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1、中考压轴题之因动点产生的直角三角形问题精品解析 中考压轴题之精品解析 中考压轴题之精品解析 如图1，抛物线y=123，与y轴x-x-4与x轴交于A、B两点42交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q 求点A、B、C的坐标； 当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由； 当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由
2、图1 思路点拨 1第题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQDC列方程 2第题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论 3第题BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形 满分解答 1231x-x-4=(x+2)(x-8)，得A(2,0)，B(8,0)，C(0,4) 4241直线DB的解析式为y=-x+4 2113由点P的坐标为(m, 0)，可得M(m,-m-4)，Q(m,m2-m-4) 2421131所以MQ(-m+4)-(m2-m-4)=-m2+m+8 2424由y=当MQDC8时，四边形CQMD是
3、平行四边形 1 中考压轴题之精品解析 解方程-m2+m+8=8，得m4，或m0 此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,2)，Q(4,6) 所以MNNQ4所以BC与MQ互相平分 所以四边形CQBM是平行四边形 14图2 图3 存在两个符合题意的点Q，分别是(2,0)，(6,4) 考点伸展 第题可以这样解：设点Q的坐标为(x,(x+2)(x-8) 141-(x+2)(x-8)QGBH11如图3，当DBQ90时， =所以4= GBHD28-x2解得x6此时Q(6,4) 14-(x+2)(x-8)QGDH4如图4，当BDQ90时， =2所以=2 GDHB-x解得x2此时Q(2,0) 图3 图4
4、 2 中考压轴题之精品解析 33如图1，抛物线y=-x2-x+3与x轴交于A、B两点，与y轴84交于点C 求点A、B的坐标； 设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点D的坐标； 若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式 图1 思路点拨 1根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个 2当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合AMB90的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合AMB90的点M只有1个 3灵活应用相似比解题比较简便 满分解答 333由y=
5、-x2-x+3=-(x+4)(x-2)， 848得抛物线与x轴的交点坐标为A(4, 0)、B(2, 0)对称轴是直线x1 ACD与ACB有公共的底边AC，当ACD的面积等于ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等 过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D 设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H DGCO3= BGAO4399所以DG=BG=，点D的坐标为(1,-) 444因为AC/BD，AGBG，所以HGDG 2727而DHDH，所以DG3DG=所以D的坐标为(1,) 44由BD/AC，得DBGCAO所以3 中考压轴题之精品解析 图2 图3 过点A、
6、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M 以AB为直径的G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了 联结GM，那么GMl 在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4 M1A3=，所以M1A6 AE43所以点M1的坐标为(4, 6)，过M1、E的直线l为y=-x+3 43根据对称性，直线l还可以是y=x+3 4在RtEM1A中，AE8，tanM1EA=考点伸展 第题中的直线l恰好经过点C，因此可以过点C、E求直线l的解析式 在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4 在RtECO中，CO3，EO4，所以CE5 因此三角形EGMECO，GEMC
7、EO所以直线CM过点C 4 中考压轴题之精品解析 在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数yk(x2x1)的图象交于点A(1,k)和点B(1,k) 当k2时，求反比例函数的解析式； 要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围； 设二次函数的图象的顶点为Q，当ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值 思路点拨 1由点A(1,k)或点B(1,k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是y=k题目x中的k都是一致的 2由点A(1,k)或点B(1,k)的坐标还可以知道，A、B关于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是O 3根据直径所对的圆周角是直角，当Q落在O上是
8、，ABQ是以AB为直径的直角三角形 满分解答 因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是y=k x2当k2时，反比例函数的解析式是y=- xk在反比例函数y=中，如果y随x增大而增大，x那么k0 当k0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大 15抛物线yk(x2x1)k(x+)2-k的对称轴是直241线x=- 图1 21所以当k0且x1以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成ABC，设AB=x 求x的取值范围； 若ABC为直角三角形，求x的值； 探究：ABC的最大面积？ 图1 思路点拨 1根据三角形的两边之和大于第三边
9、，两边之差小于第三边列关于x的不等式组，可以求得x的取值范围 2分类讨论直角三角形ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性 3把ABC的面积S的问题，转化为S2的问题AB边上的高CD要根据位置关系分类讨论，分CD在三角形内部和外部两种情况 满分解答 在ABC中，AC=1，AB=x，BC=3-x，所以1+x3-x, 解得1xx.若AC为斜边，则1=x2+(3-x)2，即x2-3x+4=0，此方程无实根 若AB为斜边，则x2=(3-x)2+1，解得x=若BC为斜边，则(3-x)2=1+x2，解得x=因此当x=5，满足1x2 34，满足1x2 354或x=时，ABC是直角三角形
10、 331xh 2在ABC中，作CDAB于D，设CD=h，ABC的面积为S，则S=如图2，若点D在线段AB上，则1-h2+(3-x)2-h2=x移项，得(3-x)2-h2=x-1-h2两边平方，得(3-x)2-h2=x2-2x1-h2+1-h2整理， 10 中考压轴题之精品解析 得x1-h2=3x-4两边平方，得x2(1-h2)=9x2-24x+16整理，得x2h2=-8x2+24x-16 所以S2=412231 xh=-2x2+6x-4=-2(x-)2+4223当x=4231时，S2取最大值，从而S取最大值 2223图2 图3 如图3，若点D在线段MA上，则(3-x)2-h2-1-h2=x 同
11、理可得，S2=易知此时S412231 xh=-2x2+6x-4=-2(x-)2+42232 22 2综合得，ABC的最大面积为考点伸展 第题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设AD=a， 2222例如在图2中，由AC-AD=BC-BD列方程1-a=(3-x)-(x-a) 222整理，得a=3x-4所以 x-8x2+24x-163x-41-a=1- =2xx22因此 S2=12x(1-a2)=-2x2+6x-4 4如图1，直线y=-4 x+4和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是311 中考压轴题之精品解析 试说明ABC是等腰三角形； 动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点
12、N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设M运动t秒时，MON的面积为S 求S与t的函数关系式； 设点M在线段OB上运动时，是否存在S4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由； 在运动过程中，当MON为直角三角形时，求t的值 图1 思路点拨 1第题说明ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点 2不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论 3将S4代入对应的函数解析式，解关于t的方程 4分类讨论MON为直角三角形，不存在ONM90的可能 满
13、分解答 4x+4与x轴的交点为B、与y轴的交点CRtBOC3中，OB3，OC4，所以BC5点A的坐标是，所以BA5因此BCBA，所以ABC是等腰三角形 直线y=-如图2，图3，过点N作NHAB，垂足为H在RtBNH中，BNt，sinB=所以NH=4，54t 511424S=OMNH=(2-t)t=-t2+t定义域为0t2 22555如图2，当M在AO上时，OM2t，此时 如图3，当M在OB上时，OMt2，此时 11424S=OMNH=(t-2)t=t2-t定义域为2t5 22555 12 中考压轴题之精品解析 图2 图3 把S4代入S=22424t-t，得t2-t=4解得t1=2+11，t2=
14、2-11因此，当点M在线段OB上运动时，存在S4的情形，此时t=2+11 如图4，当OMN90时，在RtBNM中，BNt，BM =5-t，cosB=以3，所55-t325 =解得t=t58如图5，当OMN90时，N与C重合，t=5不存在ONM90的可能 所以，当t=25或者t=5时，MON为直角三角形 8图4 图5 考点伸展 在本题情景下，如果MON的边与AC平行，求t的值 如图6，当ON/AC时，t3；如图7，当MN/AC时，t2.5 图6 图7 13 中考压轴题之精品解析 如图1，直线y=-4 x+4和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是3试说明ABC是等腰三角形； 动点M从A出发沿
15、x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设M运动t秒时，MON的面积为S 求S与t的函数关系式； 设点M在线段OB上运动时，是否存在S4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由； 在运动过程中，当MON为直角三角形时，求t的值 图1 思路点拨 1第题说明ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点 2不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论 3将S4代入对应的函数解析式，解关于t的方程 4分类讨论MON为直角三角形，不
16、存在ONM90的可能 满分解答 4x+4与x轴的交点为B、与y轴的交点C 3RtBOC中，OB3，OC4，所以BC5点A的坐标是，所以BA5 因此BCBA，所以ABC是等腰三角形 如图2，图3，过点N作NHAB，垂足为H 直线y=-在RtBNH中，BNt，sinB=44，所以NH=t 55如图2，当M在AO上时，OM2t，此时 11424S=OMNH=(2-t)t=-t2+t定义域为0t2 2255514 中考压轴题之精品解析 如图3，当M在OB上时，OMt2，此时 11424S=OMNH=(t-2)t=t2-t定义域为2t5 22555图2 图3 把S4代入S=22424t-t，得t2-t=4 5555解得t1=2+11，t2=2-11 因此，当点M在线段OB上运动时，存在S4的情形，此时t=2+11 如图4，当OMN90时，在RtBNM中，BNt，BM =5-t，cosB=所以3， 55-t325 =解得t=t5825或者t=5时，MON为直角三角形 8如图5，当OMN90时，N与C重合，t=5不存在ONM90的可能 所以，当t=图4 图5 考点伸展 在本题情景下，如果MON的边与AC平行，求t的值 如图6，当ON/AC时，t3；如图7，当MN/AC时，t2.5 图6 图7 15
