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1、判别一个函数 f(x)在a,b上是否可积,就是判别极限 是否存在.在实际应用中，直接按定义来判定是困难的.我们希望由函数本身的性质（例如函数的有界性、连续性等）来判别函数的可积性.为此,先给出可积准则,并以此证明有界性是可积的必要条件而非充分条件,连续性是可积的充分条件而非必要条件.,数学分析 第九章定积分,若函数 在 上可积，则 在 上必有界.,证 设,由定义,对,于是,后退 前进 目录 退出,于是,矛盾.,证 若 D(x)在 a,b 上可积,则,于是,而这与,所以,=b-a 相矛盾,称为 f 关于分割 T 的上和,称为 f 关于分割 T 的下和,对任意分割,其中,其中,函数 f 在a,b上
2、可积的充要条件是：,振幅反映了函数在区间内的变化范围,是一个与连,续性相关联的概念.,常见的有三种方法,下面分别作出介绍.,每个,从而,第一种方法:,此定理将在本章第六节定理 9.15 中证明.在用它,证明可积性问题时,有多种方法可使,从而,因此当,从而在a,b上一致连续.,证,于,第二种方法:,于是,因此,若,则对任意分割,第三种方法:,于是,此时可用第三种方法证明 f 可积.,f 在 a,b 上可积.,使,则存在分割,上可积,且,例2 证明黎曼函数,证,只有有限多个,分割,使,的小区间至多有,的有理数,设它们为,2k 个,记为,从而,因此这些小区间长度之和为,1.f(x)为 a,b 上的有界函数,其不连续点的集合,证明 f 在a,b上可积.,试问 f 在 a,b 上是否一定不可积？,a,b 中稠密,即,为 E0.若,
