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1、人教初中数学第十章平行四边形知识点第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形 平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形用“”表示，读作“平行四边形”.平行四边形ABCD记作“ABCD”. 18.1.1 平行四边形的性质 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点. 例、已知：ABCD求证：AD=BC，AB=DC；A=C，B=D. 证明：连接AC，QAD/CD,AD/BC 1=2,3=4 又AC是ABC和CDA的公共边， ABCCDA， AD=CB,AB=CD,B=D 平行四边形性质1：平行四边形的两组对边分别相等. 平行四边形性质2：平行四边形的两组对角分
2、别相等. 例、已知：如图：ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 证明：四边形ABCD是平行四边形 AD=BC，ADBC. 1=2，3=4. AODCOB. OA=OC，OB=OD. 平行线之间的距离定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. 平行线之间的距离特征1：平行线之间的距离处处相等. 平行线之间的距离特征2：夹在两条平行线之间的平行线段相等. 平行四边形性质3：平行四边形的两条对角线互相平分. 例、如图， ABCD中，BDAB，AB=12cm，AC=26cm，求AD、BD长 解：四边形ABCD是平
3、行四边形，AO=CO=1AC，OB=OD 2BDAB，在RtABO中，AB=12cm，AO=13cm BO=AO2-AB2=5BD=2B0=10cm 在RtABD中，AB=12cm，BD=10cm AD=AB2+BD2=261(cm) 例、如图，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，AOB的周长为25，AB=12，求对角线AC与BD的和. 解：AOB的周长为25， OA+BO+AB=25， 又AB=12，AO+OB=25-12=13， 平行四边形的对角线互相平分，AC+BD=2OA+2OB=2(0A+OB)=213=26 18.1.2 平行四边形的判定 平行四边形判定1：两组对边分别平
4、行的四边形是平行四边形. 平行四边形判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形判定4：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 平行四边形判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 例、 如图，在ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且AE=CF，连结CE和AF，试说明四边形AFCE是平行四边形. 证明：四边形ABCD是平行四边形， AD/BC， 点E在AD上，点F在BC上， A
5、E/CF， 又AE=CF， 四边形AFCE是平行四边形. 例、如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DFBE 求证：AFDCEB 四边形ABCD是平行四边形 解：DFBE， AFDCEB 又AF=CE， DF=BE， AFDCEB 由(1)AFDCEB知AD=BC，DAFBCE ， ADBC ， 四边形ABCD是平行四边形 例、如图，平行四边形ABCD中，E、F为边AD、BC上的点，且AE=CF，连结AF、EC、BE、DF交于M、N，试说明：MFNE是平行四边形 解：四边形ABCD是平行四边形，ADBC， ADBC 又AE=CF，ED=FB，四边形AFCE是
6、平行四边形 AFEC同理：BEFD四边形MFNE是平行四边形 B F C A M E N D 18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形 矩形定义1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 矩形定义2：有三个角是直角的四边形叫做矩形 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线. 矩形性质1：矩形的四个角都是直角. 矩形性质2：矩形的对角线相等且互相平分. 直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 矩形判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形. 矩形判定3：对角线相等的平行四边形是矩形. 例、
7、如图，已知AB=AC，AD=AE，DE=BC，且BAD=CAE， 求证：四边形BCED是矩形 证明：在ABD和ACE中， QAB=AC，AD=AE，BAD=CAE ABDACE， BD=CE，又DE=BC， 四边形BCED为平行四边形. 在ACD和ABE中， AC=AB，AB=AE， CAD=CAB+BAD=CAB+CAE=BAE， ADCAEB CD=BE 四边形BCED为矩形 18.2.2 菱形 菱形定义1：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形定义2：四条边都相等的四边形叫做菱形. 菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线. 菱形性质1
8、：菱形的四条边都相等. 菱形性质2：菱形的对角线互相垂直平分. 菱形性质3：菱形的每一条对角线平分一组对角. 菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半. 推广：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半. 菱形判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 菱形判定2：四条边都相等的四边形是菱形. 菱形判定3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 菱形判定4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形. 18.2.3 正方形 正方形定义1：有一组邻边相等的矩形叫做正方形. 正方形定义2：有一个角是直角的菱形叫做正方形. 正方形定义3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 正方形既
9、是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线和对角线所在的直线. 正方形性质1：正方形的四个角都是直角. 正方形性质2：正方形的四条边都相等. 正方形性质3：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等. 正方形判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形. 正方形判定2：有一个角是直角的菱形是正方形. 正方形判定3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 正方形判定4：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形. 例、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC8 cm ， BD6 cm， DHAB于H，求：DH的长. 四边形ABCD是菱形， ACBD，OA=OC=
10、AB=5cm， 1AC=4cm，OB=OD=3cm， 2S菱形ABCD=ACBD=ABDH， DH=ACBD=4.8cm 2AB 例、已知：如图，菱形ABCD的周长为16 cm，ABC60，对角线AC和BD相交于点O，求AC和BD的长. 解：菱形ABCD的周长为16cm，ABC=600 AB=BC=4cm，ABC是等边三角形， AC=4cm， AC，BD互相垂直平分， OA=2 OB=42-22=23cm BD=43cm 例、如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点， PEBC，垂足为E， PFCD，垂足为F， 求证：EFAP 证明：连接PC， PEBC，PFCD，四边形ABCD是正方形
11、， PEC=PFC=C=90， 四边形PECF是矩形， PC=EF， P是正方形ABCD对角线上一点， AD=CD，PDA=PDC， 在PAD和PCD中， ADCD，PDAPDC，PDPD， PADPCD， PA=PC， EF=AP， 例、在ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DEAB， DFAC，垂足分别是E，F. 试说明:DE=DF 解：AB=AC，B=C DE AB，DF AC DEBDFC= 90 D是BC的中点 BD=DC BDECDF DE=DF. 例、如图，ABCD中，AE平分BAD交BC于E，EFAB交AD于F，试问：四边形ABEF是什么图形吗？ 请说明理由. 解：四边形ABEF是菱形 理由：四边形ABCD是平行四边形， ADBC， EFAB， 四边形ABEF是平行四边形， AE平分BAD， BAE=FAE， ADBC， FAE=AEB， BAE=AEB， AB=BE， ABEF是菱形 A F D B E C
