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1、偏微分方程期末复习笔记偏微分方程期末考试复习 一、波动方程utt-a2uxx=f(x,t) 初值问题 utt-a2uxx=f(x,t)1、一维情形ut=0=j(x) utt=0=y(x)解法： 由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和， utt-a2uxx=0utt-a2uxx=f(x,t)ut=0=j(x) ut=0=0 u=y(x)utt=0=0tt=0其中，问题的解由达朗贝尔公式给出： u(x,t)=j(x-at)+j(x+at)2t1x+at+y(x)dx 2ax-at由齐次化原理，问题的解为：u(x,t)=W(x,t;t)dt 0Wtt-a2Wxx=0其中，W(x,y,
2、z,t;t)是下述初值问题的解：Wt=t=0， Wtt=t=f(x,t)1x+a(t-t)f(x,t)dx利用达朗贝尔公式得W(x,t;t)=x-a(t-t)2a从而问题的解为： 1tx+a(t-t)u(x,t)=f(x,t)dxdt 2a0x-a(t-t)综上所述，原初值问题的解为： u(x,t)=j(x-at)+j(x+at)2+1x+at1tx+a(t-t)y(x)dx+f(x,t)dxdt 2ax-at2a0x-a(t-t)依赖区间、决定区域、影响区域、特征线： 依赖区间：点(x , t)的依赖区间为：x-at , x+at; 决定区域：区间x1,x2的决定区域为：(x,t)|x1+a
3、txx2-at 影响区域：区间x1,x2的影响区域为：(x,t)|x1-atxx2+at 特征线：x=x0at 解的验证：见课本P10, P14 utt-a2(uxx+uyy+uzz)=f(x,y,z,t)2、三维情形ut=0=j(x,y,z) utt=0=y(x,y,z)解法： 由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和， utt-a2(uxx+uyy+uzz)=0utt-a2(uxx+uyy+uzz)=f(x,y,z,t)u=j(x,y,z)t=0 ut=0=0 u=y(x,y,z)tt=0utt=0=0其中，问题的解由泊松公式给出： 11u(x,y,z,t)=jdS+ydS
4、2t4pa2tS4patMMSatat由齐次化原理，问题的解为：u(x,y,z,t)=W(x,y,z,t;t)dt 0tWtt-a2(Wxx+Wyy+Wzz)=0其中，W(x,y,z,t;t)是下述初值问题的解：Wt=t=0， Wtt=t=f(x,y,z,t)利用泊松公式得W(x,y,z,t;t)=从而问题的解为： 1f(x,h,z,t)dS 4paSMrr=a(t-t)a(t-t)u(x,y,z,t)=综上所述，原初值问题的解为： 14pa2ratrf(x,h,z,t-)adV r111u(x,y,z,t)=jdS+ydS+22t4pa2tS4pat4paMMSatatratrf(x,h,z
5、,t-)adV r依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、惠更斯原理： 依赖区域：点(x0,y0,z0,t)的依赖区域为 2； (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=a2t02决定区域：球面(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=a2t0决定区域为： (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2a2(t0-t)2 (tt0)； 影响区域：点(x0,y0,z0,0)的影响区域为： (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=a2t2 (t0) 特征锥：(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=a2(t0-t)2 惠更斯原理见课本P35 解的验证：见课本P29, P32
6、 utt-a2(uxx+uyy)=f(x,y,t)3、二维情形ut=0=j(x,y) utt=0=y(x,y)解法： 由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和， utt-a2(uxx+uyy)=0utt-a2(uxx+uyy)=f(x,y,t)u=j(x,y)t=0 ut=0=0 u=y(x,y)tt=0utt=0=0其中，问题的解由二维泊松公式给出： 1j(x,h)y(x,h)u(x,y,t)=dxdh+dxdh 2222222patMM(at)-(x-x)-(h-y)(at)-(x-x)-(h-y)atat由齐次化原理，问题的解为：u(x,y,t)=W(x,y,t;t)dt
7、0tWtt-a2(Wxx+Wyy)=0其中，W(x,y,t;t)是下述初值问题的解：Wt=t=0， Wtt=t=f(x,y,t)rf(x,h,t-)1a利用泊松公式得W(x,y,t;t)=22paMr-(x-x)2-(h-y)2r从而问题的解为： dxdh r=a(t-t)rf(x,h,t-)1atau(x,y,t)=22pa20Mr-(x-x)2-(h-y)2r综上所述，原初值问题的解为： dxdh r=a(t-t)1j(x,h)y(x,h)u(x,y,t)=dxdh+dxdh2222222patMM(at)-(x-x)-(h-y)(at)-(x-x)-(h-y)atatr f(x,h,t-
8、)1ata+dxdh220222paMr-(x-x)-(h-y)rr=a(t-t)依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、后效现象： 依赖区域：点(x0,y0,t)的依赖区域为 2； (x-x0)2+(y-y0)2a2t02决定区域：圆饼(x-x0)2+(y-y0)2a2t0决定区域为： (x-x0)2+(y-y0)2a2(t-t0)2 (tt0)； 影响区域：点(x0,y0,0)的影响区域为： (x-x0)2+(y-y0)2a2t2 (t0) 特征锥：(x-x0)2+(y-y0)2=a2(t0-t)2 后效现象见课本P35、36 解的验证：课本没有，有兴趣的童鞋自己动手丰衣足食。 utt-a2
9、uxx=f(x,t)ut=0=j(x)初边值问题 utt=0=y(x)u=u=0x=lx=0解法： 由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和， utt-a2uxx=0utt-a2uxx=f(x,t)u=j(x)t=0ut=0=0 u=y(x)u=0tt=0tt=0u=u=0u=u=0x=0x=lx=lx=0用分离变量法得到的解为： kpakpakpu(x,t)=Akcost+Bksintsinx lllk=12lkpA=j(x)sinxdxk0ll其中 2lkpBk=y(x)sinxdxkpa0l用齐次化原理得到的解： u(x,t)=Bk(t)sink=10tkpakp(t-t)
10、dtsinx ll从而原初边值问题的解为： tkpakpakpkpakpu(x,t)=Akcost+Bksintsinx+Bk(t)sin(t-t)dtsinx 0lllllk=1k=1注：非齐次边界条件的情形见课本P21、22 解的验证、相容性条件 相容性条件：函数j(x)C3,y(x)C2，并且j(0)=j(l)=j(0)=j(l)=y(0)=y(l)=0 二、热传导方程ut-a2uxx=f(x,t) u-a2u=0txx初边值问题ut=0=j(x) ux=0=ux=l=0解法： 用分离变量法得到原方程的解为： u(x,t)=Ckek=1-a2k2p2tl2sinkpx l其中Ck=2lk
11、pj(x)sinxdx 0ll注：非齐次边界条件的情形见课本P21、22 解的验证、相容性条件 2ut-auxx=f(x,t)柯西问题 ut=0=j(x)傅里叶变换 一维情形： 傅里叶变换：Ff=g(l)=-1+-f(x)e-ilxdx 12p傅里叶逆变换：Fg=f(x)= +-g(l)eilxdl 高维情形：设x=(x1,L,xn)，l=(l1,L,ln) 傅里叶变换：Ff=g(l)=Rnf(x)e1-ilxdx ilxg(l)edl 傅里叶逆变换：Fg=f(x)= 傅里叶变换的性质： -1(2p)nRn性质1 Faf1+bf2=aFf1+bFf2 性质2 Ff1*f2=Ff1Ff2 性质3
12、 Ff1f2=1Ff1*Ff2 2p性质4 Ff(x)=ilFf(x) 性质5 F-ixf(x)=dFf(x) dl解法： 由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和， 22ut-auxx=0ut-auxx=f(x,t) ut=0=j(x)ut=0=0其中问题的解由泊松公式给出： u(x,t)=用齐次化原理得到问题的解： 12apt+-j(x)e-(x-x)24a2tdx u(x,t)=从而原柯西问题的解为： 12apt0dt+-f(x,t)et-t-(x-x)24a2(t-t)dx u(x,t)=12apt+-j(x)e-(x-x)24a2tdx+12apt0dt+-f(x,t)
13、et-t-(x-x)24a2(t-t)dx 解的验证 极值原理、定解问题解的唯一性与稳定性 极值原理 热传导方程ut-a2uxx=f(x,t)的解u(x,t)在抛物边界上取得极大、极小值。 三、调和方程Du=0 拉普拉斯算子、梯度与散度 1、几个常用的关系式：Du=div(u)； un=2、拉普拉斯算子在不同坐标系下的形式： u， div(vu)=vu+vDu n为单位向量；n2u2u2u直角坐标系：Du=2+2+2 xyz12u12u12u球面坐标系：Du=2(r)+22+2(sinj2) 2rrrsinjqrsinjjj1u12u2u(r)+2+2 柱面坐标系：Du=2rrrrqz1u12
14、u(r)+2极坐标系：Du= rrrrq2变分原理 格林公式及其应用 1、格林公式：div(F)dxdydz=FndS WW2、格林第一公式：uDvdW=uWWvdS-uvdW nWvu-v)dS nn3、格林第二公式：(uDv-vDu)dW=(uWW4、调和函数的基本积分公式： 1若Du=0，则u(M0)=-4p1u(M)nGrM0M1u(M)-dSM rMMn00,若M0在W外11u-u-dS=2pu(M0),若M0在G上 nrrnG4pu(M),若M在W内001若Du=F，则u(M0)=-4p1u(M)nGrM0M1u(M)1-dSM-rMMn4p0F(M)dWM rM0MW5、若u在以
15、G曲面为边界的区域W内调和，在上WUG有连续一阶偏导数，则udS=0. nG 由此得到诺依曼边界条件u=f有解的必要条件是函数f满足fdS=0 nGG6、球面平均值公式： u(M0)=1udS 24prB(M0,r)3udS 4pr3B(M0,r)7、球体平均值公式： u(M0)=8、极值原理、第一边值问题的唯一性及稳定性 格林函数G(M,M0)=1-g(M,M0) 4prM0M1、格林函数法：调和函数的第一边值问题uG=f的解可以表示为：u(M0)=-2、格林函数的性质： GfGdSM n 性质1 格林函数G(M,M0)除M=M0一点外处处调和，而当MM0时，G(M,M0)趋于无穷大的阶数与
16、1相同； 4prM0M性质 2 G(M,M0)G0； 性质 3 0G(M,M0)14prM0M性质 4 G(M1,M2)=G(M2,M1) 性质 5 G(M,M0)dSM=-1 nG3、静电原像法： 1球的泊松公式：u(M0)=4pRK2R2-r02(R2+r0-2Rr0cosg)32dSM R或u(r0,q0,j0)=4pp0sinjdj2p0f(R,q,j)2R2-r02(R2+r0-2Rr0cosg)32dq 21R2-r0圆的泊松公式：u(r0,q0)=f(q)2ds 22pRx2+y2=R2(R+r0-2Rr0cosg)1或u(r0,q0)=2p2p02R2-r0f(q)2dq 2(R+r0-2Rr0cos(q-q0)半空间的泊松公式：u(x0,y0,z0)=z02pR2f(x,y)(x-x0)2+(y-y0)2+z)3220dxdy 半平面的泊松公式：u(x0,y0)=f(x)dx 22p(x-x)+y00Ry0解的验证 调和函数的基本性质 强极值原理、第二边值问题的唯一性
