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1、二次函数的存在性问题二次函数的存在性问题 1、已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。 (1)求抛物线的解析式； (2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标； (3)连接OA、AB，如图，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得OBP与OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。 y y A A x x B B O O 图 图 2、设抛物线y=ax+bx-2与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且ACB=90 2 1 (1)求m的值和抛物线的解析式；(2)已知
2、点D(1，n )在抛物线上，过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与AEB相似，求点P的坐标(3)在(2)的条件下，BDP的外接圆半径等于_ 解：(1)令x=0，得y=2 C(0，一2)ACB=90，COAB, AOC COB, OC222=4 m=4 OAOB=OC；OB=OA12y 6 4 2 F G A 5 1 2 -2 -4 D C E P x -6 B 3、已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和原点.求抛物线的函数关系式； b与抛物线相交于点C若过点B的直线y=kx+，请求出DOBC的面积S的值. 过点C作平行于x轴的直线交y轴于点
3、D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E. 直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED，是否存在点P，使得DOCD与DCPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 25a+5b+c=0a=-12解：由题意得：36a+6b+c=0 解得b=5故抛物线的函数关系式为y=-x+5x c=0c=02QC在抛物线上，-2+52=m,m=6 C点坐标为，QB、C在直线y=kx+b上 2 6=2k+b 解得k=-3,b=12直线BC的解析式为y=-3x+12 -6=6k+b设BC与x轴交于点G，则G的坐标为SVOB
4、C=1146+4-6=24 22存在P，使得VOCDVCPE 设P(m,n)，QODC=E=90 故CE=m-2,EP=6-n 若要VOCDVCPE，则要ODDCODDC6262=或 即或 CEEPEPCEm-26-n6-nm-2解得m=20-3n或n=12-3m 又Q(m,n)在抛物线上，m=20-3nn=12-3m或 22n=-m+5mn=-m+5m10m=105013m2=2m1=2m2=6,或解得 故P点坐标为(，)和(6,-6) ,39n1=6n2=-6n=50n2=6190)，与y轴交4、如图，抛物线y=a(x+1)(x-5)与x轴的交点为M，N直线y=kx+b与x轴交于P(-2，
5、于C若A，B两点在直线y=kx+b上，且AO=BO=2，AOBOD为线段MN的中点，OH为RtOPC斜边上的高 OH的长度等于 ；k= ，b= 是否存在实数a，使得抛物线y=a(x+1)(x-5)上有一点E，满足 y 以D，N，E为顶点的三角形与AOB相似？若不存在，说明理由； 若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上 是否还有符合条件的E点；并进一步探索对符合条件的 B C 每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足 H A P PBVPG102，写出探索过程 -2 M O 解：OH=1；k=D N x 323，b=设存在实数a，使抛物线y=a(x+1)( x-
6、5)上有一点E，满足以33D，N，E为顶点的三角形与等腰直角AOB相似且这样以D，N，E为顶点的三角形为等腰直角三角形，的三角形最多只有两类， 一类是以DN为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形 ，0)，若DN为等腰直角三角形的直角边，则EDDN由抛物线y=a(x+1)(x-5)得：M(-11N(5，0)D(2，0)，ED=DN=3E的坐标为(2，3)把E(2，3)代入抛物线解析式，得a=- 31145抛物线解析式为y=-(x+1)(x-5)即y=-x2+x+ 3333若DN为等腰直角三角形的斜边，则DEEN，DE=EN 3 2E的坐标为(3.51.5)，把E(3.51
7、.5)，代入抛物线解析式，得a=- 922810 抛物线解析式为y=-(x+1)(x-5)，即y=-x2+x+9999当a=-时，在抛物线y=-x+1313245x+上存在一点E(2，如果此抛物线上还有满足条件的E点，3)满足条件，33不妨设为E点，那么只有可能DEN是以DN为斜边的等腰直角三角形，由此得E(3.51.5)， 显然E不在抛物线y=-1245145x+x+上，故抛物线y=-x2+x+上没有符合条件的其他的E点 333333当a=-222810时，同理可得抛物线y=-x+x+上没有符合条件的其他的E点 99993)，当E的坐标为(2，对应的抛物线解析式为y=-1245QEDN和AB
8、O都是等腰直角三角形，x+x+时，333NPGBPO，GNP=PBO=45o又QNPG=BPOPGPN=POPB，PBVPG=POVPN=27=14，总满足PBV，对应的抛物线解析PG102当E的坐标为(3.51.5)式为y=-22810x+x+PG102 时，同理可证得：PBVPG=POVPN=27=14，总满足PBV9995、如图，抛物线的顶点为A，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B求抛物线的解析式；在抛物线上求点M，使MOB的面积是AOB面积的3倍；连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，y 使OBN与OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由 A 解：由题意可设
9、抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1 O B 1 抛物线过原点 a(0-2)2+1=0 a=- x 411 抛物线的解析式为y=-(x-2)2+1 即y=-x2+x. 44AOB与MOB同底不等高 又SMOB=3 SAOB MOB的高是AOB高的3倍 即点M的纵坐标是-3 y 12-3=-x+x x2-4x-12=0 解得 x1=6，x2=-2 A 4O B E x -3) M2(-2，-3) M1(6，A A由抛物线的对称性可知：AO=AB AOB=ABO -1) 若OBN与OAB相似， 必须有BON=BOA=BNO， 显然 A(2，N 直线ON的解析式为y=-111-3) x， 由x=-
10、x2+x，得x1=0，x2=6 N(6，224过N作NEx轴，垂足为E. 在RtBEN中，BE=2，NE=3，NB=22+32=13 又OB=4 NBOB 4 BONBNO OBN与OAB不相似，同理说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点. 故在抛物线上不存在N点，使得OBN与OAB相似 6、如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M， 使CMCEEO，再以CM、CO为边作矩形CMNO. (1)试比较EO、EC的大小，并说明理由；(2)令m=S四边形CFGHS四边形CMNO，请问m是否为定值？ 若是，请求出m的值；若不是，请
11、说明理由；(3)在(2)的条件下，若CO1，CE， 13Q为AE上一点且QF2，抛物线ymx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式. 3(4)在(3)的条件下，若抛物线ymx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在 点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与AEF相似?若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在，请说明理由。 解EOEC，理由如下：由折叠知，EO=EF，在RtEFC中，EF为斜边，EFEC， 故EOEC m为定值。S四边形CFGH=CF2=EF2EC2=EO2EC2=(EO+EC)(EOEC)=CO(EOEC) S四边形CMNO=CMCO=|CE
12、EO|CO=(EOEC) CO m=S四边形CFGHS四边形CMNO=1CO=1，CE=，QF=131212 EF=EO=1-=QF cosFEC=FEC=60， 3332 FEA=2180-60=60=OEA，EAO=30 EFQ为等边三角形，EQ= 3 2作QIEO于I，EI=112113331EQ=，IQ= IO=-=Q点坐标为(EQ=,) 233332333 抛物线y=mx2+bx+c过点C(0，1)， Q(抛物线解析式为y=x2-3x+1 由，AO=31,)，m=1，可求得b=-3，c=1 33 3EO=222213 当x=3时，y=(3)2-33+1=AB 33333y C P N
13、 12231,) BP=1-=AO P点坐标为(3333方法1：若PBK与AEF相似，而AEFAEO，则分情况如下： 2234383,1)或(,1)BK=3时，BK=K点坐标为(9 992； 2333A M O B x 5 2BK3时，BK=23233=2343K点坐标为(,1)或(0,1)3，3 537313故直线KP与y轴交点T的坐标为(0,-)或(0,)或(0,-)或(0,1)方法2：若BPK与AEF相似，由得：BPK=30或60，过P作PRy轴于R，则RTP=60或30 当RTP=30时，RT=233=2 32323=33 13 当RTP=60时，RT=T1(0,)，T2(0,-)，T
14、3(0,-)，T4(0,1)73537、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C连结AC、BC，A、C两点的坐标分别为A(-3，0)、C(0，3)，且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等求实数a，b，c的值；若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t秒时，连结MN，将BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；在的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为项点的三角形与ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在
15、，请说明理由 28、已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax-x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C， 且对称轴为直线x=-2求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；若点P是y轴上的一个动点， 请进行如下探究： 探究一：如图1，设PAD的面积为S，令WtS，当0t4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由； 探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与RtAOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由 y y y y D D D M D M C C C C A P B P1 B B B A A A E O O O O x x x x P2 图1
16、图2 2解：抛物线y=ax-x+3的对称轴为直线x=-2-1-1=-2，a=-， 42ay=-12x-x+3D(-2，4) 4 6 探究一：当0t4时，W有最大值 抛物线y=-12x-x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，A(-6，0)，B(2，0)，C(0，3)， 4OA=6，OC=3当0tr，O1与y轴相离不存在点P3，使AP3D=90 2)使RtADP与RtAOC相似 综上所述，只存在一点P(0， 7 9、矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图13所示，A、C两点的坐标分别为A(6，0)，C(0，-3)， y 直线y=-3x与BC边相交于D点 4O -3 C 求点D的坐标； A 6 D
17、 B y=-3 x4x 9若抛物线y=ax-x经过点A，试确定此抛物线的表达式； 42设中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点， 以P、O、M为顶点的三角形与OCD相似，求符合条件的点P的坐标 解：点D的坐标为(4，-3) 抛物线的表达式为y=329x-x 84抛物线的对称轴与x轴的交点P1符合条件 OACB， POM=CDOOPM=DCO=90， 11RtPOMRtCDO抛物线的对称轴x=3，点P1的坐标为P， 11(30)过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点PDOC 2对称轴平行于y轴，PM2O=POM=DCO=90，RtP22M1ORtDOC 点P=CO=3，PPODCO=90， 2也符合条件，OP2M=ODCPO121=4)， RtP2PO1RtDCOPP12=CD=4点P2在第一象限，点P2的坐标为P2(3，4) 符合条件的点P有两个，分别是P，0)，P2(3，1(3y P2 P1 O M -3 C A 6 B y=-3 x4x D 8
