偏微分方程的几种经典解法.docx

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1、偏微分方程的几种经典解法偏微分方程的几种经典解法 经过一个学期偏微分方程课程的学习,我们掌握了几种求解三种典型方程的方法,如分离变量法、行波法、特征函数展开法、求解非齐次方程的Duhanmel原理灯,此外,我们通过学习还掌握了求解波动方程的DAlembert公式,求解位势方程的Green公式等等.这些经典方法的综合运用可以求解很多初等偏微分方程,故而是基本而重要的. 本文着重总结了偏微分方程的几种经典解法,一次介绍了分离变量法、行波法、幂级数解法、Fourier变换法以及Green函数法,通过对典型方程的研究,深入理解集中经典方法. 1.分离变量法 分离变量法：基本思想是设法把偏微分方程的问题

2、转化为解常微分方程的问题. 1.1第一初边值问题 例：利用分离变量法求解下述问题(非齐次0边值双曲方程) 2u2u-2=sin2xcos2t, 0x0 (1.1) 2txt0 (1.2) u(0,t)=u(p,t)=0, u(x,0)=sinx, 0xp (1.3) u(x,0)=sin2x, 0xp (1.4) t解：用分离变量法求问题(1.1)(1.4)的形式解.设该问题有如下形式的非零解 u(x,t)=X(x)T(t) (1.5) 方程(1.1)对应的齐次方程为 2u2u-2=0,0x0 (1.6) 2tx将(1.5)式代入方程(1.6)得 1 X(x)T(t)=X(x)T(t),0x0

3、 即 X(x)T(t)D=-l (1.7) X(x)T(t)其中l为固定常数,下面证明l0. 由(1.7)有 X(x)+lX(x)=0, 上式两端同乘X(x),并在(0,p)上积分,得 p0X(x)X(x)dx+lp0X2(x)dx=0, 注意到由(1.2)和(1.5)有 X(0)=X(p)=0, 所以有 p0X2(x)dx=lpX20(x)dx 易见l0. 所以(1.2)(1.6)可以化为如下形式的两个常微分问题,即 X(x)+lX(x)=0,X(0)=X(p)=0,以及由T(t)+lT(t)=0和适当的定解条件确定的关于T(t)的常微分问题. 求解问题(1).根据常微分方程的理论可知,问题

4、(1)的通解为 X(x)=Acoslx+Bsinlx. 将其带入X(0)=0,得A=0.再将X(x)=Bsinlx带入X(p)=0,得 ln=n2,n=1,2,3,L 特征值ln=n2相应的特征函数为 Xn(x)=sinnx,n=1,2,L (1.8) 注意到Xn(x)n=1是一个直交系统,即 0,mnp0Xx)X,m(n(x)dx=p2,m=n, (1)(2) 2 这表明Xn(x)n=1正规化后是L2(0,p)的一个基底. 将问题(1.1)(1.4)中的非齐次项和初值按Xn(x)n=1展开,得 sin2xcos2t=fn(t)sinnx, 0xp,t0 n=1sinx=ansinnx, 0x

5、p, n=1sin2x=bnsinnx, 0xp, n=1其中 n=10,0,n=11,n=1fn(t)=cos2t,n=2t0, an=,bn=1,n=20,n20,0,n3n3设 u(x,t)=Xn(x)Tn(t), 0xp,t0 (1.9) n=1是问题(1.1)(1.4)的形式解,将上式代入(1.1)(1.4)可得,Tn(t)是如下常微分方程初值问题的解, Tn(t)+lnTn(t)=fn(t),t0,其中n=1,2,L. Tn(0)=an,Tn(0)=bn,求解问题(2). 当n=1时,问题(2)转化为求常微分问题 T1(t)+T1(t)=0, (3) T1(0)=0,T(0)=1,

6、1有常微分方程理论可知,问题(3)的通解为T1(t)=c1cost+c2sint.将其代入,得c1=1.将T1(t)=cost+c2sint代入T1(0)=0得c2=0.故T1(t)=cost. T1(0)=1当n=2时,问题(2)转化为常微分问题 T2(t)+4T2(t)=cos2t, (4) T2(0)=1,T(0)=0,23 对应其次方程的特征根为a=2i,用常微分方程中的算子解法求特解. (D2+4)x=cos2t, 故 tx=sin2t. 4所以问题(4)的通解为 tT2(t)=c1cos2t+c2sin2t+sin2t. 4t1将其代入T2(0)=0得c1=0,将T2(t)=c2s

7、in2t+sin2t代入T2(0)=1得c2=,故42t+2T2(t)=sin2t. 4当n3时,问题(2)转化为常微分问题 Tn(t)+n2Tn(t)=0, (5) Tn(0)=0,T(0)=0,n由常微分理论可知,问题(5)的通解为Tn(t)=c1cosnt+c2sinnt,n=3,4,L 将其代入Tn(0)=0得,c1=0.将Tn(t)=c2sinnt代入Tn(0)=0得,c2=0.故Tn(t)=0. 综上有 n=1,cost,t+2Tn(t)=sin2t,n=2,t0 (1.10) 40,n3,将(1.8)(1.10)代入(1.9)中,得问题(1.1)(1.4)的形式解为 t+2u(x

8、,t)=sinxcost+sin2xsin2t, 0xp,t0 4经检验,该形式解满足原问题及初边值条件,该形式解就是原问题的解. 例：利用分离变量法求解下述问题 2u2u-=0, 0x0 (1.11) t2x2u(0,t)=sint,u(p,t)=0, t0, (1.12) u(x,0)=0, 0xp, (1.13) up-x(x,0)=, 0xp, (1.14) tp4 解：将上述非零边值问题转化为零边值问题,用变量代换,设u(x,t)是原问题的解,令 v(x,t)=u(x,t)-p-xsint, 0xp,t0. p则v(x,t)是如下问题的解 2v2v-=f(x,t), 0x0 (1.1

9、5) t2x2v(0,t)=v(p,t)=0, t0, (1.16) v(x,0)=0, 0xp, (1.17) v(x,0)=0, 0xp, (1.18) t其中 p-xsint, 0xp,t0. p用分离变量法求问题(1.15)(1.18)的形式解.设该问题有如下形式的形式解 f(x,t)=v(x,t)=X(x)T(t), (1.19) 方程(1.15)对应的齐次方程为 2v2v-2=0, 0x0, (1.20) 2tx将(1.19)代入方程(1.20)得 X(x)T(t)=X(x)T(t),0x0 即 X(x)T(t)D=-l (1.21) X(x)T(t)其中l为固定常数,下面证明l0

10、. 由(1.21)有 X(x)+lX(x)=0, 上式两端同乘X(x),并在(0,p)上积分,得 p0X(x)X(x)dx+lX2(x)dx=0, 0p注意到由(1.16)和(1.19)有 X(0)=X(p)=0, 5 所以有 p0X(x)dx=lX2(x)dx 02p易见l0. 所以(1.16)(1.18)(1.20)可以化为如下形式的两个常微分问题,即 X(x)+lX(x)=0, (6) X(0)=X(p)=0,以及由T(t)+lT(t)=0和适当的定解条件确定的关于T(t)的常微分问题.(7) 求解问题(6).根据常微分方程的理论可知,问题(6)的通解为 X(x)=Acoslx+Bsin

11、lx. 将其带入X(0)=0,得A=0.再将X(x)=Bsinlx带入X(p)=0,得 ln=n2,n=1,2,3,L 特征值ln=n2相应的特征函数为 Xn(x)=sinnx,n=1,2,L (1.22) 注意到Xn(x)n=1是一个直交系统,即 p00,mn,Xm(x)Xn(x)dx=p ,m=n,2这表明Xn(x)n=1正规化后是L2(0,p)的一个基底. 将问题(1.15)(1.18)的非齐次项按Xn(x)n=1展开,得 p-xsint=fn(t)sinnx,0xp,t0. pn=1令p-x=cnsinnx,则在其两端同乘sinnx再在(0,p)上积分,得 ppp-xpp2sinnxd

12、x=csinnxdx=cn. 0p0n222sint,t0,n=1,2,L. .从而fn(t)=npnp由分部积分,经计算可得cn=设v(x,t)=Xn(x)Tn(t),0xp,t0.是问题(1.15)(1.18)的形式解,将其带n=1入(1.15)(1.18)可得,Tn(t)是如下常微分问题的解 6 Tn(t)+n2Tn(t)=2sint, t0, (1.23) npTn(0)=0, (1.24) Tn(0)=0, (1.25) 其中n=1,2,L (1.23)(1.25)对应的齐次方程的特征根为a=ni,则通解为2sint,解得 Tn(t)=Ancosnt+Bnsinnt.用算子算法求特解

13、,(D2+n2)Tn(t)=npTn(t)=2sint. np(n2-1)故该问题的通解为 Tn(t)=Ancosnt+Bnsinnt+2sint. (1.26) np(n2-1)2sint代入Tn(0)=0,得2np(n-1)将上式代入Tn(0)=0,得An=0,将Tn(t)=Bnsinnt+-2,n=1,2,L. 22np(n-1)Bn=故 Tn(t)=-2sinnt2sint+,t0,n=1,2,L. 222np(n-1)np(n-1)因此,问题(1.15)(1.18)的形式解为 -2sinnt2sintv(x,t)=sinnx2+,0xp,t0. (1.27) 22n=1np(n-1)

14、np(n-1)考察(1.27)右端级数的收敛性. 记 -2sinnt2sintan=sinnx2+,0xp,t0,n=1,2,L. 22np(n-1)np(n-1)容易验证下列级数均在0,p0,+)上一致收敛 anan2an2an2an,2,2,. an,xtxtxtn=1n=1n=1n=1n=1n=1经检验,v(x,t)满足问题(1.15)(1.18),就是 问题(1.15)(1.18)解. 7 将(1.27)代入 u(x,t)=v(x,t)+p-xsint,0xp,t0, p得 -2sinnt2sintp-xu(x,t)=sinnx2+sint,0xp,t0, +22np(n-1)np(n

15、-1)pn=1此即为原问题(1.11)(1.14)的解. 1.2第二初边值问题 例：利用分离变量法求解下述问题(抛物型) u2u-=0, 0x0 (1.28) tx2uu(0,t)=(1,t)=0, t0, (1.29) xxu(x,0)=cospx, 0x1, (1.30) 解：用分离变量法求解问题(1.28)(1.30)的形式解.设该问题有如下形式的非零解 u(x,t)=X(x)T(t) (1.31) 将其代入(1.28)有 X(x)T(t)D=-l,0x0 (1.32) X(x)T(t)其中l为某一常数,且l0. 由(1.32)有 X(x)+lX(x)=0, 上式两端同乘X(x),并在(

16、0,1)上积分,得 10X(x)X(x)dx+lX2(x)dx=0, 01注意到由(1.29)和(1.31)有 X(0)=X(1)=0, 所以有 110X(x)dx=lX2(x)dx 02易见l0. 故(1.28)(1.30)可化为如下形式的两个常微分问题,即 8 X(x)+lX(x)=0,0x0 (9) 求解问题(8),当l=0时,有X(x)=0,X(0)=X(1)=0,由常微分方程的理论可知,问题(8)的通解为 X(x)=c1+c2x,0x1. 将其代入X(0)=0,有c2=0,故X(x)=c1,其中c1为任意常数. 当l0时,由常微分方程的理论可知,问题(8)的通解为 X(x)=c1co

17、slx+c2sinlx, 0x1 将其代入X(0)=0,则c2=0,将X(x)=c1coslx代入X(1)=0,得 ln=(np)2, n=1,2,L 特征值ln对应的特征函数为Xn(x)=cosnpx,n=1,2,L,0x1. 所以,对于l0,有 Xn(x)=cosnpx,0x1, n=0,1,2,L 注意到Xn(x)n=1是一个直交系统,即 10,mn,0Xm(x)Xn(x)dx=p 2,m=n,这表明Xn(x)n=1正规化后是L2(0,1)的一个基底. 下面求解问题(9),将ln=(np)2代入,可有 Tn(t)+n2p2Tn(t)=0,n=0,1,2,L,t0. 有常微分方程理论可知其

18、通解为 T-n2p2tn(t)=c3e, n=0,1,2,L, t0. 此时,形式解为 u(x,t)=X22n(x)Tn(t)=c3cosnpxe-npt, 0x1,t0. n=0n=09 将其代入(1.30)中,得 u(x,0)=c3cosnpx=cospx,0x1, n=0由比较系数法,可得 1,n=1 c3=0,n1故问题(1.28)(1.30)的形式解为 u(x,t)=cospxe-pt,0x1,t0. 经检验,该形式解满足原问题(1.28)(1.30),此即为原问题的解. 21.3 Poisson方程的边值问题 分离变量法还适用于某些特殊形状区域上的二维Poisson方程的各种边值问

19、题,如果所考虑的定解区域是矩形域,那么可以完全仿照前面的方法来求解,只是此时x,y之一要扮演t的角色；如果定解区域是圆域或环形域,则应先做极坐标变换将定解问题化为矩形区域上的定解问题,然后利用分离变量法求解. 例:利用分离变量法求解下述问题 2u2u22221x+y2, (1.33) +=12(x-y),22xyu(x,y)=0, x2+y2=1, (1.34) u(x,y)=0, x2+y2=2, (1.35) u其中u为(x,y)R2:x2+y22上的单位外法向量. 解：用分离变量法求解问题(1.33)(1.35)的形式解. 首先,通过极坐标变换将环形域上的定解问题化为矩形域上的定解问题,

20、做极 坐标变换 x=rcosq, 1r2,0q2p, y=rsinq,则(1.33)(1.35)化为 2v1v12v+2=12r2cos2q, 1r2,0q2p, (1.36) 22rrrrqv(1,q)=0,v(2,q)=0, 0q2p, (1.37) r其中 10 v(r,q)=u(rcosq,rsinq),1r2,0q2p. 注意到在极坐标条件下(r,0)与(r,2p)表示同一点,故v(r,q)还满足如下周期性条件 vv(r,0)=(r,2p), 1r2, (1.38) qq问题(1.36)(1.38)是一个定解问题. 方程(1.36)对应的齐次方程为 v(r,0)=v(r,2p),2v

21、1v12v+2=0, 1r2,0q2p, (1.39) 22rrrrq设问题对应的形式解为 v(r,q)=R(r)Y(q),1r2,0q2p. (1.40) 将(1.40)代入(1.37)中,得 R(r)Y(q)+1rR(r)Y(q)+1r2R(r)Y(q)=0, 1r2,0q2p 即 Y(q)r2R(r)+rR(r)D=-=-l,1r2,0q2p, (1.41) Y(q)R(r)其中l为固定常数,下面证明l0. 由(1.41)有 Y(q)+lY(q)=0, 0q2p, 在上式两端同乘Y(q),并在(0,2p)上积分,由(1.38)和(1.40)可知 Y(0)=Y(2p),Y(0)=Y(2p)

22、, 所以有 2p2p0Y2(q)dq=lY2(q)dq, 0易见l0. 所以问题(1.37)(1.38)(1.40)可化为两个常微分问题,即 Y(q)+lY(q)=0, 0q0时,通解为Y(q)=Acoslq+Bsinlq,0q2p, 将其代入Y(0)=Y(2p),Y(0)=Y(2p)有 A=Acos2lp+Bsin2lp,Bl=-Alsin2lp+Blcos2lp, 故 ln=n2,n=1,2,L 特征值ln对应的特征函数为 Yn(q)=Ancosnq+Bnsinnq,0q2p,n=1,2,L. 其中An和Bn是任意不同时为零的实数,综上可知 Yn(q)=Ancosnq+Bnsinnq,0q

23、2p,n=0,1,2,L, 其中A0是任意不为零的实数,An和Bn是任意不同时为零的实数. 注意到cosnq+sinnqn=1是一个直交系统,即 设 2p0Ym(q)Yn(q)=0,mn,m,n=0,1,2,L, 2这表明cosnq+sinnqn=1正规化后是L(0,2p)的一个基底. v(r,q)=Rn(r)Yn(q)=An(r)cosnq+Bn(r)sinnq,1r2,0q2p, n=0n=0n=1将非齐次项按cosnq+sinnqn=1展开,有 n=2时,A2=12r2 代入(1.4)(1.6)有 14A(r)+A(r)-A2(r)=12r2,222rr 1r2, A(1)=A(2)=0

24、,221n2An(r)+An(r)-2An(r)=0,1r2,rr n=0,1,3,4,L, A(1)=A(2)=0,nn12 和 1n2Bn(r)+Bn(r)-2Bn(r)=0,1r0 2-atx2 u(x,0)=j(x), xR u(x,0)=y(x), xR t13 的解. 例：求解下述波动方程的cauchy问题 2u2uu-+2+u=0,xR,t0t2x2t xRu(x,0)=cosx,u(x,0)=e-1-cosx,xRt解：首先将方程化为标准形式.设u是原问题的解,令 v(x,t)=etu(x,t),则v是如下问题的解 xR,t0 2v2vt2-x2=0,xR,t0 v(x,t)=

25、cosx,xRv(x,0)=e-1,xRt由定理2.1可知 11x+t-1v(x,t)=(cos(x-t)+cos(x+t)+edz 22x-t=cosxcost+te-1,xR,t0因此 u(x,t)=(ecosxcost+t)e-(t+1), xR,t0 为原问题的解. 利用一维齐次波动方程cauchy问题的通解表达式,还可以求解其他定解问题.在此不再赘述. 2.非齐次波动方程的cauchy问题 21 定理2.2设jC,yC,fC1(R0,+), 则函数 11x+atu(x,t)=(j(x-at)+j(x+at)+y(x)dz22ax-attx+at-t()1+f(z,t)dzdt,xR,

26、t02a0x-a(t-t)属于C2(R0,+),是cauchy问题 14 22u2uxR,t0t2-ax2=f(x,t), xRu(x,0)=j(x),u(x,0)=y(x),xRt的解,其中a0. 注2.1上述问题解得光滑程度本质上取决于初值和非齐次项的光滑程度. 注2.2 如果j(x),y(x)和f(x,t)都是x的奇函数,则上述问题的解也是x的奇函数. 例：求解下述波动方程的定解问题 22u2u-a=f(x,t),22txu(0,t)=0,x0t0x0x0u(x,0)=j(x),u(x,0)=y(x),t其中a0,jC2(0,+),yC1(0,+),fC1(0,+)0,+),且满足相容性

27、条件 j(0)=y(0)=0,-a2j(0)=f(0,0)解：注意到如果u是x的奇函数,则u自然满足边值条件.因此,根据注2.2,我们可以采用奇延拓方法来求解上述问题. 将j(x),y(x)和f(x,t)关于x=0做奇延拓,即令 j(x),F(x)=-j(x),x0y(x), Y(x)=x0-y(x),f(x,t),F(x,t)=-f(x,t),x0,t0x0,t0x0 x0t2-ax2=F(x,t),xR u(x,0)=F(x),u(x,0)=Y(x),xRt按dAlembert公式形式地写出其解 15 u(x,t)=11x+atFx-at+Fx+at+()()x-atY(x)dz(22tx

28、+at-t()1+F(z,t)dzdt,xR,t00x-at-t()2a回到原来的初值j,y和非齐次项f,就可以得到原问题的形式解如下： 当xat0时, u(x,t)=11x+atjx-at+jx+at+y(x)dz()()(x-at22a (1) 1tx+a(t-t)+f(z,t)dzdt0x-at-t()2a而当0xat时, u(x,t)=11x+at-jat-x+jx+at+y(x)dz()()(at-x22atx+a(t-t)1t-x/ax+a(t-t)+(fz,tdzdt+f(z,t)dzdt()0at-t-xt-x/ax-at-t()()2a (2) ) 可以直接验证由(1)和(2

29、)确定的形式解uC2(0,+)0,+)就是定解问题的解. 三幂级数解法 幂级数解法：是求解偏微分方程的经典解法之一,不仅可以求解一维问题,还可以求解高维问题. 我们先来求解如下的常微分方程初值问题 u(t)+a2u(t)=0,t0(3.1)u(0)=A,u(0)=0,其中a0 方程(3.1)的通解是 (3.2) (3.3)u(t)=C1cosat+C2sinat,t0 其中C1和C2是任意实数.由边值条件(3.2)和(3.3),可得 C1=A,C2=0. 16 于是,问题(3.1)-(3.3)的解为 u(t)=Acosat,注意到 t0 2n(-1)(at)cosat=(2n)!n=0n,t0

30、 因此,问题(3.1)-(3.3)的解可写为如下的级数形式 n2nnu(x)=A(-1)(at)2n=0. n=0(2n)!t(-a2)A,n=0(2n)!t定理3.1 假设jC(R),并且对任意的R0,都存在非负数列ann=0, t2n满足级数an在n=0(2n)!0,+)上收敛,且 D2nj(x)an,xR,n=0,1,2,K 则函数 t2n2nt2nu(x,t)=D2nj(x),xR,t0, n=0(2n)!x2j(x)=n=0(2n)!就是波动方程Cauchy问题 2u2uxR,t0t2-x2=0,u(x,0)=j(x),xR ut(x,0)=0,xR的级数形式的形式解. 定理3.2

31、假设jC(R),并且对任意的R0,都存在非负数列ann=0, atn满足级数n在0,+)上收敛,且 n=0n!D2nj(x)an,xR,n=0,1,2,K 则函数 tn2nu(x,t)=tn!xj(x)=D2n2j(x),xR,t0, n=0nn=0n!(3.4)17 就是热传导方程Cauchy问题 u2u-=0,tx2xR,t0 u(x,0)=j(x),xR 的级数形式地形式解. 幂级数方法求解问题的一大优点就是空间维数不限,下面的例子是一个高维问题. 例：求解三维波动方程的Cauchy问题 2u-Du=0,t2u(x,y,z,0)=j(x,y,z),u(x,y,z,0)=0,t其中 (x,

32、y,z)R3,t0,(x,y,z)R3,(x,y,z)R3,(3.5)(3.6) (3.7)222D=2+2+2, xyzj(x,y,z)=x2+y2+z2,(x,y,z)R3 解：令a2=-D,A=j,则由(3.4)可得到问题(3.5)-(3.7)的级数形式的形式解 t2nnu(x,y,z,t)=Dj(x,y,z),n=0(2n)!(x,y,z)R3,t0 (3.8) 将j的表达式代入(3.8),得 u(x,y,z,t)=x2+y2+z2+3t2,容易验证,这个形式解的确是定解问题的解. (x,y,z)R3,t0 四.Fourier变换方法 1.e(R),D(R)和j(R)空间 18 e(R

33、)空间：对于unn=1C(R)和uC(R),如果对任何ab及任何非负整数k,都有 ()()ux-u()(x)=0 suplimknknxa,b则称un(x)在C(R)中收敛于u(x),赋予上述收敛性的函数空间C(R),称为基本空间e(R). (ii）D(R)空间：对于unn=1C0(R)和uC0(R),如果存在ab,使得 suppuna,b且对任何非负整数k,都有 ()()ux-u()(x)=0 suplimknknxR则称un(x)在C0(R)中收敛于u(x),赋予上述收敛性的函数空间C0(R),称为基本空间D(R). (iii）j(R)空间：如果uC(R),且对任何非负整数k和m,都有su

34、pxxRmu(k)(x)+,则称uj(R). j(R)中序列收敛的概念：对于unn=1j(R)和uj(R),如果对任何非负整数m和k,都有 ()()xux-u()(x)=0 sup(limmknknxR则称un(x)在j(R)中收敛于u(x). 2速降函数空间上的Fourier变换 (i）定义： 设jj(R),称函数 Fj(x)=j(x)e-ixxdx,xR R为j的Fourier变换,也记为j(x);称函数 F-1j(x)=12pRj(x)eixxdx,xR 19 为j的Fourier逆变换,也记为j(x). (ii）性质： a）设jj(R),对任意正整数m有 m(m)Fjx=ixFj(x),F()()-1j(m)(x)=(-ix)mF-1-1j(x); (Fj)(m)m-ix)j(x),(F(x)=F(j)(x)=F(m)-1(ix)mj(x). b) 设jj(R),对任意正整数aR和0bR,有 Fj(x-a)(x)=e-iaxFj(x),F-1iaxj(x-a)(x)=eF-1j(x); Fj(b