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1、鞍山师范学院数学系 12届学生毕业设计（论文）开题报告课题名称： 勒贝格积分与黎曼积分的关系学生姓名：计淑静专 业：数学与应用数学班 级：08级4班学 号：080429指导教师：赵艳英2012年 1 月 10 日论文开题报告论文题目：勒贝格积分与黎曼积分的关系一、选题意义1、现实意义：把实变函数论的主体内容与经典微积分学结合起来进行比较分析,主要从积分的定义、性质及重要定理等方面对勒贝格积分与黎曼积分进行比较分析,阐明二者之间内在的联系与区别,旨在为实变函数理论学习提供一些参考与帮助。勒贝格积分和黎曼积分极大地推动了数学的发展，继而能够比较容易的解决有关几何、物理甚至经济等自然学科的相关问题。
2、 2、理论意义：勒贝格(Lebesgue)测度与积分理论的发展奠定了近代分析数学的基础，而这一变革和发展的根基就是经典的黎曼(Riemann)积分。因而Riemann积分的概念和理论是十分重要的在数学分析的教学中，Riemann积分占据了主导内容，同时也是学习数学分析的后续课程-常微分方程、复变函数论、实变函数论、概率论以及力学课程的重要基础。勒贝格积分黎曼积分有着密切的联系,它是黎曼积分的拓广,比黎曼积分优越,对黎曼积分起指导保证作用,利用它来研究黎曼积分的许多概念可得到较为深刻的结果,提供黎曼积分本身无法解决的一些问题的理论根据;反过来,黎曼积分是勒贝格积分的模型。二、论文综述1、理论渊源
3、及演进过程勒贝格积分理论作为分析学中的一个有效工具的出现，尤其是他在三角级数中应用的高度成功，吸引了许多数学家，例如P法国（Fatou），F里斯(Riesz)和E菲舍尔(Fischer)等，来探讨有关的问题，使得这一领域开始迅速发展其中特别是里斯关于Lp空间的工作(注：勒贝格可积的函数全体构成的距离空间是完备的)，使得勒贝格积分在积分方程和函数空间的理论中持久地占有重要的位置勒贝格积分是以昂利.勒贝格命名的，他于1904年引入了这个积分定义。今天勒贝格积分有狭义和广义两种意义。广义地说是相对于一个测度而定义的函数积分。狭义则是指相对于勒贝格测度在实直线。或者更高维数的欧式空间的一个子集中定义的
4、函数的积分。在闭区间a和b之间对函数f的积分可以被看作是求f的函数图像下的面积。对于多项式这样比较常见的函数来说这个定样比较常见的函数来说这个定义简而易懂。但是对于更加稀奇古怪的函数来说它是什么意思呢？广义地来说，对于什么样的呢？广义地来说，对于什么样的函数“函数图像下的面积”这个函数“函数图像下的面积”这个呢？广义地来说，对于什么样的函数“函数图像下的面积”这个概念有意义？这个问题的答案具有很大的理论性和实际性意义。19世纪里在数学中有把整个数学理论放到一个更加坚固的基础上的趋势。在这个过程中数学家也试图给积分计算提供一个稳固的定义。波恩哈德.黎曼提出的黎曼积分成功地为积分运算提供了一个这样
5、的基础。黎曼积分的出发点是构造一系列容易计算的面积，这些面积最后收敛于给定的函数的积分。这个定义很成功，为许多其它问题提供了有用的答案。但是在求函数序列的极限的时候黎曼积分的效果不良，这使得候黎曼积分的效果不良，这使得这些极限过程难以分析。而这个分析比如在研究傅里叶级数、傅里叶变换和其它问题时却是极其重要的。勒贝格积分能够更好地描述在什么情况下积分有极限。勒贝格积分所使用的容易计算的面积与黎曼积分所使用的不同，这是勒贝格积分更加成功的主要原因。勒贝格的定义也使得数学家能够计算更多种类的函数的积分。比如输入值为无理数时输出值为1，其它情况下输出值为0的狄利克雷函数没有黎曼积分，但是有勒贝格积分。
6、黎曼积分的重要推广，分析数学中普遍使用的重要工具。 2、国外有关研究的综述19世纪的微积分学中已经有了许多直观而有用的积分，例如黎曼积分（简称R积分）、黎曼-斯蒂尔杰斯积分(简称R-S积分)等。只要相应的函数性质良好,用这些积分来计算曲边形面积、物体 、重心、物理学上的功、能等，是很方便的。然而，随着认识的深入，人们愈来愈经常地需要处理复杂的函数，例如，由一列性质良好的函数组成级数所定义出来的函数，两个变元的函数对一个变元积分后所得到的一元函数等。在讨论它们的可积性、连续性、可微性时，经常遇到积分与极限能否交换顺序的问题。通常只有在很强的假设下才能对这问题作出肯定的回答。因此，在理论和应用上都
7、迫切要求建立一种新的积分,它既能保持R积分的几何直观和计算上的有效，又能在积分与极限交换顺序的条件上有较大的改善。1902年法国数学家H.L.勒贝格出色地完成了这一工作，建立了以后人们称之为勒贝格积分的理论，接着又综合R-S积分思想产生了勒贝格-斯蒂尔杰斯积分（简称lS积分）。20世纪初又发展成建立在一般集合上的测度和积分的理论，简称测度论。 3、国内有关研究的综述：从积分理论的几个主要方面（可积范围、收敛条件等）对黎曼积分进行了评析，认真地分析了黎曼积分相对于牛顿积分和柯西积分所表现出来的优势，以及相对于勒贝格积分所暴露出来的局限性颜毅华和樱井 2 0 00年在太阳物理杂志上发表一文 ,他们
8、采取引入满足一定条件的局部参数来替代无力因子的方法 ,针对太阳光球外围开放空间的非常无力场模型 ,提出了一个边界积分方程表示 .李柱恒等人在 2 00 4年发表于英国皇家天文学月刊的文章中 ,研究该边界积分方程的性质 ,遇到了一类重要奇异曲面积分 .为了计算这类积分 ,本文在黎曼积分理论中引入同分布概念 ,建立同分布原理 ,并给出它的某些重要应用 .4、本人对以上的综述勒贝格积分与黎曼积分的产生和发展与力学、物理学和几何学的发展紧密相联，勒贝格积分和黎曼积分的产生具有深远的历史意义，一方面，极大的推动了数学学科的发展，丰富了数学学科的思想；另一方面，勒贝格积分与黎曼积分在力学以及物理和其他学科
9、中应用，极大地推动了其他科学的发展。三、论文提纲 前言：勒贝格(Lebesgue)测度与积分理论的发展奠定了近代分析数学的基础，而这一变革和发展的根基就是经典的黎曼(Riemann)积分。因而Riemann积分的概念和理论是十分重要的在数学分析的教学中，Riemann积分占据了主导内容，同时也是学习数学分析的后续课程-常微分方程、复变函数论、实变函数论、概率论以及力学课程的重要基础。本文介绍了勒贝格积分的定义及性质、黎曼积分的定义、性质和定理。进而了解勒贝格积分和黎曼积分的联系和区别、勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性。（一） 勒贝格积分的概念和性质：1、 勒贝格积分的定义2、 勒贝格积分的性质
10、定理（二）黎曼积分的概念和性质：3、 黎曼积分的定义4、 黎曼积分的性质定理（三） 勒贝格积分与黎曼积分的其他定理：1、 可积函数的连续性2、 积分的可加性3、 积分极限定理4、 牛顿-莱布尼兹公式（四） 勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性 ：1、 勒贝格可积函数的范围比黎曼积分广泛2、 在勒贝格积分意义下,积分与极限交换顺序的条件比较弱结论：勒贝格积分和黎曼积分在数学中占重要地位。同时，它和物理学、 几何学也有很大的联系，以上几个方面的应用也只是勒贝格积分和黎曼积分在几何问题、物理学中应用的一部分, 勒贝格积分和黎曼积分还有很多其它应用之处。只要勤于学习, 善于思考, 勇于探索,就一定能从中感
11、受到定积分的无穷魅力, 同时也能提高应用数学知识解决实际问题的能力。使自己对定积分有更深刻的认识。四、预期结果勒贝格积分和黎曼积分在数学中占重要地位。只要勤于学习, 善于思考, 勇于探索,就一定能从中感受到勒贝格积分和黎曼积分的无穷魅力, 使自己对勒贝格积分和黎曼积分有更深刻的认识，同时也能提高应用数学知识解决实际问题的能力。五、参考文献1刘培德，实变函数教程，科学出版社，20062李大华，应用泛函简明教程，华中理工大学出版社，19993于宗义，实变函数论，山东大学出版社，19994夏道行、严绍宗实变函数与应用泛函分析基础，上海科学技术出版社，19875周民强，实变函数，北京大学出版社，199
12、96沈凤英 浅谈勒贝格积分与黎曼积分 苏州教育学院学报7 潘学锋 浅谈黎曼积分与勒贝格积分的区别 甘肃联合大学学报8 汪秀荣 从黎曼积分、勒贝格积分看积分理论的发展广西师范学报9洪宪涛 关于勒贝格积分的引入 广西教育学院学报 10叶臣、周晖杰 黎曼相关积分的研究高等教学研究六、论文写作进度安排11月初11月中旬 论文选题，确定论文题目11月下旬12月末 根据所选论文题目搜集资料、初步论证，完成开题报告。12年1月2月 学习所搜集的资料，并对其进行分析、归纳、整理，完成论文初稿。3月初3月末 根据指导教师意见，对论文初稿进行修改，完成论文二稿。4月初4月中旬 根据指导教师意见，对论文二稿进行修改，完成论文三稿，同时完成论文的英文摘要。 4月下旬5月15日 继续修改论文，直至定稿，并完成论文的排版与打印工作。5月下旬5月末 准备毕业答辩.
