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1、专题十七 算术平均数与几何平均数高中数学高考综合复习 专题十七 算术平均数与几何平均数 一、知识网络 二、高考考点 1、运用重要不等式a2+b22ab或 2、在给定条件下求有关式的取值范围； 3、在给定条件下求有关函数的最大值或最小值； 4、解决实际应用问题，以最优化问题为主要题型。 三、知识要点 不等式的性质 判断或证明所给不等式的命题是否成立； 不等式的性质是证明与求解不等式的基本依据，为了便于记忆和运用，我们将不等式的性质划分为“基本性质”和“运算性质”两个类别。 1、 关于不等式的“基本性质” 对称性：ab bc a+cb+c 推论：a+bc acbc; ab,cb+d; acbd；
2、anbn0(n N*); ac-b acb,bc “数加“法则：ab “数乘”法则：ab,c0 2、关于不等式“两边运算”的性质 同向不等式两边“相加”：ab,cd 正数不等式两边“乘方”：ab0 正数不等式两边“开方” 同向的正数不等式两边“相乘”：ab0，cd0 认知：上述所有不等式的性质均可应用于证明不等式，但只有部分不等式的性质，可应用于解不等式，可应用于求解不等式的性质为1；1；1及其2；2 基本定理及其推论 定理1：如果a,b R，那么a2+b22ab 推论： 1 定理2：如果a,b R+，那么 推论1：若a,b R+,则24ab 推论2：设x,y均为正数，则 当积xy为定值P时，
3、和x+y有最小值 ； 当和x+y为定值S时，积有最大值 四、经典例题 例1 ； 若x,y R+且 的最大值. 若x,yR且xy0，x2y2，求uxyx2的最小值. 分析：注意运用最值定理解题的要领：一正二定三相等 欲求积 的最大值，首先致力于“凑因子”，为凑出已知条件下“和为定值”的正数之积而变形u，若u的表达式的部分因子在根号外，则可考虑使这一部分进入根号或考察u2： 欲求和xy+x2的最小值，首先致力于“凑项”，为凑出已知条件下“积为定值”的正数之和而变形u，若有可能，将u化为一元函数，问题分析会更明朗一些。 解：注意到这里x0，u0， = 时等号成立）。 由已知得 =3(当且仅当 时成立
4、) umin=3 点评：遇“积”凑因子，在主体部分凑出“若干因子之和为定值”的形式； 遇“和”则凑项，在主体部分凑出“若干项之积为定值”的形成，完成此番设想后，进而再考察有关各数“相等”的可能性。 2 例2 若x,y,a,b R+，ab，且 ，求ux+y的最小值； 若0x0，求 分析： 的最小值. 对于如何利用 ,这一条件通常用法多是作“1的替换”或作“三角替换”； 对于，注意到这里0x1，并且两个分母之和为1：x+(1-x)=1,在 (1)的基础上易于寻出解题思路。 解：解法一：x,y,a,b R+ 解法二：注意到 令 则有x=asec2，y=bcsc2 u= asec2+bcsc2=(at
5、an2+bcot2)+(a+b) (当且仅当atan2bcot2 时等号成立) (2)注意到这里0x2c 又a+b+c=4 的取值范围。 再注意到这里a+bc (利用三角形的普通性质) c0，则由得 (ii)当a,c 同为负数时， 由、得 1-b-2|b| ；若b0， 则由得 -1b0 由解得-1bbc，不等式 已知x,y R+,且不等式 恒成立，求k的最大值 恒成立，求a的最小值 分析：此恒等式问题与最值有着千丝万缕的联系，而寻求有关式子的最值的基本手段之一是利用重要不等式。 4 解：abc 原不等式恒成立 则 ku的最小值 恒成立 令 又 (分子主动与分母沟通联系) 4 umin=4(当且
6、仅当a+c=2b时取得) 于是由、得 k4，即k的最大值为4 不等式 恒成立 恒成立 恒成立(为便于利用重要不等式而变形) 则 恒成立(化生为熟转化成功) 令 au的最大值 x，yR+ (当且仅当x=y时等号成立) 于是由、得 (当且仅当x=y时等号成立) ，即a的最小值为 (当且仅当x=y时取得) 例5已知a,b R+，且a+b=1，求证： 分析：对于条件不等式的证明，条件的适当运用是证明的关键环节，对于题设条件中的等式的应用，主要有三个方面 直接代入：以a+b=1或2=1代入； 换元转化：令a=cos2 ,5 借助“外因”联合推理：由已知等式联想有关的重要不等式，二者联合导出已知条件的延伸
7、。 联想1：由已知等式本身联想重要不等式： a,b R+，且 由左边a+b联想重要不等式 联想2：由已知等式的等价变形联想重要不等式 这与联想1中推出的结果殊途同归. 对已知条件作以上挖掘延伸之后,再证明所给例题便是水到渠成。 证明：证法一(分析转化、化生为熟)： 原不等式 又 证法二：； 不等式成立， 注意到 当且仅当 时等号成立 同理 (当且仅当 时等号成立) (当且仅当 时等号成立) 6 (2)利用前面的推论，左边 (3)略 (4)利用前面的结论,左边 (当且仅当 时等号成立) (5)利用前面的推论得 为了构造同向不等式,对左边配方: 左边 (当且仅当 时等号成立) (当且仅当 时等号成
8、立) (当且仅当 时等号成立) (当且仅当 时等号成立) (6) 解法一:(为了构造“同向不等式”)硬性提取 后再作变形): 左边 (当且仅当 时等号成立) (当且仅当 时等号成立) 左边 (当且仅当 时等号成立) 解法二:仿(5)之解法,留给同学们练习 点评已知x,y R+，且x+y=1，试求 (i) 的最小值； 的最小值。 已知a,b R+，且a3+b3=2，求证：ab1; (ii)a+b2 分析：对于本质上是例5 的改作题； 7 对于，仍可仿照例5中已知条件的延伸手法来寻觅解题思路 解：从略 (2)证明：注意到已知条件a3+b3=2 (i)由式左边联想重要不等式 由得 a2+b2-aba
9、b0 由得 由、得 (当且仅当a=b=1时等号成立) (a+b)(a2+b2-ab)=2 a2+b22ab 由式左边联想重要不等式 由、得 (当且仅当a=b=1时等号成立) a+b2(当且仅当a=b时等号成立) 命题得证 38 点评：前事不忘，后事之师，学习中要注意知识、方法与策略的迁移，对于，也可以根据已知条件a3+b3=2“实施等量替换”，只是效果不一定理想，事实上， 设 则 五、高考真题 ；得证；而a+b2则难以证明,同学们不妨一试. 1、对于0a1,给出下列四个不等式： 其中成立的是 A.1与 B.与 C.与 D.与 分析：从0a1入手去比较1+a与 的大小 0a1 又当0a1时，y=
10、logax为减函数 当0a1时，y=ax为减函数， 于是由、知本题应选D 2、：已知a2+b2=1,b2+c2=2,c2+a2=2,则ab+bc+ca的最小值为 8 A. 分析：为建立“已知”与“目标”的联系，考察已知三式的和： 将与已知各式联立，解得 即 注意到欲求ab+bc+ca的最小值，只需a、b同号且c与它们反号 ab+bc+ac的最小值为 3、集合范围可以是 B=x| |x-b|a，若“a=1”是“AB ”的充分条件，则b的取值 A.-2b0 B.0b2 C.-3b-1 D.-1b-1,则 若正整数m和n满足mn，则 设P(x1,y1)为圆01；x2+y2=9上任一点，圆O2以Q为圆
11、心且半径为1，当2+(b-y1)2=1时，圆01与圆O2相切。其中假命题的个数为 A0 B.1 C.2 D.3 分析：逐一考察每个命题： 对于作辅助函数 在上为增函数. ab-1, f(a) f(b),即 ，为真命题； 对于，由已知得m0，n-m0,由平均值不等式得 也是真命题； 对于，注意到圆O2的方程为2+(y-b)2=1，故由题设知点P亦在圆O2上，即点P为圆O1与圆O2的公共点 圆01与圆O2相切，从而为假命题。于是由上述分析可知，本题应为B。 9 重要不等式及其运用 教学重点难点: 灵活运用定理证明不等式和求函数的最值问题。 一、教材分析: 本节所介绍的公式在整个代数中占有重要地位，
12、它不仅用来为证明不等式提供理论依据，还在其它问题的求解中有着广泛的应用，例如求最值问题，求范围问题等。 主要内容: 重要结论1：如果a,bR, 那么。 定理：如果a,bR+, 那么。 重要结论2：如果a, b, cR+, 那么 重要结论3：如果a, b, cR+, 那么 重要结论4：如果a1, a2,., anR+, 那么取“=”号），其中nN, 且n1。 以上内容有几点说明: 对于结论1，应注意灵活变形： 正数的算术平均数A不小于它们的几何平均数G。 应用不等式证题时，一定要注意条件和“=”的说明，尤其在求函数最值时，“=”号成立与否是很关键的。 二、重要不等式的应用: 例1设a, b, c
13、R+，求证： 分析:本题的难点在于解决。 。 不易处理，如能找出a2+b2与a+b之间的关系，问题就能 证明: a, b, cR+， a2+b22ab, 2(a2+b2) (a+b)2, , 同理: ， 例2若a, b, cR+，求证(a+b+c)4(a2+b2+c2)243a2b2c2。 分析:这类不等式可看作是“和的形式积的形式”经迭乘而成。 证明: a,b,c0， ， , 11 又 (a+b+c)4(a2+b2+c2)243a2b2c2。 例3若a2，求证，(a+b+c)4(a2+b2+c2)35(abc)2。 。 分析:两个对数的积不好处理，而和易处理，从而想到重要不等式。 证明: a
14、2, loga(a-1)0, loga(a+1)0，且 , loga(a-1)loga(a+1)1。 例4若0x0， 当且仅当5x=2-5x，即 时，原式有最大值。 例5求函数的最小值 (a0)。 解: 时，ymin=2。 (2)当a1时，令 (t)。 (1)当0a1时，y2，当且仅当 在为增函数， ，此时x=0。 综上可知，01时， 三、课外练习 。 1若-4x0, y0，则lgx+lgy的最大值为_。 12 3若lgx+lgy=1，则的最小值为_。 4已知a,b,cR+, a+b+c=1。求证：。 5某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元。并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次。
15、某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40元。要使每个学生游8次，每人最少交多少钱？ 参考答案:1.D 2. lg2 3. 2 1. 2. ，当且仅当 x=2y=2时取“=”。 3lgx+lgy=1, xy=10, 。 4. 证明: a,b,cR+, a+b+c=1。 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)。 , , ， , 5设购买x张游泳卡，活动开支为y元， 则 当且仅当x=8时取“=”号，此时每人最少交80元。 谈对均值不等式的理解和应用 均值不等式是不等式一章中最基础、应用最广
16、泛的灵活因子，它是考查素质、能力的一个窗口，是高考的热点。对均值不等式的应用可从以下三个方面着手。 1 通过特征分析，用于证不等式 1) 2) 两端的结构、数字具有如下特征： 1)次数相等； 2)项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等； 3)左和右积。 当要证的不等式具有上述特征时，考虑用均值不等式证明。 例1已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc. 分析：观察要证不等式的两端都是关于a，b，c的3次多项式，左侧6项，右侧6项，左和右积，具备均值不13 等式的特征。 证明: b2+c22bc, a0, a(b2+c2)2abc 同理，
17、b(c2+a2)2bac, c(a2+b2)2cab, 又 a，b，c不全相等， 上述三个不等式中等号不能同时成立，因此 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc。 例2. 若a，b，cR+，且a+b+c1，求证. 分析：由a，b，c R+，联想均值不等式成立的条件，并把1a+b+c代换中的“1”，要证不等式变为, 即， 亦即， 发现互为倒数，已具备均值不等式的特征。 证明：a,b,cR+, ，, , . a+b+c=1, . 说明：1)此题的证明方法采用的是综合法。用综合法证不等式即由已知不等式推证要证不等式。 2)在附加条件的变换下，要证的不等式会隐含均值不等式的部分特
18、征，显示其一个或两个特征，这时，仍可考虑用特征分析法，合理选择思路，寻找解决问题的切入点。 2 抓条件“一正、二定、三等”求最值 由均值不等式2)，推证出最值定理及其使用的前提条件：“一正、二定、三等”，求最值时，三者缺一不可。 例3. 已知x, yR+且9x+16y144，求xy的最大值。 分析：由题设一正：x, yR+，二定: 9x+16y144。求积的最大值，可考虑用均值不等式求解。 解： x, yR+ ， ， 当且仅当9x=16y，即时，(xy)max=36. 说明：本题若改为：x,yR且9x2+16y2=144，求xy的最大值呢？请同学们一试。 3 抓“当且仅当等号成立”的条件，实现
19、相等与不等的转化 在均值不等式中“当且仅当等号成立”的“当且仅当”是“充要条件”的同义词，它给出了相等与不等的界，是相等与不等转化的突破口。 例4在ABC中，若三边a，b，c满足条件(a+b+c)3=27abc，试判定三角形ABC的形状。 分析：(a+b+c)3=27abc具有三元均值不等式的结构特征，且属均值不等式的特例(取等号情形)，所以有下面解法。 解：a0, b0, c0，故有不等式a=b=c时，上式等号成立，故三角形为等边三角形。 ，即(a+b+c)327abc，当且仅当 14 例5已知x,y,z为正实数，且x+y+z=3, . 求x2+y2+z2的值。 解：由题设得。 x,y,z0
20、, , . , x2=1,y2=1, z2=1, x2+y2+z2=3. 说明：均值不等式给出了相等、不等的界，即等号成立的条件。 又如解方程：，读者不妨试解。 总之，均值不等式成立的条件，结构特征，积、和为定值，等号成立的条件，是理解应用均值不等式的认知角度。同学们要学会观察已知和未知的结构特征、数字特征，认清其区别、联系，联想相关的知识点、方法，寻找解决问题的突破口 用基本不等式求最值 求函数的最大值或最小值，在确保“各项为正”的前提下，还必须满足两点： 第一，求和的最小值时，它们的积应为定值；求积的最大值时，它们的和应为定值。 第二，使上述不等式中的等号成立时的自变量为一个确定的值，且在
21、该函数定义域内。 要满足上述两点，在运算过程中，必须对式子作适当的恒等变形，方能达到目的。本文分析用基本不等式求最值容易产生的错误，并归纳一般方法。 1常见致错原因分析 例1若x0，求的最小值。 解法1：由于，故知Pmin=1. 说明：以上解法是错误，虽说满足了“积为定值”这个条件，但使等号或立的先决条件：正确解法如下： 却不成立。 解法2： ， 。 在即时，有。 说明：以上求解中采用了“变换系数”的办法，使得“第一”， “第二”两个条件都得以满足。“变换系数”是变形中的常用方法之一。 例2已知x,yR+,且2x+y=4，求的最小值。 15 解法1：由2x+y=4，知y=4-2x，x(0,2)
22、，故， 而x(4-2x)在x=1时有最大值2，故有最小值， 所以在x=1(0,2)时，有最小值。 说明：以上解法是错误的。其一，的积不是定值；其二，要取得等号，必须，即x=y。而当x=y=1时，与条件2x+y=4相悖。 解法2.由2x+y=4,得。于是。 说明：以上解法又是错的。这里两次用到基本不等式，然而，使等号成立的条件并不相同：对于中取等号，必须与已知矛盾。 ，即y=2x；对于取等号，必须，即x=y，这便导致2x=x，得出x=0， 解法3：由2x+y=4，得， 。 。 说明：以上解法满足“第一”，“第二”两个要求，所以正确。等号在得x=2(2-)(0,2)。 ，即时成立，代入2x+y=4
23、 解法4:由2x+y=4，可令2x=4cos2,，y=4sin2，于是 ，。 16 说明：以上解法满足要求，答案正确。等号在， 2. 常见一般方法 变更系数法 ，满足2x+y=4。 即时成立，由此可得 例3. 若x1，求的最小值。 解：。 等号在即x=2(1,+)时,有。 例4边长为a的正方形铁片，在其四角剪去相等的小正方形后，折成一个方盒。问剪去的尺寸为多少时，小方盒有最大容积。 解：设剪去的小正方形边长为x，则小方盒边长为a-2x，又其高为x， 故小方盒容积为V=(a-2x)2x，而4V=4x(a-2x)2, 故当4x=a-2x,时，有。 例5若ab0，求的最小值。 解：。 说明：本题两次
24、用到基本不等式，第一次在条件2a-b=b即a=b时取等号，第二次在条件号，并不矛盾，解法正确。 取倒数或作平方 例6周长为定值时，哪种三角形面积最大？ 即a=2时取等 解：据海伦公式，三角形的面积，这里。 显然，同理p-b0,p-c0， 17 故S2=p(p-a)(p-b)(p-c), 即，等号在p-a=p-b=p-c即a=b=c时成立，即周长为定值时，等边三角形面积最大。 待定系数法 例7总长为24m的铁丝剪成若干段，焊成一个长方体容器的框架。若底面长方形邻边之比为32，试问长方体的高为多少时，其容积有最大值。 分析：设底面长方形较长的一边为x，则其邻边长为，设长方体高为y，则有，即，故知x
25、(0,3.6)为函数的定义域。 虽说为定值，但使等式成立的x却不存在，为此，需采用其他办法。 解法1：由于，所以 故得，等号在时成立，即x=2.4(0,3.6)，这时。 说明：以上解法仍是“变更系数法”，问题是处的变形很难想到，是否有别的方法呢？ 解法2 对于，取待定系数m，使。 要使，即为定值，必须， 。于是。 。等号在，即x=2.4(0,3,6)时成立，这时. 说明：较之解法1，技巧性降低了，也就比较容易入手，解法2的方法就是最简单的待定系数法。用待定系数法目的，就是为了本文开头提到的“第一”，“第二”两个条件得以实现，在构成积的三个因式中有两个相同，另一个18 不相等，总可以用变更系数法
26、或待定系数法来处理。 例8若x0，求V=x(x+0.5)(3.2-2x)的最大值。 解：取待定系数m, n使 mnV=x(mx+0.5m)(3.2n-2nx) 要使 x+(mx+0.5m)+(3.2n-2nx)即0.5m+3.2n+(1+m-2n)x为 定值，必须1+m-2n=0(*) 由x=mx+0.5m=3.2n-2nx得。 代入(*)整理得3x2-2.2x-0.8=0，解得x=1及，当x=1时， 于是即当x=1时，。 另解：取待定系数m,n使mnV=mx(nx+0.5n)(3.2-2x). 要使mx+(nx+0.5n)+(3.2-2x)即0.5n+3.2+(m+n-2)x为定值，必m+n
27、-2=0(*). 而由mx=nx+0.5n=3.2-2x，即得。 代入(*)整理得3x2-2.2x-0.8=0 说明：本例中构成积的三个因式互不相同，为确保“第一”，“第二”两个条件得以实现，用待定系数法求解时，需用两个待定系数。这两个系数如何配置，结果总为一样，惟繁简不同而已 1已知i,m,n是正整数，且1imn。 (I)证明ni(1+n)m。 本题考察排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力. 证明：(I) 对于1im，有=m(m-i+1), , 同理 , 由于mni。 (1+m)n=mi, (1+n)m=ni, 由(I)知mini (1imni (1im0 (m(1+n)m
28、. 19 2. ab1, P=, Q=(lga+lgb), R=lg，则。 A、RPQ B、PQR C、QPR D、PRb1, lgalgb0, lga+lgb2, 即(lga+lgb), 故QP, 又由得lglg, 即lg(lga+lgb)。故RQ，从而选B。 注意：本题也可用特殊值法来判定，如取a=100, b=10，很容易选B。解这类题要善于利用特例法求解，利用均值不等式和函数单调性比较大小，是比较大小常用的方法。 3已知a,b,c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b, 当-1x1时，|f(x)|1. (1)证明：|c|1； (2)证明：-1x1时，|g(x)|2
29、； (3)设a0,当 -1x1时，g(x)的最大值为2，求f(x)。 精析：(1)由条件-1x1, |f(x)|1, 取x=0，得|c|=|f(0)|1,即|c|1. (2)由于g(x)=ax+b中含有字母未知数a，因而用分类讨论，结合函数g(x)的单调性来证明。 当a0时，g(x)=ax+b，在-1,1上是增函数， g(-1)g(x)g(1), |f(x)|1 (-1x1), |c|1, g(1)=a+b=f(1)-c|f(1)|+|c|2. g(-1)=-a+b=-f(-1)+c-(|f(-1)|+|c|)-2, 由此 得|g(x)|2, 当a0, g(x)在-1，1上是增函数，当x=1时
30、取得最大值2， 即g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2, -1f(0)=f(1)-21-2=-1, c=f(0)=-1, 当-1x1时，f(x)-1, 即f(x)f(0), 根据二次函数性质，直线x=0为二次函数f(x)的图像的对称轴， 故有-=0，那么b=0,a=2. f(x)=2x2-1。 注意：本题综合性较强。前两问考查绝对值不等式的证明，第三问求函数的表达式，技巧性较高。要求考生会灵活应用绝对值不等式的性质及函数的单调性，并会进行合理的分类讨论。 注：在高考中单纯的不等式证明题比较少，多数是和应用题等其它知识结合在一起考察的。 用基本不等式求最值 运用基本不等式求最值是高中阶段一种
31、常用的方法，其约束条件苛刻，情况复杂，现就如何用基本不等式求最值作一分析 一、 注意基本定理应满足的条件 20 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的功能，但一 定要注意应用的前提：“一正”、“二定”、“三相等”所谓“一正”是指“正数”，“二定”指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件 例1 已知0x1，求y=lgx+4的最大值 lgx分析：本题满足lgx4=4为定值，但因为0x1，lgx0，所以此时不能直接 lgx应用基本不等式，需将负数转化为正数后再使用基本不等式 解：40x1，lgx0-y=(-lgx)+-24=4，即y-4 lgx4
32、1，即x=时等号成立，故ymax=-4 100lgx当且仅当-lgx=-二、 连用基本不等式要注意成立的条件要一致 有些题目要多次用基本不等式才能求出最后结果，针对这种情况，连续使用此定理要切记等号成立的条件要一致 11+y+例2 若x，y是正数，则x+的最小值是 2y2x3 227 224 29 4111111+y+解析：由题意x+2x+y+=2xy+14xy+2=4， 2y2x2y2x4xy4xy“”成立的条件，x+111=y+，x2y2=两者不矛盾，故“”能成立，答案选 2y2x4三、 基本不等式“失效”时的对策 有些题目，直接用基本不等式求最值，并不满足应用条件，但可以通过添项，分离常
33、数， 平方等手段使之能运用基本不等式，下面我们来看几种经常用到的方法 1 添项 例3 求函数y=1+x(x3)的最小值 x-3解：11x3，x-30y=+x-3+32(x-3)+3=5 x-3x-31=x-3，即x=4时，取等号，当x=4时，函数y的最小值为5 x-32 分离常数 当且仅当x2-4x+55例4 已知x，则f(x)=有 22x-4最大值5 2 最小值5 4 最大值1 最小值1 分析：本题看似无法使用基本不等式，但对函数式进行分离，便可创造出使用基本不等 21 式的条件 x2-4x+5(x-2)2+111解：y=(x-2)+1 2x-42(x-2)2x-2当且仅当x-2=1，即x=3时等号成立故选 x-23 平方 例5 已知q为锐角，求y=cos2qsinq的最大值 分析：本题直接使用基本不等式比较困难，但平方以后就满足了使用基本不等式的条件 24sin2q=cos2qcos2q2sin2q 解：y=cosq121cos2q+cos2q+2sin2q423=，即 y2327922当且仅当cosq=2sinq，即q=arcsin3323时等号成立故ymax= 3922
