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1、不等式的证明方法经典例题不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 a2+b2a+b注意a+b2ab的变式应用。常用 (其中a,bR+)来解决有2222关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c均为正数，求证：111111+ 2a2b2ca+bb+cc+a二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已
2、知条件推出所要证明的结论。 2、a、b、c(0,+)，a+b+c=1，求证：4a2+b2+c24413 3、设a、b、c是互不相等的正数，求证：a+b+cabc(a+b+c) 4、 知a,b,cR，求证:a2+b+2b2+c+2c2+a2(a+b+c) 211(1+)(1+)9xy5、x、y(0,+)且x+y=1，证：。 6、已知a,bR,a+b=1求证：1+1111+. ab9三、分析法 分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。 7、已知a、b、c为正数，求证：2(a+ba+b+c3-ab)3(-abc)23 8、a、b、c(0,+)且a
3、+b+c=1，求证a+b+c3。 四、换元法 换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。 9、bbc,求证：13、已知x2xyy2，求证：| xy |10 14、解不等式5-x-221x+1 2215、11-xx2 五、增量代换法 在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如abc)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简 16、已知a，bR，且ab = 1，求证：(a2)(b2)六、利用“1”的代换型 2225 2111已知a,b,cR+,且
4、a+b+c=1,求证： +9.abc17、 七、反证法 反证法的思路是“假设矛盾肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。 18、若p0，q0，pq= 2，求证：pq2证明：反证法 33119、已知a、b、c，求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a，不能均大于4。 20、已知a,b,c，求证：b, c, a 不能同时大于1。 421、a、b、cR，a+b+c0，ab+bc+ca0，abc0，求证：a、b、c均为正数。 八、放缩法 放缩时常用的方法有：1去或加上一些项2分子或分母放大3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩 22、已知a、b、c、d都是正数，求证：12 bdaca+b+cb+c+dc+d+ad+a+b23、nN，求证：*2(n+1-1)1+12+13+L+1n0时，则 |x|a -axa xa。 注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。 3常用的同解变形 |f(x)|g(x) -g(x)f(x)g(x) f(x)g(x)； |f(x)|g(x)| f2(x)g2(x)。 4三角形不等式: |a|-|b|ab|a|+|b|。
