，而是可以简化到特定的三个条件，引导学生归纳出：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 3.画图加以巩固：照课本上所叙述的过程带领学生分析画图步骤并画出图形,理解“已知两边及夹角画三角形”的方法，并加深对结论的印象. 二、提出公理 1.边角边公理，指出它可简记为“边角边”或“SAS”，说明记号“SAS的含义 2强调以下

12、两点： 使用条件：三角形的两边及夹角分别对应相等 使用时记号“SAS”和条件都按边、夹角、边的顺序排列，并将对应顶点的字母顺序写在对应位置上 3板书定理证明应使用标准图形、文字及数学表达式，正确书写证明过程 如图3-50，在ABC与ABC中, 三、应用举例、变式练习 1充分发挥一道例题的作用，将条件、结论加以变化，进行变式练习， 例1已知：如图 3-51， ABCB，ABDCBD求证：ABDCBD 分析：将已知条件与边角边公理对比可以发现，只需再有一组对应边相等即可，这可由公共边相等 BDBD得到 说明：证明全等缺条件时，从图形本身挖掘隐含条件，如公共边相等、公共角相等、对顶角相等，等等 学习

13、从结论出发分析证明思路的方法 分析：ABDCBD 因此只能在两个等角分别所在的三角形中寻找与AB，CB夹两已知角的公共边BD 可将此题做条种变式练习： 练习1如图 3-51，已知 ABCB，ABDCBD.求证：AD=CD，BD平分ADC. 分析：在证毕全等的基础上，可继续利用全等三角形的性质得出对应边相等，即AD=CD；对应角相等ADB=CDB，即BD平分ADC.因此，通过证明两三角形全等可证明两个三角形中的线段相等或和角相关的结论，如两直线平行、垂直、角平分线等等. 练习2(改变条件）如图 351，已知 BD平分ABC， AB CB求证: AC 分析：能直接使用的证明三角形全等的条件只有AB

14、CB，所缺的其余条件分别由公共边相等、角平分线的定义得出这样，在证明三角形全等之前需做一些准备工作教师板书完整证明过程如下： 以上四步是证明两三角形全等的基本证明格式 将题目中的图形加以有规律地图形变换，可得到相关的一组变式练习，使刚才的解题思路得以充分地实施，并加强例题、习题之间的有机联系，熟悉常见图形，同时让学生总结常用的寻找所缺边、缺角条件的方法 练习 3如图 3-52，已知 ABAE， ADAF， 1=2求证： DB=FE 分析：关键由12，利用等量公理证出BADEAF. 练习 4如图 3-52(d)，已知 A为 BC中点， AE/BD， AEBD求证： AD/CE 分析：由中点定义得

15、出 ABAC；由 AE/BD及平行线性质得出ABD=CAE 练习 5已知：如图 3-52(e）， AE/BD， AEDB求证： AB/DE 分析：由 AE/BD及平行线性质得出ADB=DAE；由公共边 ADDA及已知证明全等 练习6已知：如图352，AE/BD，AEDB求证：AB/DE，ABDE 分析：通过添加辅助线连结AD，构造两个三角形去证明全等 练习 7已知：如图 3-52， BAEF， DF=CA，EFD=CAB求证：B=E 分析：由DFCA及等量公理得出DACF；由EFDCAB及“等角的补角相等”得出BADEFC 练习8已知：如图352，BE和CD交于A，且A为BE中点，ECCD于C

16、,BDCD于 D， CEBD求证： ACAD 分析：由于目前只有边角边公理，因此，必须将角的隐含条件对顶角相等转化为已知两边的夹角B=E，这点利用“等角的余角相等”可以实现 练习 9已知如图 352，点 C， F， A， D在同一直线上， ACFD， CE=DB， ECCD，BDCD，垂足分别为 C和D求证：EF/AB 在下一课时中，可在图中连结EA及BF，进一步统习证明两次全等 小结：在以上例1及它的九种变式练习中，可让学生归纳概括出目前常用的证明三角形全等时寻找非已知条件的途径 缺边时：图中隐含公共边；中点概念；等量公理其它 缺角时：图中隐含公共角；图中隐含对顶角；三角形内角和及推论角平分

17、线定义； 平行线的性质；同角的补角相等；等量公理；其它 例2已知：如图353，ABE和ACD均为等边三角形.求证：BD=EC 分析：先选择BD和EC所在的两个三角形ABD与AEC，已知没有提供任一证两个三角形全等所需的直接条件，均需由等边三角形的定义提供 四、师生共同归纳小结 1证明两三角形全等的条件可由定义的六条件减弱到至少几个？边角边公理是哪三个 条件？ 2在遇到证明两三角形全等或用全等证明线段、角的大小关系时，最典型的分析问题的思路是怎样的？你体会这样做有些什么优点？ 3.证明两个三角形全等而边、角的直接条件不够时，可从哪些角度入手寻找非已知条件？ 课堂教学设计说明 1课本第3.5节内容

18、安排3课时，前两课时学习三角形全等的边角边公理，重点练习直接应用公理及证明格式，初步学习寻找证明全等所需的非已知条件的方法，以及利用性质证明边角的数量关系及直线的位置关系，第3课时加以巩固并学习解决应用题和两次全等的问题. 2本节将“理解全等三角形的判定方法的必要性“列为教学目标之一，目的是引起教师和学生的重视，只有学生真正认识到了研究判定方法的必要性，才能从思想上接受判定方法，并发挥出他们的学习主动性. 3本节课将“分析法和寻找证明全等三角形时非已知条件的方法”作为教学目标之一，意在归纳一些常用的解题思路，以便将它作为证明全等三角形的一种技能加以强化. 4教材中将“利用证明两个三角形全等来证

19、明线段或角相等”的方法做为例5出现，为时过晚，达不到训练的目的，因此教师应提前到第一、二课时，就教给学生分析的方法，并从各种角度加以训练. 5教师可将例题1和几种变式练习制成投作影片提高课堂教学效率教学使用时，重点放在题目的分析上，并体现出题目之间图形的变化和内在联系. 6本节教学内容的两课时既教会学生分析全等问题的思路分析法和寻找非已知条件的方法，又要求他们落实证明的规范步骤准备条件，指明范围，列齐条件和得出结论，使学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达学生学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达。节教学 38直角三角形全等的判定 教学重点和难点“斜边直角边公理

20、”的掌握和灵活运用. 教学过程设计 一、讨论直角三角形全等的判定方法 可用判定一般三角形全少的方法 练习1 判断以下各组直角三角形是否全等，为什么？ 两直角边对应相等的两个直角三角形； 一边和一锐角对应相等的两个直角三角形. 分析：判定两直角三角形全等时，直角相等是一个很重要的隐含条件. 由于直角三角形是特殊的三角形，所以一般三角形全等的四种判定方法对直角三角形都适用. 由于直角三角形与一般三角形相比增加了一个特殊条件直角，因此，判定直角三角形全等的条件可减弱到两个，“SSS”对直角三角形来说条件多余. 2探求判定直角三角形全等的特殊方法. 对直角三角形中的两对对应元素进行分类，探求有无判定全

21、等的其它方法. 除练习1的和之外，还有以下两种情况： 两锐角对应相等； 斜边和一直角边对应相等. 对第句，由教师和学生手中的含30的直角三角板可说明它不成立，因此，判定直角三角形全等仍然至少需要一边对应相等.对第句，通过画图寻找答案. 画图得出公理. 例1 如图3-80，已知线段a,c(ac),画一个RtABC,使C=90，一直角边CB=a,斜边AB=c. 注意选择合理的画图顺序来确定三角形的三个顶点：画直角确定顶点C在直角一边上截取线段a确定B点以点B为圆心，线段c为半径作弧与另一直角边相交确定点A. 说明：教师按照教材所述，详细板书画法并作图. 着重说明画出的直角三角形存在且唯一，因此，可

22、以作为判定公理，称为“斜边、直角边公理”，简写为“HL”. 4叙述公理，强调条件及格式. “HL公理”的内容，说明它实际上就是两边及其中一边的对角对应相等，但所对的角是直角，所以它只对直角三角形适用，对一般三角形并不一定成立，因此，在“HL公理”的使用过程中要突出直角三角形这个条件，对于图3-81，在RtABC与RtABC 二、应用举例 例2 已知：如图3-82，在ABC与ABC中，CD和CD分别是高，并且AC=AC，CD=CD，ACB=ACB.求证：ABCABC. 练习2 如图3-83，AB=AC，CFAB于F，BEAC于E，CF与BE交于H.求证：AH平分ABC；CH=BH；AHBC；连结

23、BC与AH的延长线交于D，图中有多少对全等三角形？为什么？交换“AB=AC”与“AH平分BAC”，以上命题是否成立？为什么？ 说明：通过二次全等证明所需结论，并培养学生逆向思维能力. 通过此题全面复习直角三角形全等的判定方法. 练习3 已知：如图3-84，AB=AC，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F.求证：DE=DF. 例3 求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等. 说明：根据文字叙述画图，分析已知、未知条件，根据直角三角形的判定方法来证明两次全等 2思考：两边及其中较长边所对的角对应相等的两个三角形是否全等？为什么？较短边所对的角对应相等吗？ 提示：对较长边所对的

24、角按锐角、直角、钝角三种情况来进行分类讨论，结论成立可用尺规作图作出符合条件的唯一确定的三角形. 对较短边所对的角按锐角、直角、钝角三种情况进行分类讨论，发现由“大边对大角”得知直角、钝角时三角形不存在，而锐角时即为表31中“SSA”的反例图形，三角形形状不唯一. 1复习巩固并运用一般三角形的四种判定方法判定直角三角形全等的基础上，让学生总结规律：直角三角形只需再加两个特定条件就能判定全等引导学生对两个特定条件进行分类，引出对“斜边、直角边公理”的思考 2教师也可采用第二种引入新课的方法如下： 复习一般三角形的四种判定方法 提问：SSA能否判定一般三角形全等？能否判定直角三角形全等？ 教师用投

25、影演示表31中“SSA”的反例图形： 分解出ABD与ABC； 分别绕点A旋转AD和AC使AB所对的角都变为直角； 对比发现，当两边及其中一边所对的角为锐角时三角形形状不唯一；但当两边及其中一边所对的角为直角时，直角三角形形状就唯一被确定 猜想“SSA”可用来判定两直角三角形全等，但不称为“SSA”，而由边角对应关系称为“斜边、直角边” 3练习2与补充题1实际上均是“三角形三条高交于一点”的特殊化形式，如果教师能看到这类题目之间的联系，就可以灵活自由地设计一题多变的题目，在变化与联系中培养学生逻辑思维能力 4补充题2让程度较好的学生对“SSA”能否判定两三角形全等有一个更为深刻的认识，以后学完正弦定理后，就能对“ SSA问题有一个更全面深刻的认识