中考数学综合题专题复习圆专题解析.docx

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1、中考数学综合题专题复习圆专题解析数学专题之精品解析 中考数学综合题专题复习专题解析 一. 教学内容： 1. 圆的内容包括：圆的有关概念和基本性质，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆。 2. 主要定理： 垂径定理及其推论。 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。 圆周角定理、弦切角定理及其推论。 圆内接四边形的性质定理及其推论。 切线的性质及判定。 切线长定理。 相交弦、切割线、割线定理。 两圆连心线的性质，两圆的公切线性质。 圆周长、弧长；圆、扇形，弓形面积。 圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。 正n边形的有关计算。 二. 中考聚焦： 圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如

2、下表： 内容 所占分数百分比 圆的有关性质 5%15% 直线和圆的位置关系 8%16% 圆与圆的位置关系 3%12% 正多边形和圆 2%8% 圆的知识在中考中所占的比例大，题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题，中考的压轴题都综合了圆的知识。 三. 知识框图： 圆的有关性质直线和圆的位置关系 圆 圆和圆的位置关系正多边形和圆 1 数学专题之精品解析 点和圆的位置关系圆的定义不在同一直线上的三点确定一个圆轴对称性垂径定理 圆的有关性质圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 圆心角定理圆的有关性质旋转不变性圆周角定理圆内接四边形相离相交切线的性质

3、 直线和圆的位置关系 切线的判定相切弦切角和圆有关的比例线段外离内含 圆和圆的位置关系相交 内切相切外切两圆的公切线正多边形定义正多边形和圆正多边形和圆正多边形的判定及性质正多边形的有关计算 正多边形和圆 圆周长、弧长圆的有关计算圆、扇形、弓形面积圆柱、圆锥侧面展开图 . 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？ 分析：爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示： 2 数学专题之精品解析 安 O 120m 全区 爆破中心 域 解：Q导火索燃烧的

4、时间为18=20(s) 0.9 相同时间内，人跑的路程为2065.=130(m) 人跑的路程130m120m 点导火索的人非常安全 . 已知梯形ABCD内接于O，ABCD，O的半径为4，AB6，CD2，求梯形ABCD的面积。 分析：要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB、CD间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理，故作OECD于E，延长EO交AB于F，证OFAB。 此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论。 解：分两种情况讨论： 当弦AB、CD分别在圆心O的两侧时，如图： 过O作OECD于E，延长EO交AB于F 连OC、OB，则CEDE ABCD，OECD OFAB

5、，即EF为梯形ABCD的高 在RtOEC中，EC1，OC4 OE=OC2-EC2=42-12=15 7 同理，OF= EF=OE+OF=15+7 S梯形ABCD=1(2+6)15+7=415+7=415+47 2()() 当弦AB、CD在圆心O的同侧时，如图： 3 数学专题之精品解析 过O作OECD于E，交AB于F 以下证法同，略。 EF=15-7 )( 梯形ABCD的面积为4(15+7)或4( S梯形ABCD=1(2+6)15-7=415-7=415-47 2()15-7 ) . 如图，已知AB为O的直径，P是OB的中点，求tanCtanD的值。 分析：为了求tanCtanD的值，需要分别构

6、造出含有C和D的两个直角三角形。而AB是直径，为我们寻找直角创造了条件。连BC、BD，则得到RtACB和RtADB。可以发现ACDABD，ADCABC，于是，可以把tanCtanD转化为 tanABDtanABC=ADACADAC=，则可求。 BDBCBDBC 解：连结BC、BD AB是O的直径，ACBADB90 ACDABD，ADCABC tanCtanD=tanABDtanABC= 作AECD于E，作BFCD于F 则AECADB ADACADAC= BDBCBDBCACAB =AEAD ACADAEAB 同理，BDBCBFAB 4 数学专题之精品解析 tanCtanD= APEBPF AE

7、ABAE =BFABBFAEAP =BFBPAP3AE=，=3 BP1BF P为半径OB的中点 tanCtanD3 . 如图，ABC是等边三角形，D是BC上任一点，求证：DB+DC=DA 分析：由已知条件，等边ABC可得60角，根据圆的性质，可得ADB60，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC。 证明：延长DB至点E，使BEDC，连结AE ABC是等边三角形 ACBABC60，ABAC ADBACB60 四边形ABDC是圆内接四边形 ABEACD 在AEB和ADC中， BE=CD ABE=ACD AB=AC DAEBDADC AEAD ADB60 AE

8、D是等边三角形 ADDEDBBE BEDC DBDCDA 说明：本例也可以用其他方法证明。如： 延长DC至F，使CFBD，连结AF，再证ACFABD，得出ADDF，从而DBCDDA。 5 数学专题之精品解析 在DA上截取DGDC，连结CG，再证BDCAGC，得出BDAG，从而DBCDDA。 . 如图，已知四边形ABCD内接于O，AB是直径，ADDC，分别延长BA、CD交于点E，BFEC交EC的延长线于F，若EAAO，BC12，求CF的长。 分析：在RtCFB中，已知BC12，求CF，故可寻找与之相似的直角三角形，列比例式求解。 解：连结OD，BD QAD=DC，AD=DC ABCAOD ODB

9、C ODEO =BCEBOD2=，OD=8 123 EAAO，EAAOBO QBC=12， AB16，BE24 四边形ABCD内接于O EDAEBC E是公共角 EDAEBC ADEAED =BCECEB 设ADDCx，EDy，则有 xy8 =1224x+y 解方程组，得：x=42 AD=42 AB为O的直径 ADBF90 又DABFCB RtADBRtCFB 6 数学专题之精品解析 ADAB4216=，即= CFBCCF12 CF=32 说明：与圆有关的问题，大都与相似三角形联系在一起。 此题运用了两次相似三角形，找到线段之间的关系，并且运用了方程的思想解几何问题，这是解几何问题的一种重要方

10、法。 . 如图，已知等腰ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别交AC、BC于点F、D，过D作O的切线交FC于E，若AF7，cosB=3，求CE的长。 5 解：连结FD AB是直径，ADBC ABAC，BDDC，FADDAB 四边形ABDF是圆内接四边形 CFDB C是公共角 ABCDFC CDDF =ACAB ABAC CDDF DE切O于D FADEDF 又CDEEDFFADDAB CDEDAB CDEEDF CDFD CEEF，DECF 3，B=C 53 cosC= 5 QcosB=7 数学专题之精品解析 在RtDACD中，cosC= 设CD3x，AC5x 在RtDCDE中，cosC=C

11、D3= AC5EC3EC ，即=CD53x9x 5 QAC=AF+2CE 18 5x=7+x 5 x=5 EC= EC9 . 如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边。求两圆相交弧间阴影部分的面积。 解：公共弦AB120 a4=R6=120 a222 r6=R6-4=120-60=603 2 O1=60，a4=120，R4=o22AB=602 22a2 r4=R4-4=22(602)-602=60，O2=90o QS弓形AmB=S扇形AO2B-SDAO2B90pR214=-a4r4=1800p-3600 3602 S弓形AnB=S扇形AO1B-S

12、DAO1B60pR216=-a6r6=2400p-36003 3602 S阴影=S弓形AmB+S弓形AnB=4200p-36001+(3 ) 两圆相交弧间阴影部分的面积为4200p-36001+3cm 8 ()2数学专题之精品解析 .一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟。打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图所示。经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm。 试计算烟盒顶盖ABCD的面积。 制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张 解题点拨：四边形ABCD中，AD长为7支香烟的直径之和，易求；求AB长，只要计算出如图中的O1E长即可。 解：如图，作O1EO2O3 Q

13、O1O2=O2O3=O3O1=0.75= O1E=3 43333= 42833333+3+=(cm) 843 AB=2 AD=7321=(cm) 44 四边形ABCD的面积是： 2133+3633+63=(cm)2 4416 制作一个烟盒至少需要纸张： 633+6333+3212+8.4+8.4=144.096144.1(cm) 216449 数学专题之精品解析 . 在直径为20cm的圆中，有一弦长为16cm，求它所对的弓形的高。 解：一小于直径的弦所对的弓形有两个：劣弧弓形与优弧弓形。 H A B C O G 如图，HG为O的直径，且HGAB，AB16cm，HG20cm OH=10cm，BC

14、= OC=1AB=8cm 2OB2-BC2=102-82=6cm CH=OH-OC=10-6=4cm CG=OC+OG=6+10=16cm 故所求弓形的高为4cm或16cm 直径AB=2cm，过A点有两条弦AC=2cm，AD=3cm，.O的 求：CAD所夹圆内部分的面积。 解：符合题设条件的图形有两种情况： 圆心O在CAD的内部，如图，连结OC、OD，过O作OEAD于点E QOA=OC=1，AC= OCAB S1=SDAOC+S扇形BOC= QOA=1，AE=2 1901p1p11+=+ 23602413AD= 2223112 OE=1-=，即OE=OA 222 10 数学专题之精品解析 S2

15、=SDAOD+S扇形BOD=11601p3p3+=+ 2236046 S=S1+S2=1p3p2+35p2+=+cm 2446412 圆心O在DAC的外部时，如图，有： 1p3p2-3p2-=+cm S=S1-S2=+-2446412 CAD所夹圆的内部的面积为：2+35p22-3p2+cm或+cm 121244o. 已知圆O中，AB、CD为两条弦，AC的度数为130，BD的度数为90o, M、N分别为AB、CD的中点，求MON的度数。 分析：由已知条件可知AB、CD弦的位置不确定，所以要分多种情况讨论，可分为四种情况。 解：当AB、CD不相交时，且AB、CD在圆心的两侧，如图连结OD、OB。

16、 M、N分别是弦AB、CD的中点，OD、OB过圆心O OM、ON的延长线平分AB、CD 11mm BOMAB，DON=CD 221m BOM+DON(AB+CD) 2 QAC的度数为130，BD的度数为90 CD+AB的度数为360-130-90=140 BOM+DON=70 m QBODBD=90 MON=90+70=160 11 数学专题之精品解析 图 当AB、CD不相交，且在圆心O的同侧时，如图，连结OB、OC 11mm 同理可证，BOMAB，CONCD 2211m 而MON=BOM-CON-BOCAD-CD-BC 221 =(AD+DC+BC-DC)-BC 211 =(AC-BD)=(

17、130-90)=20 22图 当AB、CD相交于点P，且圆心O在DPA的内部时，如图，DPA是圆内角， 1m1 则DPA(AD+BC)=(360-AC-BD)=70 22 QOMP=ONP=90MON=180-70=110 图 当AB、CD相交于点P，且圆心O在DPA的外部时，如图 11m QDPA(AD+BC)=(AC-BD)=20，又ONP=90 22 NQP=MQO=90-20=70，MON=20 综上所述，MON的度数为20或110或160。 12 数学专题之精品解析 图 .已知：如图，圆心A，圆A与x轴相切，圆B的圆心B在x正半轴上，且圆B与圆A外切于点P。两圆内公切线MP交y轴于点

18、M，交x轴于点N：求证AOBNPB；设圆A半径为r1，圆B半径为r2，若r1：r23：2，求点M、N的坐标及公切线MP的函数解析式；设点B，点B关于y轴的对称点B，若x1x2-6，求过B、A、B三点的抛物线解析式；若圆A的位置大小不变，圆心B在x正半轴上移动，并始终有圆B与圆A外切，过点M作圆B的切线MC，C为切点，MC33时，B点在x轴的什么位置？从你的解答中能获得什么猜想？ 解：QAOx轴，MPAB，ABO=NBP， DAOBDNPB QA(0，-3)，OA=AP=3 : 又Qr1:r2=AP:PB=32 PB=2，AB=5，BO= Q52-32=4 ABBO =NBBPABBP525 N

19、B= BO4253 ON=4-= 223 点N的坐标为 2 由RtDAPMRtDAOB 13 数学专题之精品解析 AM=AB=5，点M的坐标为 设直线MP的解析式为ykxb， 42=k0+b，k=-，解得 则有 330=k+b，2b=2， MP的函数解析式为y=-24x+2 3 设抛物线为yaxbxc 2 令y0，则有axbxc0 B与B关于y轴对称， x1x20，即b0， 又点A，C=-3 x1x2= a=c-3=-=-6 aa1 212x-3 2 抛物线的解析式为y= MCMP 可证APMAOB MC=MP=BO=33 点B的坐标为 猜想：圆心B在x轴的正半轴上任一位置时，都有切线MP的长

20、等于点B的横坐标或四边形MOBC是长方形。 一. 选择题： 1. 已知AB是O的直径，半径EOAB于O，弦CDEO于F点，若CDB120，则CD的度数为 A. 10 B. 15 C. 30 D. 60 2. 如图，已知O中，M是弦CD的中点，N为弦AB的中点，并且AC、BD的度数为130、90，则MON的度数为 A. 70 B. 90 C. 130 D. 160 14 数学专题之精品解析 C M D B O N A 3. 已知ABC中，a、b、c是A、B、C的对边，若r是内切圆半径，则ABC的面积可以表示为 A. 1 (a+b+c)r 4B. 1(a+b+c)r 2 C. (a+b+c)r D

21、. 2(a+b+c)r 222 4. 已知两圆的半径分别为R、r，且圆心距为d，若R+d-r=2Rd，则这两圆的位置关系为 A. 外离或外切 C. 外切或内切 B. 相交或内切 D. 内切或内含 5. 已知正多边形的边长为a与外接圆半径R之间满足1a2，则这个多边形是R A. 正三边形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 6. 已知正方形ABCD边长为5，剪去四个角后成正八边形，则正八边形的边长为 A. 二. 填空题： 7. 已知ABC，C90，B28，以C为圆心，以CA为半径的圆交AB于D，则AD的度数为_。 52 2B. 52 2 C. 52(2-1 )D. 5(2-1 ) 8

22、. 已知ABC内接于O，F、E是AB的三分之一点，若AFE130，则C_度。 9. 已知PA切O于A，APO30，若PA=123，OP交于O于C，则PC_。 10. 两圆半径之比为2：1，大圆内接正六边形与小圆外切正六边形的面积比为_。 15 数学专题之精品解析 三. 求解下列各题： 11. 已知AB是O的直径，弦CDAB于E，若弦CD把O分为2：1的两部分，且CD=43，求O的直径及AE长。 12. 已知等边ABC内接于O，E是BC上一点，AE交BC于D，若BD：DC2：1，且AB6，求DE长。 13. 如图所示，AB是O的弦，EF切O于B，ACEF于C。 求证：AB=2ACAO 2四. 解

23、答题： 14. 如图所示，AB切O于B，AE过O点交O于E、C，过C作O切线交AB于D，若AD=2BD。 求证：AE=3AB 15. 如图所示，ABC中，A90，O是BC上一点，以O为圆心的圆切AB、AC于D、E，若AB3，AC4，求阴影部分的面积。 16. 如图所示，O与O交于A、B，过A点任意作两圆的割线CAD，若连结CB、DB，问16 数学专题之精品解析 因割线CAD的位置不确定，CBD的大小是否改变？ 五. 解答题： 17. 如图所示，PA切O于A，PO交O于B、C，若AC=CE，AE交BC于D，且BEA30，DB1，求AP及PB长。 18. 已知一块直径为30cm的圆形铁板，已经截去

24、直径分别为20cm，10cm的圆形铁板各一块。现在剩余的铁板中再截出两块同样大小的圆形，问这两个圆形的最大半径是多少？ 17 数学专题之精品解析 参考答案 一. 选择题。 1. D 2. D 3. B 提示：设ABC的内切圆的圆心为O 连结OA、OB、OC，则ABC可分割成三个三角形：ABO，BCO，ACO 则SDABC=SDABO+SDBCO+SDACO 111ar+br+cr2221=(a+b+c)r2= 应选B 4. C 提示：依题意，有：R-2Rd+d-r=0 (R-d)-r=0 22222 (R-d+r)(R-d-r)=0 所以，R-d+r=0或R-d-r=0 即R+r=d，或R-r

25、=d 两圆内切或外切 5. C 提示：正多边形的边数越多，则边长越小，而有Ra 因为a6=R，a4=2R 2R，所以a6aa4 则a6a5a4，是正五边形，应选C。 6. D 提示：如图所示，所截的四个角是全等的等腰三角形，且GEEFFH 18 数学专题之精品解析 A E F D G H B C 设EFx，则根据勾股定理，AE=DF= 则有AD=AE+EF+FD 即x+22x 22x=5 2 x=52+1=52-1 () 应选D 二. 填空题。 7. 56 8. 75或105 提示：如图所示： AFE130，ABE的度数为260 则AE的度数为360-260=100 F、E是AFB的三分之一点

26、 oooAF=FE=EBAF=FE=EB=50o 19 数学专题之精品解析 C 9. 12 10. 3：1 如图所示，设大圆与小圆的半径为2r和r 则大圆内接正六边形的边长为2r，小圆外切正六边形的边长为 因为这两个正六边形相似，所以面积比等于边长比的平方 mAFB=150o或C=105o 23r 3232 即(2r)：r=3：1 32三. 求解下列各题： 11. 解：如图，分两种情况：点E在OA上；点E在OB上 直径AB弦CD于E，CD=43 根据垂径定理，有：CE=ED=23 A、B分别为CAD和CBD的中点 CD把O分成2：1两部分 CD的度数为120，CBD的度数为240 20 数学专

27、题之精品解析 1m1AC=60o=30o 连结BC，则B22 在RtDBCE中，BE=cot30CE=o323=6 QCE2=AEEB23CE AE=EB6AB=AE+EB=82()2=2 当点E在OB上时，AE6 直径为8，AE6或2 12. 解法一：如图，ABC是等边三角形，AB6 图 BCABAC6，BACB60 BD：DC2：1 BD4，CD2 ADDEBDCD8 连结CE，BE60 ACBE CAD是公共角 ACDAEC AC=ADAE=36=AD(AD+DE)=AD+ADDE 22AD2=28，AD=27BDCD847 DE=AD727 解法二：如图，过A作AGBC于G 21 数学

28、专题之精品解析 图 ABC是等边三角形，BC6 CGGB3 由解法一得：CD2，BD4 DG1 在RtDAGB中，AG= 在RtDADG中，AD= 根据相交弦定理，有： DEAD=CDBD DE=AB2-BG2=62-32=33 AG+DG=22(33)2+12=27 CDBD2847= AD727 13. 证明一：延长AD交O于D，连结BD，如图 AD是直径，ABD90，2AOAD EF切O于B 1D ACEF于C CABD90 22 数学专题之精品解析 ABCADB ACAB =ABAD 即AB2=ACAD=2ACAO 证明二：延长AC至M，使CMAC，连结BM、OB 图 BCAC，ACC

29、M MBAB M2 OAOB 34 EF切O于B OBEF ACOB 23 234M MBAB=，MBA=BOAOBOADMBADBOAQABAM=AOABAB2=AMAO=2ACAO四. 解答题。 14. 证明：如图，依题意，设BDx，则AD2x 23 数学专题之精品解析 AB、CD切O于B、C点 BDCDx，OCCD ACD90 AC=AD2-CD2=(2x)2-x2=3x AB是切线，ACE是割线 AB=ACAE 即(3x)=223x(3x+CE )CE=23x AE=AC+CE=33xQAB=3x，AE=3AB 15. 解：如图，连结OD，OE AB、AC切O于D、E ODAB，OEA

30、C，ADAE A90 四边形ADOE是正方形 DOE90 设ADOEx DEAD，AB3，AC4 24 数学专题之精品解析 OEECAC-AE=ABACAC x4-x=34 解得：x=12 7 S阴影=S正方形ADOE-S扇形DOE 1290p2712=- 7 360144-36p=49 16. 解：大小不改变 2 C所对的弧为AmB D所对的弧为AnB C、D的度数不变 在BCD中，B=180-C-D不变 五. 解答题。 17. 解：如图，连结AB o AC=CE，BC是直径 根据垂径定理的推论，可知： 25 数学专题之精品解析 ADBC，ADDE，AB=BE BEA30 DABEBAP30

31、 在RtDADB，BD=1 AB=2BD=2，AD= ADBC，BC为直径 AD=BDCD，即2AB2-BD2=3 (3)2=1CD CD=3BC=4QDAP=60o，ADP=90o AP=AD3=231cos60o2QP=30o=BAPPB=AB=2AP=23，PB=2 18. 解：如图： 图 依题意有： O1的直径为10cm，则半径为5cm O2的直径为20cm，则半径为10cm O的直径为30cm，则半径为15cm 设O与O1，O2，O3相切，半径为r 延长OO3交O于B，则： 26 数学专题之精品解析 OO3=15-r，OO1=15-5=10，OO2=15-10=5O1O3=5+r，O

32、2O3=10+r，O1O2=10+5=15 则此题转化为解三角形问题，如图： 图 设O1A=a，则OA=OO1-O1A=10-a O2A=5+OA=15-a 在RtDO1AO3和RtDOAO3中，有： O1O3-O1A=O3O-OA 在RtDO1AO3和RtDO2AO3中，有： O1O3-O1A=O2O3-O2A 2222r+5-a=15-r-10-a()()() 2222(r+5)-a=(r+10)-(15-a)22222222 整理得： 22r+5=15-r-100+20a()() 22r+5=r+10-225+30a()() 3-2得：140r=600 r=30 730cm。 7 答：这两个圆形的最大半径是 27