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1、信号与系统的公式汇总分类1连续傅里叶变换 F(jw)=f(t)=线性 时移 2连续拉普拉斯变换(单边) F(s)=f(t)edt0-st3离散Z变换(单边) F(z)=f(k)z-kk=04离散傅里叶变换 F(e)=f(k)=线性 时移 jq12p-f(t)e-jwtdtF(jw)ejwtdw线性 时移 f(t)=-1stF(s)eds2pjs-js+jk=-f(k)epF(e2-jqk)ejqkdqf(k)=线性 时移 1F(z)zk-1dz,k02pjL12pjqaf1(t)+bf2(t)aF1(jw)+bF2(jw) f(tt0)ejwt0F(jw) ejw0tf(t)F(j(wmw0)
2、 af1(t)+bf2(t)aF1(s)+bF2(s) f(tt0)est0F(s) es0tf(t)F(sms0) af1(k)+bf2(k)aF1(z)+bF2(z) f(km)zmF(z) jqjqaf1(k)+bf2(k)aF1(e)+bF2(e) f(km)ejqmF(ejq) 频移 尺度 变换 反转 时域 卷积 频域 卷积 时域 微分 频域 微分 时域 积分 频域 积分 对称 帕斯 瓦尔 频移 尺度 变换 反转 时域 卷积 频移 尺度 变换 反转 时域 卷积 ejw0kf(k)F(emjw0z) zakf(k)F a频移 尺度 变换 反转 时域 卷积 频域 ejkq0f(k)F(e
3、j(qmq0) f(k/n)f(n)(k)=F(ejnq) 01jawwf(at+b)eF(j) |a|ab1assf(at+b)eF|a|abf(-t)F(-jw) f1(t)*f2(t)F1(jw)F2(jw) 1F1(jw)*F2(jw) 2pf(-t)F(-s) f1(t)*f2(t)F1(s)F2(s) f(-k)F(z-1) f(-k)F(e-jq) f1(t)*f2(t)F1(z)F2(z) f(k-1)z-1F(z)+f(-1)f1(k)*f2(k)F1(ejq)F2(ejq) f1(t)f2(t)时域 微分 f(t)sF(s)-f(0-)f(t)sF(s)-sy(0-)-y(
4、0-)2时域 差分 f(t)f(n)(t)jwF(jw)(jw)nF(jw) dF(jw)dwdnF(jw)dwnf(k-2)zF(z)+zf(-1)+f(-2)f(k+1)zF(z)-zf(0)f(k+2)zF(z)-zf(0)-zf(1)22-2-1卷积 时域 差分 频域 微分 f1(k)f2(k)12p2pF1(ejy)F2(ej(y-q)dyf(k)-f(k-1)(1-ejq)F(ejq) dF(ejq)dqj0tf(t)(-jt)nf(t)jtS域 微分 时域 积分 S域 积分 初值 tf(t)(-t)nf(t)-F(s)tdnF(s)dsnZ域 微分 部分 求和 Z域 积分 初值
5、kf(k)-zdF(z)dzkf(k)j-F(jw)f(x)dx,f(-)=0+pF(0)d(w) jwf(t)(-jt)-F(s)f(-1)(0-)f(x)dx+ssf(t)F(h)dhstzf(k)*e(k)=f(i)z-1i=-k时域 累加 k=-f(k)1-ejqzF(ejq)+pF(e)k=-d(q-2pk) pf(0)t+-wF(jt)dt,F(-)=0 f(k)zmk+mzhm+1dh zF(h)f(0)=limF(z),f(1)=limzF(z)-zf(0) zF(jt)2pf(-w) f(0+)=limsF(s),F(s)为真分式 sf(M)=limzMF(z),f(M+1)
6、=limzM+1F(z)-zf(M) zE=-|f(t)|2dt=12p-|F(jw)|2dw 终值 f()=limsF(s),s=0在收敛域内 s0终值 f()=lim(z-1)F(z) z1帕斯 瓦尔 k=-|f(k)|2=2p2p|F(ejq)|2dq 1信号与系统公式性质一览表 常用连续傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换对一览表 连续傅里叶变换对 拉普拉斯变换对 Z变换对 F(z)=f(k)z-k k=0F(jw)=f(t)e-jwtdt F(s)=函数 f(t) 0-f(t)edt -st函数 f(t) d(t)1 d(t)d(n)(t) 傅里叶变换 F(jw) 12pd(w) 象函数
7、 F(s) 函数 f(k),k0 象函数 函数 f(k),k0 象函数 d(t) 1 s d(k) 1 z z-1d(k-m),m0 e(k-m),m0 z-m jw(jw)n d(t) e(t) 1 e(k) zz-m z-1z2+z(z-1)3z2(z-a)2e(t) te(t) 1+pd(w) jwjpd(w)-1a+jw1s1s21s+an!sn+11z z-1z(z-1)2ke(k)21w21te(t)te(t) nke(k) (k+1)ae(k) ke-ate(t)te-ate(t),a0 (a+jw)2e-ate(t)te-ate(t) (s+a)s2ake(k) zz-azz-
8、ezz-ejbzz2-a2zakak-1e(k) z(z-a)2cos(w0t)sin(w0t)pd(w+w0)+d(w-w0)jpd(w+w0)-d(w-w0)-jpsgn(w) 2cos(bt)e(t) sin(bt)e(t) cosh(bt)e(t) sinh(bt)e(t) s+b22eake(k) kake(k) az(z-a)21 tbs2+b2ss2-b2ejbke(k) ak-(-a)ke(k) 2ak2ake(k) ak+(-a)ke(k)2aaz2+a2z(z-a)3|t| -w2z2z2-a2z2(z-1)3ejw0t 2pd(wmw0) jw+a(jw+a)2+b2bs
9、2-b2s+ak(k-1)e(k) 2ak-bke(k) a-b(z-1)3(k+1)ke(k) 2ak+1-bk+1e(k)a-be-atcos(bt)e(t) e-atcos(bt)e(t) (s+a)2+b2z(z-a)(z-b)z(z-cosb)z-2zcosb+12z2(z-a)(z-b)e-atsin(bt)e(t) b(jw+a)2+b2e-atsin(bt)e(t) b(s+a)+b22cos(bk)e(k) sin(bk)e(k) zsinbz-2zcosb+12e-a|t|e(t),a0ttn2aa2+w2b0(b0t+b1)e(t) b0b0+b1ss2cos(bk+q)
10、e(k) z2cosq-zcos(b-q)z2-2zcosb+1sin(bk+q)e(k) z2sinq+zsin(b-q)z2-2zcosb+1 j2pd(w)2p(j)nd(n)(w) 2jwa1-(a-b1)e-ate(t)b1s+b0s(s+a)1akcos(bk)e(k) z(z-acosb)z-2azcosb+az(z-acoshb)z-2azcoshb+a2222aksin(bk)e(k) azsinbz-2azcosb+a22sgn(t) b12b3bt-sin(bt)e(t) s(s+b)1(s+b)222222akcosh(bk)e(k) aksinh(bk)e(k) az
11、sinhbz-2azcoshb+a22at-e,t0) -ate,t0-j2wa+w221-bt)sin(bt)e(t) 3ake(k),k0kzln z-aake(k) k!aezptcos(t),|t|t2pt2cos(wt2)2-222pwt2pT1tsin(bt)e(t) 2b1sin(bt)+btcos(bt)e(t) 2bs(s+b)222(lna)ke(k) k!1az1(2k)!cosh1zn=-FnejnWt2pn=-Fnd(w-nW),W=s2(s+b)2221e(k) k+1zzln z-11e(k) 2k+11z+1 zln2z-1dT(t)=n=-d(t-nT) dW
12、(w)=W2pW=Tn=-d(w-nW) tcos(bt)e(t) s2-b2(s+b)222b0-b1a-atb-b1b-bte+(0)ee(t)b-ab-ab1s+b0(s+a)(s+b)t1,|t|t2tSawt2wt=sin2w2(b0-b1a)t+b1e-atb1s+b0(s+a)2b0-b1a+b2a2-atb0-b1b+b2b2-bte+e(b-a)(g-a)(a-b)(g-b)b-bg+b2g2-gt+01ee(t)(a-g)(b-g)b0-b1b+b2b2b2s2+b1s+b0(s+a)(s+b)(s+g)Wsin(Wt)Sa(Wt)=pptW1,|w|W2Ae-atsin(
13、bt+q)e(t),其中 Aejq=b0-b1(a-jb)b1s+b0(s+a)2+b2b-at-e(a-b)2b0-b1b+b2a(2b-a)(b-a)2-btb0-b1a+b2a2+te-atb-ae-atb2s2+b1s+b0(s+a)2(s+b)e(t)t2|t|1-,|t|t2twtSa2 24b2e-at+(b1-2b2a)te+1(b0-b1a+b2a2)t2e-ate(t)2b2s2+b1s+b0(s+a)3b0-b1g+b2g2g+b22e-gt+Asin(bt+q)e(t) b2s2+b1s+b0(s+g)(s2+b2)其中Aejq=(b0-b2b)+jb1bb(g+jb)
14、2tt1(t+),|t|t2j-j1ewwt2wt-Sa2 t11,|t|2t2|t|t1tf(t)=(1-),|t|2w(t+t1)w(t-t1)sinsin44w(t-t1)82b0-b1g+b2g2(a-g)+b22e-gt+Ae-atsin(bt+q)e(t) b2s2+b1s+b02其中Aejq=b0-b1(a-jb)+b2(a-jb)b(g-a+jb)(s+g)(s+a)2+b2)双边拉普拉斯变换与双边Z变换对一览表 双边拉普拉斯变换对 F(s)=双边Z变换对 F(z)=-f(t)edt -stk=-f(k)z-k函数 象函数F(s)和收敛域 1，整个S平面 s，有限S平面 1,R
15、es0 s1,Res0 s21,Res0 snn函数 象函数F(z)和收敛域 1，整个Z平面 zn,|z|0 (z-1)nz,|z|1 z-1d(t) d(n)d(k) Dd(k) n(t) e(t) te(t) e(k) (k+1)e(k) (k+n-1)!e(k) k!(n-1)!z2,|z|1 (z-1)2zn,|z|1 (z-1)nz,|z|1 z-1tn-1e(t) (n-1)!-e(-t) -te(-t) tn-1-e(-t) (n-1)!1,Res0 s1,Res0 s21,Res0 sn-e(-k-1) -(k+1)e(-k-1) z2,|z|1 (z-1)2zn,|z|a|
16、z-a(k+n-1)!-e(-k-1) k!(n-1)!ake(k) (n+1)ae(k) ne-ate(t) 1,ResRe-a s+ate-ate(t) 1,ResRe-a (s+a)21,ResRe-a (s+a)n1,Res|a| (z-a)2zn,|z|a| n(z-a)z,|z|a| z-atn-1-atee(t) (n-1)!(k+n-1)!nae(k) k!(n-1)!-ake(-k-1) -e-ate(-t) tn-1-at-ee(-t) (n-1)!cos(bt)e(t) 1,Res0 s2+b2(k+n-1)!n-ae(-k-1) k!(n-1)!zn,|z|0 zsinbz2-2zcosb+1z2-zacosbz2-2zacosb+1cos(bt)e(t) s+a,ResRe-a (s+a)2+b2e-atsin(bt)e(t) e-a|t|b(s+a)+b22,ResRe-a zasinbz-2zacosb+12,Rea0 -2a,ReaResRe-a 2s-a22s,ReaResRe-a s2-a2a,|a|1 asgn,|a|1 |k|k|(a2-1)z1,|a|z| (z-a)(az-1)aa(z2-z)1,|a|z|0
