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1、与三角形四心相关的向量问题向 量 专 题 复 习 杭州市特级教师 张士巍 一、与三角形“四心”相关的向量问题 题1：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足ABACOP=OA+l+，l0,+)则P点的轨迹一定通过ABC的 |AB|AC|A外心 B内心 C重心 D垂心 ABACABAC+解：由已知得AP=l，是AB方向上的单位向量，是AC方向上的|AC|AB|AC|AB|单位向量，根据平行四边形法则知构成菱形，点P在BAC的角平分线上，故点P的轨迹过ABC的内心，选B 练习：在直角坐标系xoy中，已知点A和点B，若点C在AOB的平分线上，且|OC|=2，则OC=_ 略解
2、：点C在AOB的平线上，则存在l(0,+)使OC=l(343910OAOB， +)=l(0,1)+l(-,)=(-l,l)，而|OC|=2，可得l=55553|OA|OB|OC=(-10310,) 55题2：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+l(AB+AC)，l0,+)则P点的轨迹一定通过ABC的 A外心 B内心 C重心 D垂心 解：由已知得AP=l(AB+AC)，设BC的中点为D，则根据平行四边形法则知点P在BC的中线AD所在的射线上，故P的轨迹过ABC的重心，选C 题3：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=O
3、A+l(ABAC +)，l0,+)，则动点P的轨迹一定通过ABC的|AB|sinB|AC|sinCA重心 B垂心 C外心 D内心 解：由已知得AP=l(ABAC+)， |AB|sinB|AC|sinC由正弦定理知|AB|sinB=|AC|sinC， AP=l|AB|sinB(AB+AC)， 设BC的中点为D，则由平行四边形法则可知点P在BC的中线AD所在的射线上，所以动点P的轨迹一定通过ABC的重心，故选A 题4：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+l(ABAC+)，l0,+)，则动点P的轨迹一定通过ABC的|AB|cosB|AC|cosCA重心 B
4、垂心 C外心 D内心 解：由已知得AP=l(ABAC+)， |AB|cosB|AC|cosC APBC=l(ABBCACBC+) |AB|cosB|AC|cosC=l(|AB|BC|cos(p-B)|AC|BC|cosC+)=l(-|BC|+|BC|)= 0， |AB|cosB|AC|cosC APBC，即APBC，所以动点P的轨迹通过ABC的垂心，选B 题5：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OB+OCABAC+l(+)，l0,+)，则动点P的轨迹一定通过ABC2|AB|cosB|AC|cosC的 A重心 B垂心 C外心 D内心 解：设BC的中点为D，
5、则OB+OC=OD， 2则由已知得DP=l(ABAC+)， |AB|cosB|AC|cosC DPBC=l(ABBCACBC+) |AB|cosB|AC|cosC=l(|AB|BC|cos(p-B)|AC|BC|cosC+)=l(-|BC|+|BC|)= 0 |AB|cosB|AC|cosC DPBC，P点在BC的垂直平分线上，故动点P的轨迹通过ABC的外心选C 题6：三个不共线的向量OA,OB,OC满足OA(BCCA+)= 0，则O点是ABC的 |BC|CA|ABCABA+CB） +)=OB(|AB|CA|BA|CB|=OC(A垂心 B重心 C内心 D外心 解：ABCAABCA+)= 表示与
6、ABC中A的外角平分线共线的向量，由OA(|AB|CA|AB|CA|0知OA垂直A的外角平分线，因而OA是A的平分线，同理，OB和OC分别是B和C的平分线，故选C 题7：已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为ABC的外心，动点P满足1OP=(1-l)OA+(1-l)OB+(1+2l)OC(lR,l0)，则P的轨迹一定通过ABC的3A内心 B垂心 C重心 D AB边的中点 1解：CP=OP-OC=(1-l)OA+(1-l)OB-2(1-l)OC 3 =1-l1-l(CA+CB)， (OA-OC)+(OB-OC)=33由平行四边形法则知CA+CB必过AB边的中点，注意到l0，所以P的轨迹在AB边
7、的中线上，但不与重心重合，故选D 题8：已知O是ABC所在平面上的一点，若OA+OB+OC= 0，则O点是ABC的 A外心 B内心 C重心 D垂心 解：若OA+OB+OC= 0，则OA+OB=-OC，以OA、OB为邻边作平行四边形OAC1B，设OC1与AB交于点D，则D为AB的中点，有OA+OB=OC1，得OC1=-OC，即C、O、D、C1四点共线，同理AE、BF亦为ABC的中线，所以O是ABC的重心选C 1题9：已知O是ABC所在平面上的一点，若PO=(PA+PB+PC)，则O点是ABC的 A外心 B内心 C重心 D垂心 解：由已知得3PO=OA-OP+OB-OP+OC-OP， 3PO+3O
8、P=OA+OB+OC，即OA+OB+OC= 0，由上题的结论知O点是ABC的重心故选C 题10：已知O是ABC所在平面上的一点，若OAOB=OBOC=OCOA，则O点是ABC的 A外心 B内心 C重心 D垂心 解：由OAOB=OBOC，则OAOB-OBOC=0，即OB(OA-OC)=0， 得OBCA=0，所以OBCA同理可证OCAB，OABC O是ABC的垂心选D 题11：已知O为ABC所在平面内一点，满足OA+BC=OB+CA= OC+AB，则O点是ABC的 222222A垂心 B重心 C内心 D外心 解：由已知得|OA|2-|OB|2=|CA|2-|BC|2 (OA-OB)(OA+OB)=
9、(CA-BC)(CA+BC) BA(OA+OB)=(CA+CB)BABA(OA+OB+AC+BC)= 0 BA2OC= 0， OCBA 同理OACB，OB 题12：已知AC故选A O是ABC所在平面上的一点，若(OA+OB)AB=(OB+OC)BC=(OC+OA)CA= 0，则O点是ABC的 A外心 B内心 C重心 D垂心 解：由已知得： (OA+OB)(OB-OA)=(OB+OC)(OC-OB)=(OC+OA)(OA-OC)= 0 OB-OA=OC-OB=OA-OC= 0 |OA|=|OB|=|OC|所以O点是ABC的外心选A 题13：已知O是ABC所在平面上的一点，若aOA+bOB+cOC
10、= 0，则O点是ABC的 A外心 B内心 C重心 D垂心 解： OB=OA+AB，OC=OA+AC，则(a+b+c)OA+bAB+cAC= 0，得222222AO=bcABACABAC与分别为AB和AC方向上的单位向量，设(+)因为a+b+c|AB|AC|AB|AC|ABAC，则AP平分BAC又AO、AP共线，知AO平分BAC同理可证BO+|AB|AC|AP=平分ABC，CO平分ACB，所以O点是ABC的内心 题14：已知O是ABC所在平面上的一点，若PO=aPA+bPB+cPC，则O点是ABC的 A外心 B内心 C重心 D垂心 解：由已知得PO=PA+bPB+cPC-cPA-bPAbAB+c
11、AC=PA+， a+b+ca+b+c AO=bAB+cACbcABACbcABAC=(+)=(+)， a+b+ca+b+ccba+b+c|AB|AC|由上题结论知O点是ABC的内心故选B 1题15：设O为ABC的外心，G为ABC的重心，求证：OG=(OA+OB+OC) 3证明：根据题9中P点的任意性即可证得证明略 题16：设O为ABC的外心，H为ABC的垂心，则OH=OA+OB+OC 证明：在ABC的外接圆O中作直径BD，连接 AD、DC，则有：OB=-OD，ADAB，DCBC， 又H是垂心，则AHBC，CHAB， CHAD，AHDC，于是AHCD是平行四边形， B AH=DC OH=OA+A
12、H=OA+DC=OA+OC-OD=OA+OB+OC 练习1：ABC的外接圆的圆心为O，两边上的高的交点为H，OH=m(OA+OB+OC)，则实数m =_ 解1：由上题结论知m = 1 解2： O为ABC的外接圆的圆心，所以(OB+OC)BC，又H为三角形的垂心，则AHBC，故AH(OB+OC)，设AH=l(OB+OC) 则OH=OA+AH=OA+lOB+lOC，又OH=m(OA+OB+OC)，所以m=1 练习2：ABC中，AB=1，BC =6，CA = 2，ABC的外接圆的圆心为O，若O A D H C AO=lAB+mAC，求实数l,m的值 1解：BC=AC-AB，两边平方得ABAC=-分别
13、取AB、AC的中点M、N，连接OM、211ON则OM=AM-AO=AB-(lAB+mAC)=(-l)AB-mAC 221m又O为ABC的外接圆的圆心，则OMAB= 0，即有-l+=0 22l43同理有ONAC= 0，得+2-4m=0解得l=，m= 255二、与三角形形状相关的向量问题 题17：已知非零向量AB与AC满足(ABAC1ABAC=，则ABC+)BC= 0且2|AB|AC|AB|AC|为 A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形 解：由(ABAC+)BC= 0，知角A的平分线垂直于BC，故ABC为等腰三角形，即|AB|AC|AB| = |AC|；由ABAC
14、1=|AB|AC|2cosA=ABAC1=， |AB|AC|2 A= 600所以ABC为等边三角形，选D 题18：已知O为ABC所在平面内一点，满足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|，则ABC一定是 A等腰直角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等边三角形 解：由已知得|CB|=|OB-OA+OC-OA| 可知以AB与AC为邻边的平行四边形是矩形，所以ABAC，|AB-AC|=|AB+AC|，选B 题19：已知ABC，若对任意tR，|BA-tBC|AC|，则ABC A必为锐角三角形 B必为钝角三角形 C必为直角三角形 D答案不确定 解法1： CA=BA-BC， |CA|=|AC|=|BA
15、-BC|， |BA-tBC|BA-BC| 式右边表示A、C两点之间的距离，记tBC=BP，则式左边表示直线BC外一点A与直线BC上动点P之间的距离，由|PA|CA|恒成立知，A在直线BC上的射影就是C点，所以ACBC，故选C 解法2：令ABC=a，过点A作ADBC于点D，由|BA-tBC|AC|，得BA-2tBABC+tBCAC，令f(t)=BA-2tBABC+tBC，则f(t)AC恒222222222成立，只要f(t)的最小值大于或等于AC，而当t=BABCBC2时，f(t)取最小值，此时：|BA|2-2|BA|2cos2a+cos2a|BA|2|AC|2， 即|BA|2sin2a|AC|2
16、， |BA|sina|AC|，从而有| AD | | AC | ， ACB=，故选C 2题20：已知a，b，c分别为ABC中A，B，C的对边，G为ABC的重心，且paGA+bGB+cGC= 0，则ABC为 A等腰直角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等边三角形 解： G是ABC的重心， GA+GB+GC= 0，又aGA+bGB+cGC= 0， aGA+bGB-c(GA+GB)= 0，即(a-c)GA+(b-c)GB= 0 GA，GB不共线， a c = b c = 0，即a = b = c ABC为等边三角形选D 三、与三角形面积相关的向量问题 命题：平面内点O是ABC的重心，则有SDOA
17、B:SDOAC:SDOBC=1:1:1 题21：已知点O是ABC内一点，OA+2OB+3OC= 0，则： (1) AOB与AOC的面积之比为_； (2) ABC与AOC的面积之比为_； (3) ABC与四边形ABOC的面积之比为_ AO+EOF+解： 将OB延长至E，使OE = 2OB，将OC延长至F，使OF = 3OC，则O0，所以O是AEF的重心 1111 SDAOC=SDAOF=SDAEF，SDAOB=SDAOE=SDAEF， SDAOB:SDAOC=3:2 392611 SDBOC=SDEOF=SDAEF， 61811111 SDABC=SDAOB+SDAOC+SDBOC=(+)SDA
18、EF=SDAEF，又SDAOC=SDAEF， 691839 SDABC:SDAOC=3:1 1151 SABOC=SDAOB+SDAOC=(+)SDAEF=SDAEF，SDABC=SDAEF 69183= SDABC:SABOC=6:5 四、向量的基本关系 命题：A、B、C三点共线OC=lOA+mOB，且l+m=1 1题22：在ABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB，CD=CA+lCB，则l=32112A B C- D- 3333解：由上述命题的结论可知选A A 题23：如图，在ABC中，点O是BC的 N 中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同 的两点M、N，若AB=mAM，AC
19、=nAN，则 B E O C m + n =_ 解1：取特殊位置设M与B重合，N与C M 重合，则m=n=1，所以m+n=2 11mnmn解2：AO=AB+AC=AM+AN， M、O、N三点共线， +=1， m + 222222n = 2 解3：过点B作BEAC，则BE=NC=(n-1)AN，BM=(1-m)AM 又|BE|BM|， 1 m = n 1， m + n = 2 =|AN|AM|题24：如图，已知点G是ABC的重心，若PQ过ABC的重心，记CA= a，CB= b，CP= 11ma ，CQ= nb ，则+=_ mn21111CP+CQ， 解：CG=CM=a +b =3333m3n P
20、、G、Q三点共线， 1111+=1， += 3 3m3nmnC P A G M Q B 题25：已知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为1200，求使a+kb与ka+b的夹角为锐角的实数k的取值范围 已知a=(m-2,m+3)，b=(2m+1,m-2)，且a与b的夹角为钝角，求实数m的取值范围 解： (a+kb)(ka+b)=ka+(k2+1)ab+kb= k + 12cos1200 + 4k = k2 + 5k 1 ， 依题意，得 k2 + 5k 10， 5-215+21k 2222又当a+kb与ka+b同向时，仍有(a+kb)(ka+b)0，此时设a+kb=l(ka+b)，显然a、b不共线，所以lk=1，k =l，k =l=1，取k =l=1 5-215+21且k1 k22
