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1、五年级奥数讲义第13讲 长方体和正方体第13讲 长方体和正方体 一、知识要点 在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意几点： 1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来； 2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化； 3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。 二、精讲精练 一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？ 可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是1042=80，右边的长方体的体积是102=80，整个零件的体积是802=16
2、0；求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。因此，此零件的表面积就是2=232。想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？ 练习1：1.一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后，剩下部分的表面积和体积各是多少？ 2.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。 3.有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体，求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？ 有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔，你能算
3、出它的体积和表面积吗？ 先求出长方体的体积，856=240，由于挖去了一个孔，所以体积减少了222=8，这个零件的体积是2408=232； 长方体完整的表面积是2=236，但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236224=252。 练习2：1.有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。 2.有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？ 3.如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上，那么得到的物体的体积和表面积各是多少？ 一个正方体和一个长方体拼成了一
4、个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？ 一个正方体和一个长方体拼成新的长方体，其表面积比原来的长方体增加了4块正方形的面积，每块正方形的面积是504=12.5。正方体有6个这样的面，所以，原来正方体的表面积是12.56=75。 练习3：1.把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？ 2.一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的
5、表面积减少了多少平方厘米？ 3.把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方分米？ 把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是288立方厘米，求大长方体的表面积。 要求大长方体的表面积，必须知道它的长、宽和高。我们用a、b、h分别表示小长方体的长、宽、高，显然，a=4h，即h=1/4a,2a=3b即b=2/3a，砖的体积是a*2/3a*1/4a=1/6a3。由1/6a3=288可知，a=12.b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。 大长方体的长是122=24厘米，宽12厘米，高是83=11厘米，表面积就不难求了。 练习4：1.一块小正方体的表
6、面积是6平方厘米，那么，由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？ 2.一个长方体的体积是385立方厘米，且长、宽、高都是质数，求这个长方体的表面积。 3.有24个正方体，每个正方体的体积都是1立方厘米，用这些正方体可以拼成几种不同的长方体？用图画出来。 一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？ 长方体的前面和上面的面积是长宽长高=长，由于此长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数，所以有209=1119=11，即长、宽、高分别为11、17、2厘米。知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。 练习5：1.有一个长方体，它的前面和上面的面积和是88平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？ 2.一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是96立方厘米，求它的表面积。 3.一个长方体和一个正方体的棱长之长相等，已知长方体长、宽、高分别是6分米、4分米、25分米，求正方体体积。
