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1、直线拟合,直线拟合,多项式拟合,一般最小二乘法的拟合,应用,由上述我 们已经知到上述线性模型实际上是最小二乘法的推广，实际上也就是多项式逼近函数的问题。它不仅可以解决一元问题还可用于多元问题。除此外还可求解某些非线性问题。求解方法是将其通过一定的代数变换转换为可用线性模型求解的问题。比如对方程 y=a e b x 取对数，得l n y=l n a+b x，令 Y=lny,A=l n a,B=b 则问题转化为解 Y=A+Bx的线性问题。类似的再如，对y=a+b/x拟和可对此方程取倒数，则新变量1/y于x成线性关系。,线性模型引深及推广,主页,拟合与插值的关系,函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据
2、构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。,实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和 f之间的关系？,MATLAB(cn),问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面,解决方案：,若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。,若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题；,曲线拟合问题最常用的解法线性最小二乘法的基本思路,第一步:先选定一组函数 r1(x),r2(x),rm(x),mn,令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+amrm(x)（1）其中 a1,a2,am 为待定
3、系数。,第二步:确定a1,a2,am 的准则（最小二乘准则）：使n个点（xi,yi)与曲线 y=f(x)的距离i 的平方和最小。,记,问题归结为，求 a1,a2,am 使 J(a1,a2,am)最小。,线性最小二乘法的求解,定理：当RTR可逆时，超定方程组（3）存在最小二乘解，且即为方程组 RTRa=RTy的解：a=(RTR)-1RTy,所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以下超定方程组的最小二乘解的问题。,线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+amrm(x)中函数r1(x),rm(x)的选取,1.通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)；,2.将数据(xi,yi)i=1
4、,n 作图，通过直观判断确定 f(x)：,实例讲解,某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系，下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应拉伸倍数的记录。提示：将拉伸倍数作为x,强度作为y,在座标纸上标出各点，可以发现什么?,数据表格,从上图中可以看出强度与拉伸倍数大致成线形关系，可用一条直线来表示两者之间的关系。解：设 y*=a+bxi，令=yi-y*i=yi-a-bxi，根据最小二乘原理，即使误差的平方和达到最小，也就是令 n Q=i2 i=1为最小，即求使(a,b)=有最小值的a和b的值。,计算出它的正规方程得解得：a=0.15,b=0.859 直线方程为：y*=0.15+0.859x,曲 线 拟 合 问 题 的 提 法,已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi)i=1,n,寻求一个函数（曲线）y=f(x),使 f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。,y=f(x),i 为点（xi,yi)与曲线 y=f(x)的距离,多项式的最小二乘拟合的MATLAB函数文件agui_fit.m如下:,最小二乘法拟合函数polyfit,格式：a=polyfit(x,y,n),
