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1、中职数学基础知识汇总职教高考数学基础知识汇总 第一章 集合与简易逻辑： 一集合 1、 集合的有关概念和运算 集合的特性：确定性、互异性和无序性； 元素a和集合A之间的关系：aA，或aA； 2、子集定义：A中的任何元素都属于B，则A叫B的子集 ；记作：AB， 注意：AB时，A有两种情况：A与A 3、真子集定义：A是B的子集 ，且B中至少有一个元素不属于A；记作：AB； 4、补集定义：CUA=x|xU,且xA； 5、交集与并集 交集：AIB=x|xA且xB；并集：AUB=x|xA或xB 6、集合中元素的个数的计算： 若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为_，所有真子集的个数是_，所有
2、非空真子集的个数是 。 二简易逻辑： 1复合命题： 三种形式：p或q、p且q、非p； 判断复合命题真假： 2.真值表：p或q，同假为假，否则为真；p且q，同真为真；非p，真假相反。 3.四种命题及其关系： 互逆命题 原命题 原命题：若p则q； 逆命题：若q则p； 若q则p 若p则q 否命题：若p则q； 逆否命题：若q则p； 否互 互为逆否的两个命题是等价的。 互 为 逆 互 原命题与它的逆否命题是等价命题。 为 否 逆 否 4.充分条件与必要条件： 互 否若pq，则p叫q的充分条件； 逆否命否命题 若pq，则p叫q的必要条件； 题 若p则互若pq，则p叫q的充要条件； 第二章不等式 一、不等式
3、的基本性质： 1特殊值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。 2中间值比较法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小 二均值不等式： 1.内容：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。即：若a,b0，则仅当a=b时取等号） 222.基本变形：a+b ；若a,bR，则a+b2ab a+bab 判别式：=b-4ac 二次函数 y 2D0 y D=0 D0) 的图象 一元二次方程 有两相异实数根 x1 O x2 x O x1=x2 x O 没有实数根 R x 有两相等实数根 ax2+bx+c=0(a0)的根 一元二次不等式 x1,x2(x1x2)
4、 x|xx2 “”取两边 x1=x2=-ax2+bx+c0(a0)的解集 一元二次不等式 b 2abx|x- 2ax|x1xx2 “”取中间 f f ax2+bx+c0)的解集 3.绝对值不等式的解法： 当a0时，|x|a的解集是x|xa，|x|a的解集是x|-ax0时，|ax+b|cax+bc， |ax+b|c-cax+b0 ；0 ； g(x)g(x)5.高次不等式组的解法：数轴标根法。 第三章 函数 一 函数 1、映射：按照某种对应法则f ，集合A中的任何一个元素，在B中都有唯一确定的元素和它对应， 记作f：AB，若aA,bB，且元素a和元素b对应，那么b叫a的象，a叫b的原象。 2、函数
5、：、定义：设A，B是非空数集，若按某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一确定的数f和它对应，就称f：AB为集合A到集合B的一个函数，记作y=f， 、函数的三要素：定义域，值域，对应法则； 3、求定义域的一般方法：整式：全体实数R；分式：分母0，0次幂：底数0； 偶次根式：被开方式0，例：y=4、求值域的一般方法： |x|图象观察法：y=0.2；单调函数法： y=log2(3x-1),x,3 125-x2；对数：真数0，例：y=loga(1-) x13- 2 - 二次函数配方法：y=x2-4x,x1,5)， y=“一次”分式反函数法：y=-x2+2x+2 x；换元法：
6、y=x+1-2x 2x+15、求函数解析式f的一般方法： 待定系数法：一次函数f，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f 配凑法：f(x-11)=x2+2,求f；换元法：f(x+1)=x+2x，求f xx6、函数的单调性： 定义：区间D上任意两个值x1,x2，若x1x2时有f(x1)f(x2)，称f(x)为D上增函数； 若x1f(x2)，称f(x)为D上减函数。 区间D叫函数f(x)的单调区间，单调区间定义域； 复合函数y=fh(x)的单调性：即同增异减； 7.奇偶性： 定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。 f(x) f(-x)=0 f(x) =f
7、(-x) f(x)为偶函数； f(x)+f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为奇函数。 8.周期性： 定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。 9函数图像变换： 平移变换 y=f(x)y=f(x+a),y=f(x)+b；法则：加左减右，加上减下 注意：有系数，要先提取系数。如：把函数()经过 平移得到函数()的图象。会结合向量的平移，理解按照向量a平移的意义。 10反函数： 定义：函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x)；函数y=f(x)和y=f-1(x)互为反函数； -1反函数的求法：由y=f(x)，反解出x=f出y=f-1
8、(y)，x,y互换，写成y=f-1(x)，写； (x)的定义域-1反函数的性质：函数y=f(x)的定义域、值域分别是其反函数y=f函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1 (x)的值域、定义域；(x)的图象关于直线y=x对称；点关于直线y=x的对称点为； 第四章 指数函数与对数函数 1. 指数及其运算性质：当n为奇数时，nan=a；当n为偶数时，na=|a|=na(a0)-a(a0,a1)，以10为底叫常用对数，记为lgN，以e=2.7182828为底叫自然对数，记为lnN 性质：负数和零没有对数，1的对数等于0：loga1=0，底的对数等于1：logaa=1，积的对数：loga(MN)=
9、logaM+logaN， 商的对数：logamn=nam；负分数指数幂：a-mn=1amnM=logaM-logaN， N1幂的对数：logaMn=nlogaM， 方根的对数：loganM=logaM， n指数函数 对数函数 4.指数函数和对数函数的图象性质 函数 定义 图象 y=ax a1 y 0a1 y y=logax 0a1,x0ax=1,x=0 1,x00ax=1,x=0 1,x0,x1logax=0,x=1loga0,0x11x=0,x=1 0,0x0,图象在x轴上方 特征 图象 关系 Qloga1=0,过定点 Qx0,图象在y轴右边 y=ax的图象与y=logax的图象关于直线y=
10、x对称 第五章 三角函数 1、角：与a终边相同的角的集合为b|b=a+k360,kZ o2、弧度制：定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。 - 4 - 度数与弧度数的换算：180=p弧度，1弧度=(o180p)o 11lr=|a|r2 22弧长公式：l=|a|r 扇形面积：S=3、三角函数 定义： sina=yyrtana=seca= rxxxxrcosa=cota=csca=ryy4、同角三角函数基本关系式 平方关系： 商数关系： 倒数关系： r=x2+y20y P r 0 a x sin2a+cos2a=1 taan=sian tanacota=1 coas5
11、、诱导公式 公式一： sin(a+k360)=sinacos(a+k360)=cosatan(a+k360)=tana 公式二： 公式三： 公式四： 公式五： sin(-a)=-sinasin(180-a)=sinasin(180+a)=-sinasin(360-a)=-sinacos(180-a)=-cosa cos(180+a)=-cosa cos(360-a)=cosa cos(-a)=cosa tan(-a)=-tanatan(180-a)=-tanatan(180+a)=tanatan(360-a)=-tana公式六： 公式七： 公式八： 公式九： 3p3psin(+a)=-cosa
12、sin(-a)=cosasin(-a)=-cosasin(+a)=cosa22223pp3ppcos(-a)=sina cos(+a)=-sina cos(-a)=-sina cos(+a)=sina 22223pp3pptan(+a)=-cotatan(-a)=cotatan(-a)=cotatan(+a)=-cota2222pp6、两角和与差的正弦、余弦、正切 S(a+b)：sin(a+b)=sinacosb+cosasinb S(a-b)：sin(a-b)=sinacosb-cosasinb C(a+b)：cos(a+b)=cosacosb-sinasinb C(a-b)：cos(a-b
13、)=cosacosb+sinasinb T(a+b)： tan(a+b)=tana+tanbtana-tanb T(a-b)： tan( a-b)=1-tanatanb1+tanatanb7、辅助角公式：asinx+bcosx=a2+b2(sinxcosf+cosxsinf)=a2+b2sin(x+f) b） a、S2a： sin2a=2sinacosa 、降次公式： - 5 - C2a： cos2a=cos2a-sin2a sinacosa= =1-2sina=2cosa-1 221sin2a 2sin2a=1-cos2a11=-cos2a+ 2222taan1+cos2a112na=cos
14、a=cos2a+ T2a： ta22221-ta2na9、三角函数的图象性质 函数的周期性： 定义：对于函数f，若存在一个非零常数T，当x取定义域内的每一个值时，都有：f= f，那么函数f叫周期函数，非零常数T叫这个函数的周期； 如果函数f的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫f的最小正周期。 函数的奇偶性： 定义：对于函数f的定义域内的任意一个x，都有：f= - f，则称f是奇函数，f= f，则称f是偶函数 奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称； 正弦、余弦、正切函数的性质 函数 定义域 值域 -1，1 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇
15、函数 递增区间 递减区间 y=sinxxR T=2pp3ppp-+2kp,+2kp+2kp,+2kp 2222y=cosxxR x|x-1，1 T=2p(2k-1)p,2kp 2kp,(2k+1)p pp-+kp,+kp22y=tanx T=pp+kp2 p3p，1），； 22p3py=cosx图象的五个关键点：，； 22y=sinx图象的五个关键点：，三角形的面积公式：SD=正，余弦定理 正弦定理：111absinC=acsinB=bcsinA 222abc=2R,或a=2RsinA,b=2RsinB，c=2Rsin sinAsinBsinCa2=b2+c2-2bccosA余弦定理：b=a+
16、c-2accosB222c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab(1+cocC)b2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c2cosB=cosC=求角： cosA= 2bc2ac2ab第六章 数列 Sn=a1+a2+a3+L+an；an=一数列：前n项和： 前n项和与通项的关系：a1=S1(n=1)Sn-Sn-1(n2)- 7 - 二等差数列 ： 1.定义：an+1-an=d。2.通项公式：an=a1+(n-1)d ， 3.前n项和：Sn=4.等差中项： A=n(a1+an)n(n-1)2 . Sn=na1+d 22a+b或2A=a+b 25.等差数列的主要性质： 等差数列an
17、，若n+m=p+q，则an+am=ap+aq。 a1+an54444644447a,a2,a3,L,an-2,an-1,an =LL，如图所示：1144424443a2+an-1*也就是：a1+an=a2+an-1=a3+an-2若数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，kN，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等S3k5444444444446444444444447a1+a2+a3+L+ak+ak+1+L+a2k+a2k+1+L+a3k 差数列。如下图所示：14442444314424431442443SkS2k-SkS3k-S2k三等比数列： 1.定义：an+1=q(q0)；2.通项公
18、式：anan=a1qn-1 na1,(q=1)n3.前n项和：Sn=a1-anqa1(1-q) =,(q1)1-q1-qa-anqa1(1-qn)(q1)； (q1)； 说明：Sn=2Sn=13当q1-q1-q=1时为常数列，Sn=na1。 4.等比中项：Gb2=，即G=ab 5.等比数列的主要性质： 等比数列an，若n+m=u+v，则anam=auav a1an54444644447a,a2,a3,L,an-2,an-1,an =LL。如图所示：1144424443a2an-1也就是：a1an=a2an-1=a3an-2若数列an是等比数列，Sn是前n项的和，kN*，则Sk，S2k-Sk，S
19、3k-S2k成等比数列。 S3k5444444444446444444444447a1+a2+a3+L+ak+ak+1+L+a2k+a2k+1+L+a3k 如下图所示：14442444314424431442443SkS2k-SkS3k-S2k四求数列的前n项和的常用方法：分析通项，寻求解法 n1.公式法：等差等比数列 ；2.分部求和法：如an=2n+3 3.裂项相消法：如an=1n；4.错位相减法：“差比之积”的数列：如an=(2n-1)2 n(n+1)第七章 平面向量 1向量的有关概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 - 8 - 2向量的运算：、向量
20、的加减法： 向量的减法 向量的加法 三角形法则 平行四边形法则 a bb ba ab a+bba+b a b a-b aa 首位连结 指向被减向量 实数与向量的积：定义：实数l与向量a的积是一个向量，记作：la； 它的长度：|la|=|l|a|； ：它的方向：当l0，当lb0) 2ab方程 图像 x2y2+2=1(ab0) 2aba,b,c关系 焦点 范围 对称性 顶点 长短轴 离心率 准线 c2=a2-b2 (c,0) |x|a,|y|b (0,c) |x|b,|y|a 坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心. (a,0),(0,b) (b,0),(0,a) A1A2=2a,B1B2=2b e
21、=c(0e0,b0) 2aby2x2-=1(a0,b0) a2b2bA2 x yB1aA2bB2xOA1a,b,c关系 焦点 范围 对成性 顶点 实轴 虚轴 离心率 准线 c2=a2+b2 (c,0) |x|a (0,c) |y|a 坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心. (a,0) (0,a) 实轴：A1A2=2a,虚轴：B1B2=2b e=c(e1) aa2x= cx2y2bby=x aabaa2y= cy=ax b渐近线 三抛物线定义标准方程及其简单几何性质 定义 标准方程 图形 平面内与一定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线
22、 x2=-2py y2=-2px x2=2py y2=2px yyyyxOxOxOxO- 13 - 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 F(p,0) 2F(-x=p,0) 2F(0,p) 2F(0,-y=p) 2p 2x0,yR x=-p 2x0,yR p 2xR,y0 y=-p 2xR,y0 x轴 y轴 e=1 三直线和圆锥曲线的位置关系 1. 直线和椭圆的位置关系的判断方法 代数法：直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系可分为：相交、相切、相离 设直线l:Ax+By+C=0,圆锥曲线C：f(x,y)=0 ; 由Ax+By+C=0 消去y得： F(x,y)=0
23、ax2+bx+c=0 (a0) ;令=b2-4ac, 则0相交；=0相切；0相离. (2)几何法：求大致位置和满足条件的直线时可用，精确计算时不可用。 2.弦长的计算：弦长公式AB=1+k|x1-x2|=1+k22(x1+x2)2-4x1x2. 第十章 立体几何 1.平面的基本性质：三个公理及推论。 2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面； 3.直线与平面 位置关系 直线在平面内有无数个公共点 。直线和平面相交有且只有一个公共点直线和平面平行没有公共点 直线和平判 定 定 理 面平行 性 质 定 理 abab直线与平判 定 定 理 面垂直 l性 质 定 理 ba0直线与平面所成的角 nm
24、平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角 一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角 0一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是0的角 三垂线定在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂理 直。 - 14 - 三垂线逆在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂定理 直。 4.平面与平面位置关系：平行、相交 空间两个平面 两个平面平行 判 定 性 质 如果一个平面内有两条相交直线平两个平面平行，其中一个平面内的直行于另一个平面，那么这两个平面平行 线必平行于另一个平面 垂直于同一直线的
25、两个平面平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 相交的两平面 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角。 两平面垂直 判 定 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 性 质 若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 如果两个平面垂直，那么经过第一个平面
26、内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内 5. 常用证明方法： (1)判断线线平行的常用方法： ab,bc, a,b ac;a,a ,b ab ab ab;，a,b (2)判定线线垂直的常用方法. a，b ab； bc,ac ab a，b ab； 三垂线定理及逆定理 (3)判定线面平行的常用方法： 定义 a ,b且ab a.,a a; (4)判定线面垂直的常用方法 ca,cb且a 且a ,b ,a，b无公共点 c；ab且a b a (5)判定面面平行的常用方法： a、b ,abA，若a,b - 15 - a, ，r (6)判定面面垂直的常用方法. a,a ，br r a,a 6棱柱 棱柱的
27、定义、分类，直棱柱、正棱柱的性质；长方体的性质。 平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体这些几何体之间的联系和区别，以及它们的特有性质。 S侧各侧面的面积和；V=Sh。 7棱锥 棱锥的定义、正棱锥的定义 相关计算：S侧各侧面的面积和 ，V=8球的相关概念：S球=4R V球21Sh 343R 球面距离的概念 39.计算问题：计算步骤：一作、二证、三算 异面直线所成的角 范围：090 方法：平移法；向量法. 直线与平面所成的角 范围：090 方法：关键是作垂线，找射影. 二面角方法：定义法；射影面积法：S=Scos三垂线法；向量法. 其中二面角的平面角的作法 定义法：由二面角平面角的定义做出平
28、面角； 三垂线法：一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。 两点之间的距离.(5)点到直线的距离. (6)点到平面的距离： (1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2) 等体积法. (3) 向量法 (7)两条平行线间的距离. (8)两异面直线间的距离(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)向量法 (9)平面的平行直线与平面之间的距离.(10)两个平行平面之间的距离. (11)球面距离 第十一章 排列组合与二项式定理概率 一排列组合 1.计数原理 分类原理：N=n1+n2+n3+nM (分类) 分步原理：N=n1n2n3nM (分步) 2.排
29、列与组合 An=n(n1)(n2)(n3)(nm+1)=mmn!n An =n! (n-m)!Cn =n(n-1)(n-2)(n-m+1)n!mnmmm1m+1 Cn= Cn CnCn= Cn+1 kk!=(k+1)!k! =m!(n-m)!m!二.排列、组合问题几大解法：总原则：先选后排，先分再排 1、多排问题直排法：把n个元素排成若干排的问题，若没其他的特殊要求，可用统一排成一排的方法来处理 2、特殊元素优先法：对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。 - 16 - 3、相邻问题捆绑法：对于某些元素要
30、求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。 4、不相邻问题插空法：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可 5、正难则反排除法：对于含有否定词语“至多”，“至少”类的问题，从正面解决不容易，可以考虑从其反面来解决。即总体中把不符合要求的除去，应注意既不能多减也不能少减。 6、元素重复问题住店法：解决“允许重复排列”的问题要注意区分两类元素：一类元素可重复，另一类元素不能重复。把不能重复的元素看着“客”，能重复的元素看着“店”，再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店法”。 三、二项式定理： n0x1n112n223n33rnrr n1n1nn1.(a+b)=Cna+Cnab+ Cnab+ Cnab+ Cnab+ Cnab+ Cnb n122rrnn 特别地：(1+x)=1+Cnx+Cnx+Cnx+Cnx rnrr2.通项为第r+1项： Tr+1= Cnab 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。 mnm3.主要性质和主要结论：对称性Cn=Cn 最大二项式系数在中间。 1234rnn 所有二项式系数的和：Cn
