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1、九年级数学圆的知识点总结 一、知识回顾 圆的周长： C=2r或C=d 、圆的面积：S=r 圆环面积计算方法：S=R -r或S=(R是大圆半径，r是小圆半径） 三、知识要点 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。 2、垂直平分线：到线段两端
2、距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 dr 点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 dr 无交点； 2、直线与圆相切 d=r 有一个交点； 3、直线与圆相交 dR+r； 外切 有一个交点 d=R+r； 相交 有两个交点 R-rdR+r； 内切 有一个交点 d=R-r； 内含 无交点 dR-r； dR
3、图1rRdr图2dR图3rd五、垂径定理 图4RrdrR图5垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： AB是直径 ABCD CE=DE 弧BC=弧BD 弧AC=弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在O中，ABCD 弧AC=弧BD 六、圆心角定理 2 COABCBADOED 顶
4、点到圆心的角，叫圆心角。 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：AOB=DOE；AB=DE； OC=OF； 弧BA=弧BD 七、圆周角定理 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 AOB=2ACB 2、圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在O中，C、D都是所对的圆周角 C=
5、D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 即：在O中，AB是直径 或C=90 C=90 AB是直径 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在ABC中，OC=OA=OB ABC是直角三角形或C=90 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 BOACAODCEFBCBOADCBOACBOA 3 即：在O中， 四边形ABCD是内接四边形 C+BAD=180 B+D=180 DAE
6、=C 九、切线的性质与判定定理 切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：MNOA且MN过半径OA外端 MN是O的切线 OCDBAE性质定理：切线垂直于过切点的半径 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 十、切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：PA、PB是的两条切线 PA=PB PBMANO PO平分B
7、PA A十一、圆幂定理 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在O中，弦AB、CD相交于点P， PAPB=PCPD CBOPCAD推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的B两条线段的比例中项。 即：在O中，直径ABCD， CE=AEBE 2OEDA4 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：在O中，PA是切线，PB是割线 PA=PCPB 2ADPCOBE割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 即：在O中，PB、PE是割线 PCPB=PDPE 十二、两圆公
8、共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的公共弦。 如图：O1O2垂直平分AB。 即O1、O2相交于A、B两点 O1O2垂直平AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式： 公切线长：RtDO1O2C中，AB2=CO12=O1O22-CO22； 外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和 。 十四、圆内正多边形的计算 OCAO1BACO2的O2BO1正三角形 在O中ABC是正三角形，有关计算在RtDBOD中进行：BBOADDACOD:BD:OB=1:3:2； 正四边形 同理，四边形的有关计算在RtDOAE中进行，OE:AE:OA=1:1:2： 正六边形 同理，六边形的有关计算在RtDOAB中进行，AB:OB:OA=1:3:2. 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 EOABAOS5 lB1、扇形：弧长公式：l=npR； 180npR21=lR 扇形面积公式： S=3602n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积 2、圆柱： A圆柱侧面展开图 S表=S侧+2S底=2prh+2pr2B圆柱的体积：V=pr2h A圆锥侧面展开图 S表=S侧+S底=pRr+pr2 B圆锥的体积：V=1pr23h ADD1母线长底面圆周长BCC1B1ORCArB6
