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1、2 算符,2-1 定义,主要内容：,2-2 算符的代数运算,2-3 作用于左矢的算符,2-4 厄米算符和幺正算符,2-5 投影算符,算符是矢量空间中又一重要概念。在这一节里，我们在右矢空间中引入算符，并从左右矢空间的对应关系去讨论算符及其性质。这些性质很容易回到单一空间的表示方法中去。,2-1 定义,在算符的定义中，被算符A作用的右矢全体，称为A的定义域；得出的右矢全体称为值域。二者可以不同，也可以部分或完全重合。通常算符的定义域与值域都是整个空间。,一个算符A，其定义域是一个矢量空间，而又满足下列条件的，称为线性算符：,(2.1),满足下列二条件的，称为反线性算符：,(2.2),其中a是任意
2、常数。在量子力学中出现的算符，绝大多数都是线性算符，下面我们只讨论线性算符。,算符对其定义域中每一个右矢作用，都应有确定的结果。定义一个具体的算符应当规定其定义域，并指出它对其定义域中每一个矢量作用的结果。而确定一个具体的线性算符，只须规定它对其定义域中的一组线性无关的右矢（例如一组基矢）中每个右矢的作用结果即可。,线性算符的定义域，可以是整个右矢空间本身，也可以是它的一个子空间。,可以证明，线性算符具有下列性质：,（1）线性算符的值域也是右矢空间（大空间本身或其子空间）。,（2）若定义域是有限维的空间，则值域空间的维数等于或小于定义域空间的维数。,（3）在定义域中，那些受A的作用得到零矢量的
3、右矢全体，也构成一个右矢空间（定义域的子空间）。,复数对右矢的数乘，可以看成算符对右矢的作用，每一个复数都可以看成一个算符；其定义域和值域均为全空间：,其中两个特殊的算符：,这时我们记作,则说这两个算符是可对易的，或称为两个算符对易。,定义：,(2.2),经常使用的几个对易关系：,由上述定义可知，除交换律不一定成立外，算符之间服从一般的加、减、乘和幂次的代数运算法则：,等等。,可以用算符和复数构成一个多项式作为算符的函数：,甚至可以构成无穷级数（我们不去仔细考察由此引起的数学问题），例如可以写,(2.3),注意上式是算符的指数函数的定义式。在此定义下，关系式,不是所有的算符都有逆。一个算符A有
4、逆的条件如下：,定理 设A是一个定义域和值域都在全空间的线性算符，若有另外两个线性算符B和C存在，满足,AB=1,CA=1(2.4),则算符A有逆，而且,证明:,我们证明这样的A满足有逆条件(1)和(2)。,定理证毕。,2-2 算符的代数运算,在量子力学中，经常出现不可对易线性算符的代数运算，在这一小节里，我们举几个较复杂的运算例子；并且用代数方法证明两个常用的算符等式（2.9）和（2.14）两式。,（2.5）,.,例1：证明：,（2.8）,证明：,用数学归纳法证明，当n=1时上式为,原式成立。下面我们从原式出发，推出用n+1代替n的同样形式的式子。,将原式从左方用A作用，得,在上式右边第二个
5、取和式中，取j=i+1，得,将此式的求和傀标j再改成i，即可与第一和式相加，于是得,这是与原式完全相同的形式，只是原来的n成为n+1，这说明原式若对n成立，对n+1亦成立。由于我们已经证明原式对n=1成立，因此，原式对任何整数n都成立。证毕。,例2：证明：,（2.9）,这是量子力学中常用的一个公式，是一个真正的无穷级数。,证明：,利用(2.8)式，有,为证明（2.9）式可取,这时,例5：证明Glauber公式：,（2.14）,证明：,令,令,2-3 作用于左矢的算符,我们在右矢空间中定义了算符A：,（2.17）,注意我们对左矢采用相反的写法，即算符向左作用于左矢。,右矢空间,左矢空间,（2.1
6、9）,（2.20）,将（2.20）式用于右矢空间的算符B：,（2.21）,现在有了左矢和右矢两个互为对偶的空间，而算符是两个空间公用的。算符向右可以作用于右矢，向左可以作用于左矢。算符的这种既能向左，又能向右作用的性质，是对偶空间优于单一空间的主要之点。,证明：,定理的必要性是明显的，我们证明其充分性。,（2.22）,（2.23）,定理证毕。,第6节,最后，简单的提一下单一空间的情况。由于单一空间是右矢空间的复制品，除了内积的说法稍加改变以外，单一空间的事情与右矢空间的事情完全一样。但这里伴算符的引入是在左右矢两空间进行的，在单一空间情况下，要作一点改变。,(2.24),单一空间的伴算符：,2
7、-4 厄米算符和幺正算符,一、厄米算符,若算符满足,则称为厄米算符或自伴算符,证明：,因此,二、等距算符和幺正算符,定理 以下三个命题是等价的：,（1）,（2）,（3）,下面的定理指出了等距算符的主要性质。,证明：,我们依次证明前一条是后一条的充分条件。,这就是（2）。,已知有，从而有,于是得,这就是（1）。证毕。,幺正算符是满足以下条件的算符：,（2.26）,幺正算符一定是等距算符，因此有上面定理中指出的性质。,幺正算符在讨论两组基矢的关系时起重要作用。下面给出两条有关的定理。,证明：证明一组矢量是基矢，只须证明它是正交归一化的，并且是完全的即可。首先有,由此得,(2.27),(2.28),
8、三、幺正变换,从幺正算符的性质可知，幺正变换不改变矢量的模，也不改变两矢量的内积，从而不改变正交关系。因此一组基矢经过幺正变换之后仍是这个空间的基矢。从这一点来看，在物理上有时称矢量的幺正变换为矢量（在多维空间中）的转动。,现在，用幺正算符对空间中全部矢量进行幺正变换：,（2.29）,（2.30）,(2.29)和(2.30)两式就是矢量与算符的幺正变换。由此可以看出，一个包含矢量和算符的关系式，经过幺正变换之后其形式不变。,2-5 投影算符,（2.31）,它作用在任意右矢上得,投影算符的性质：,（1）投影算符是线性算符；,（2）投影算符是厄米算符；,右方确实是实数。对于其它投影算符也可以同样证明。,（3）投影算符的重要性是它的幂等性，即,（4）完全性,我们也可以讨论投向整个空间的投影，这时投影算符是,右边取和是对所有基矢。这个投影算符对空间中任何矢量的作用是,（2.32）,这正是完全性定理中的Parseveal等式。,上式左方是一个向整个空间投影的投影算符。既然是向全空间投影，矢量投影后就不会发生任何变化。注意（2.32）式的关键是空间的基矢一个都不能少，否则就不能构成完全性关系。,
