人教初中数学讲义.docx

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1、人教初中数学讲义人教版初中数学讲义 第一章 有理数 一、正数和负数 1、正数、负数： 大于零的数叫做正数，小于零的数叫做负数。应用：生产收入，海拔高低，气温的冷热，方位的指向，比赛的胜负，比例的增长等等。 二、有理数 1、概念：整数和分数统称为有理数。 正整数正整数正数整数正分数零负整数 2、分类零或负整数正分数负数分数负分数负分数注：分数和小数可以互化，所以小数可以归为分数类。 3、“0”表示的意义： 0既不是正数也不是负数0是整数0不是表示没有，有时表示一种趋于正负的状态0是最小的自然数，即是最小的非负整数0不能作为分母0等相反数是00的绝对值是00没有倒数0乘以任何数都为00除以任何不为

2、0的数都为0. 4、数轴：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。数轴的三要素：原点，正方向，单位长度。 数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。 5、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。与原点距离相等的两个数互为相反数。 互为相反数的两个数相加得0 6、绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a| |a|=a(a0)-a(a0时，直线y=kx经过一、三象限，y随x的增大而增大；k0时，y随x的增大而增大；当kn).即同底数幂相除，底数不变，指数相减。 规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1。a

3、0=1 2、整式的除法： 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 四、因式分解： 1、 把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 2、 分解因式的主要方法： 提公因式法： 公式法：平方差公式a2-b2= 完全平方公式a2+2ab+b2=2；a2-2ab+b2=2 十字相乘法： 分组分解法： 第十六章 分式 一、分式 1、从分数到分式：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，

4、那么式子A叫做B分式。 2、分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘一个不等于0的整式，分式的值不变。 3、最简分式：分子与分母没有公因式的分式。 8 最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积为最简公分母。 二、分式的运算 1、分式的乘除 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 除法法则：分式除以分式，把除式的分子，分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方要把分子分母分别乘方。 2、分式的加减： 分式的加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；以分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 3、整数指数幂： 运算性质：aman=am+n n=amn

5、 n=anbn aman=am-n(a0,m，n都是正整数，mn) ana =bn b三、分式方程： 1、分式方程：分母中含有未知数的方程。 分式方程的检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 第十七章 反比例函数 一、反比例函数 nk的函数称为反比例函数。 x2、反比例函数的图象和性质：反比例函数的图象属于双曲线。 当k0时，双曲线的两支分别位于第一，第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k0时，a表示a的算术平方根，因此a0；当a=0时，a表示0的算术平方根，因此a=0，这就是说a。 2、相关

6、公式：2=a；a2=a 3、代数式：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式。 二、二次根式的乘除： 1、ab=ab；ab=a b2、最简二次根式：被开方数不含有分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 三、二次根式的加减： 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 第二十二章 一元二次方程 一、一元二次方程 1、等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 2、一般形式：ax2+bx+c=0，ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。 3、一元二次方程

7、的根：一元二次方程的解。 二、降次解一元二次方程 1、配方法： 2、公式法： 一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母D表示它，即=b2-4ac。 -bb2-4ac求根公式：当D0时，方程ax+bx+c=0的实数根可写为x= 2a23、因式分解法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法。 归纳：配方法是先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二

8、次方程，因式分解法用于某些一元二次方程，总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。 4、一元二次方程的根与系数的关系：x1，x2为方程的两根，a，b，c为方程的系数，则有： 11 bcx1+x2=-，x1x2=。 aa三、实际问题与一元二次方程 第二十三章 旋转 一、图形的旋转 1、旋转、旋转中心、旋转角： 2、旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等； 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 旋转前、后的图形全等。 二、中心对称 1、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180o，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中

9、心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 归纳：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。 中心对称的两个图形是全等图形。 2、中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180o，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 3、关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P关于原点的对称点P,(-x，-y)。 三、课题学习图案设计 第二十四章 圆 一、圆 1、圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

10、2、弦：连接圆上任意两点的线段。直径：经过圆心的弦。 3、弧(圆弧)：圆上任意两点间的部分。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。能够重合的两个圆叫做等圆，同圆或等圆的半径相等，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。 2、垂直于弦的直径： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 3、弧、弦、圆心角 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； 在同圆或等圆中

11、，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。 4、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 12 推论：半圆所对的圆周角是直角，90o的圆周角所对的弦是直径。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆就做这个多边形的外接圆。 圆内接四边形的对角互补。 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 二、点、直线、圆和圆的位置关系 1、点和圆的位置关系： 点P在圆

12、外dr 点P在圆上d=r 点P在圆内dr 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆就叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。 反证法：由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法。 2、直线和圆的位置关系： 直线l和O相交dr 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质定理：圆的切线垂直于切点的半径。 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分

13、两条切线的夹角。 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。 3、圆与圆的位置关系 相离：外离，内含 相切：内切，外切 相交： 圆心距： 三、正多边形和圆 1、一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 2、弧长和扇形面积 no的圆心角所对的弧长：l=npR2=，扇形面积： S扇形oo180360npR母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段。 第二十五章 概率初步 一、随机事件与概率 13 1、随

14、机事件：在同一条件下，可能发生也可能不发生的事件。 2、概率：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值称为随机事件A发生的概率。 一般地，如果在一次试验中，有n中可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率P(A)=二、用列举法求概率： 列表法，树形图 三、用频率估计概率 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m会稳定在某个常数p附近，那么事nm。 n件A发生的概率P(A)=p。 四、课题学习键盘上字母的排列规律 第二十六章 二次函数 一、二次函数及其图象 1、二次函数：一般地，形如y=ax2+bx+c的函数。其中，x是自变

15、量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 2、二次函数y=ax2的图象 3、二次函数y=a2+k的图象 4、二次函数y=ax2+bx+c的图象 5、用待定系数法求二次函数的解析式 二、用函数观点看一元二次方程 三、实际问题与二次函数 一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低点，所以当x=-4ac-b2y=ax+bx+c有最小值。 4a2b时，二次函数2a第二十七章 相似 一、图形的相似 1、相似图形：形状相同的图形叫做相似图形。 2、相似多边形：对应角相等，对应边的比相等。相似多边形对应边的比为相似比。 二、相似三角形 1、相似三角形的判定： 平行线分线段成比

16、例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段的比相等。 判定： 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么着两个三角形相似。 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 2、相似三角形应用举例 14 3、相似三角形的周长与面积：相似三角形的周长的比等于相似比；对应高的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 相似多边形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的

17、平方。 三、位似 1、多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。 在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。 第二十八章 锐角三角函数 一、锐角三角函数 1、锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数。 45o 60o 锐角a 30o 三角函数 sina cosa tana 1 22 23 21 23 3 23 32 2 1 二、解直角三角形 利用解 直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： 将实际问题抽象为数学问题； 根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等

18、去解直角三角形； 得到数学问题的答案； 得到实际问题的答案。 第二十九章 投影与视图 一、投影： 一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影。 平行投影：由平行光形成的投影。 中心投影：由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影。 正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。 当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状，大小完全相同。 二、三视图 当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图。 主视图，俯视图，左视图 ：画三视图时，三个视图要放在正确的位置，并且使主视图与俯视图长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等。 三、课题学习制作立体模型 15