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1、九年级数学二次函数性质的应用教案 北师大山东省枣庄四中九年级数学二次函数性质的应用教案 北师大版 一 教学目标 1、 能将简单的实际应用的最值问题转化为数学问题。 2、 掌握用二次函数的性质解决具体问题的一般步骤。 3、 提高学生归纳、建模、转化、数形结合的思想，培养学生的创新精神和实践能力。 4、 让学生体验知识来源于实践又作用于实践的辩证唯物主义观点，体验数学的应用价值。 二 教学重点和难点 重点：如何将生活、生产中的实际问题转化为数学问题，并用二次函数求出最大值。 难点：将实际应用转化为数学问题，用二次函数求最值的建模思想。 三 教学过程的形成过程 成功的教案形成的过程各不相同，但有两点
2、是必不可少的：第一，借鉴他人成功的经验。许多老教师、名教师的教学经验丰富，对教材的理解深刻，教学过程的处理得法，重点的突破和难点的化解都有独到的方法，是年轻教师得以学习的。值得借鉴的可以是一份完整的教案，也可以是教学过程某一个环节的教学，如新课的导入，概念的形成过程，重点的突破，难点的化解，解题步骤的归纳等学生不容易掌握的知识点。第二，执教者自身对教材的理解和独特的教学思路，在认真学习数学课程教学大纲和阅读教科书后和教学参考书后，教师明确了数学课程标准的教学理念，了解教科书中该节内容的编写意图，会形成对这一教学内容新的理解，在教学过程的设计中反映出自身的特色和风格，这样编写的教学过程才会有创新
3、。 “二次函数性质的应用举例”的教案，是一位青年教师根据如下教案进行试教，经过其他教师听课点评后，再结合执教者对教材的深刻理解编写的一份教案，下面我们来看这份教案形成的过程。 对被借鉴的教案的实施和点评 1、 复习提问 师 二次函数y=ax+bx+c有哪些性质？ 生 评 教师提出的问题范围太大，学生难以简要回答，只能照背教科书中二次函数的性质，花费了很多时间。这样的问题最好分解成小问题，让学生便于回答，又能复习二次函数的性质，才能达到预期的目的。 师 下面大家一起做投影上的练习。 已知二次函数y=x-3x+2，填空： (1)图象的对称轴是 ，顶点坐标是 。直线x=(2)开口方向是 。 当x 时
4、，y随x的增大而减小；当x 时，y随x增大而增大；当x 时，函数有最 值，是 。 2224当x 时，y0，若y2或1,1x0 解得：0x0 师 这样求窗户的最大透光面积，就转化为求什么？ 生 求函数y=x师 怎样求？ 生 当x=-6-3x32=-x+3x的最大值。 22b31时，y的最大值是。 2a2师 对，应注意x 的取值是否在自变量的取值范围内。 评 这种问答式的讲课方式，表面上看教师提出的问题学生都对答如流，没有任何障碍，但这样的问答结果，学生有没有真正掌握了问题所在，学生的思维是否被激起？ 新课的引入缺乏新意，照搬照抄会让学生成为解题机器。教学中应创设情境，让学生在实践中提出问题，解决
5、问题，增加师生互动，生生互动，激发学生学习的兴趣，让学生主动地学习。 师 通过例1的讲解可知，用二次函数的性质解决生活和生产中的实际问题时，一般步骤是： 列出二次函数的解析式，列解析式时要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。 在自变量的取值范围内，运用公式或通过配方法，求出二次函数的最大值或最小值。 评 数学课堂教育应充分发挥学生的主体作用，学生能做的尽量让学生去做，教师在必要的时候加以点用心 爱心 专心 2 拨，像这种归纳最好由学生去完成，教师对不完整之外进行补充，让学生体验一次成功的感觉。 师 接下来看例2。 例2 如图2，B船位于A船正东26Km处，现在A、B两船同时出发，A船以
6、每小时12Km的速度朝正北方向行驶，B般以每小时5Km的速度向正西方向行驶，求A船何时与B船相距最近，最近距离是多少? A A B B 图2 师 要求两船相距最近，应先回答下列问题。 设若经过t时，两船A、B分别到A、B，则AA= ,BB 。 AB 若设两船的距离为s，写出s关于t的函数解析式s= 要求出两船之间的距离的最小值只要求什么？ 图3 用心 爱心 专心 3 评 课堂练习的目的是为了使学生加深对所学知识的理解，形成知识体系，把多个练习题放在一起做有些枯燥，对巩固所学知识的效果不是最好，练习1、2可在例1讲解后就去完成，练习3放在例2讲解后做，这样更能使例题和练习配套，便于学生归纳总结。
7、 师 请同学们考虑书本中“想一想”的问题。 想一想：你能用配方法求函数y=x+21x2的最小值吗？ 生甲Qy=x2+1x21=x+-2, x2ymin=-2. 生乙Qy=x2+1x21=x-+2, x2ymin=2. 师 两个同学的答案谁正确呢？ 师 甲的结果是错误的，因为在实数范围内不存在x使x+ 1=0；乙的结果是正确的，当x=1时，xymin=2 4、课堂小结 师 这节课我们学习了用二次函数解决实际问题的一般步骤：分析题意，选取适当的量为自变量，列出二次函数的解析式，确定自变量的取值范围。在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值。 5、布置作业 评 本节课是应用所学知识解决实际问题，应
8、通过学生主动参与、积极动手、观察、讨论、归纳去发现和解决问题，这样有利于开发学生的智力，培养学习兴趣，提高分析问题的能力。新课的引入相当关键，要能吸引学生的注意力，但本节课的引入缺乏新意，难激起学生的求知欲；对例题的解决了应引导学生去探求，教师不宜讲解过于细致，释疑要留给学生。 修改后成功的教案 1、 创设情境，提出问题 板书课题：二次函数性质的应用。 实验：学生用课前准备好的长6cm的细铝线围成一个矩形。量一量，你的矩形的长和宽是多少？算一算，你的矩形的面积有多大？比一比，谁围的矩形的面积最大？ 思考和猜想：围成的矩形的长和宽有什么关系？矩形面积最大时长和宽有什么关系呢？ 用心 爱心 专心
9、4 营造一个学生熟悉的但不被注意的实际情境，让学生体验“数学来自生活”、“数学就在你身边”；通过动手操作，培养学生的学习兴趣；提出问题，让学生猜想、探索，激发学生的求知欲。 怎样用数学方法验证“长和宽相等时矩形面积最大”呢？ 通过多媒体动态图形观察，矩形的和变化时，宽也在变化，若长为xcm,则宽为多少？(3-x)cm 矩形的面积怎样计算？面积y与长x有什么关系？y=x(3-x) x的取值范围由什么确定？怎样求？ 怎样求面积y(cm)的最大值呢？ 培养学生用运动变化的观点去分析问题，发现问题中蕴藏着一些相互联系的变量，找出最有代表性的变量设元，从而将实际问题转化为函数问题，使学生巩固数学建模思想
10、。 2、 例题分析，比较归纳 例1 用长6m的铝合金条围成如图4形状的矩形窗框，问宽和高各是多少时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？ 图4 学生根据实验中的矩形进行分析，探索解决问题的方法。教师结合下列问题进行启发： 本题中有哪些变化的量？哪个量与其他变量的关系都比较明显？ 设这一有代表性的量为x，请用x表示面积y。 与实际情形比较，培养学生类比能力，渗透比较思想，培养学生发散思维，通过例题讲解，让学生体会数学应用意识。 尝试反馈：如图5，用长20m的篱笆围成一个一面靠墙的长方形的园子，园子前面空出一段长1m的空隙为进出小门，怎样围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？ 1m 图5 把60
11、表示成两个正数的和，使这两个正数的积最大。 归纳用二次函数解实际问题的步骤: 选择适当的变量为自变量； 列二次函数的解析式； 确定自变量的取值范围； 在自变量取值范围内，求二次函数的最大值， 22用心 爱心 专心 5 3、 深入探究，问题迁移 出示实验中矩形的多媒体动态图形，如图6，在实验围成的矩形中，对角线L与边长有何关系？ 学生观察发现：当矩形的边长AB变化时，它的对角线L的长也随着变化。 D C 3-X L A X B 图6 能否写出L关于x的函数关系？ 2能否求出对角线L的最小值？ 当被开方式2x-6x+9取最小值时，对角线L也有最小值。问题转化为求2x-6x+9取最小值。 例题分析。
12、 例2 阅读题目，观察多媒体动态图形，分小组讨论，讨论后归纳出解题思路： t 小时后两船分别航行的路程AA BB 。 在RtABA中，AB 。 在RtABA中，s=AB= 。 要求s的最小值，只要求出169t-260t+676的最小值再开方就行了。 让学生阅读课本，理解教材中的解题过程。 安排课堂讨论，发掘学生思维，培养团队合作能力；通过看书，培养学生自学能力，用不同的方式进行教学活动，使课堂气氛更加活跃。 4、 归纳小结 这节课学习了用什么知识解决哪一类问题？ 解决这类问题的步骤是什么？应注意什么问题？ 让学生归纳教学内容，使学生对知识加深理解，形成体系，为今后继续学习打下扎实的基础。 5、 迁移拓展 你能用配方法求出函数y=x+21x2的最小值吗？ 某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格。经试验发现，若按每件25元的价格销售时，每月能卖360件；若按用心 爱心 专心 6 每件30元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y是价格x的一次函数。 试求y与x之间的关系式。 在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 用心 爱心 专心 7
