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1、二项式定理教学案设计二项式定理(一)教案设计 教材：人教A版选修2-3第一章第三节 一、教学目标 1.知识与技能： (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式 3. 情感、态度与价值观： 培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨 二、教学重点、难点 重点：用计数原理分析(a+b)3的展开式，得到二项式定理 难点：用计数原理分析二项式的展开
2、过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 三、教学过程 提出问题，引入课题 引入：二项式定理研究的是(a+b)n的展开式，如：(a+b)2=a2+2ab+b2， (a+b)3=? (a+b)4=? (a+b)100=? 那么(a+b)n的展开式是什么？ 把问题作为教学的出发点，直接引出课题激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题. 引导探究，发现规律 1、多项式乘法的再认识 问题1. (a1+a2)(b1+b2)的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？ 问题2. (a1+a2)(b1+b2)(c1+c2)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？ 引导学生运用计数原理来解决项
3、数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备. 2、(a+b)3展开式的再认识 探究1：不运算(a+b)3，能否回答下列问题： (1) 合并同类项之前展开式有多少项？ (2) 展开式中有哪些不同的项？ (3) 各项的系数为多少？ (4) 从上述三个问题，你能否得出(a+b)3的展开式？ 探究2：仿照上述过程，请你推导(a+b)4的展开式. 通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对(a+b)3的展开式进行再思考，分析n各项的形式、项的个数，这也为推导(a+b)的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依 (三) 形成定理，说理证明 探究3：仿照上述过程，请你推导(a+b)n的展
4、开式 0n1n-1kn-kknn(a+b)n=Cna+Cnab+L+Cnab+L+Cnb(nN*) 二项式定理 证明：(a+b)是n个(a+b)相乘，每个(a+b)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理n-kkbk(k=0,1,Ln)的形式，对于每一项ab，它是由k个(a+b)选了b，nk个(a+b)选了a得到的，它出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个n可知展开式共有2项，其中每一项都是ann-kkb的组合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理 1 通过仿照(a+b)3、(a+b)4展开式的探究方法，由学生类比得出(a+b)n的展开式二项式定理的证明采用“说理
5、”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式 (四) 熟悉定理，简单应用 二项式定理的公式特征： 1. 项数：共有n+项. 2. 次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n 各项的次数都等于n 012knk3. 二项式系数: 依次为Cn，这里Cn,Cn,Cn,L,Cn,L,Cn(k=0,1,n)称为二项式系数. kn-kk4. 二项展开式的通项: 式中的Cnab叫做二项展开式的通项. 用Tk+1表示. kn-kk即通项为展开式的第k+项: Tk+1=Cnab 变一变 (
6、a-b)n (1+x)n 例. 求(2x-16)的展开式. x思考1：展开式的第项的系数是多少？ 思考2：展开式的第项的二项式系数是多少？ 思考3：你能否直接求出展开式的第项？ 熟悉二项展开式，培养学生的运算能力 (五) 课堂小结，课后作业 小结 0n1n-1kn-kknn1. 公式： (a+b)n=Cna+Cnab+L+Cnab+L+Cnb(nN*) 2. 思想方法：1.从特殊到一般的思维方式. 2.用计数原理分析二项式的展开过程. 作业 巩固型作业：课本36页习题1.3 A组 1、2、3 012kn思维拓展型作业：二项式系数Cn有何性质 ,Cn,Cn,L,Cn,L,Cn教案设计说明 二项式
7、定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础 本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题探究”的教学模式， 把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程 本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫再以(a+b)为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导(a+b)的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依 总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性重视学生的参与过程，问题引导，师生互动重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯 n32
