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1、六年级奥数讲义第27讲表面积与体积表面积与体积 专题简析： 小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。 在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点： 充分利用正方体六个面 的面积都相等，每个面都是正方形的特点。 把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。 若把几个长方体
2、拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。 例题1： 从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？ 这是一道开放题，方法有多种： 按图27-1所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。 图27-11 按图27-2所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。 图27-2按图27-3所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。 图27-3练习1： 1、从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方
3、体，剩下部分的表面积是多少？ 2、把一个长为12分米，宽为6分米，高为9分米的长方体木块锯成两个想同的小厂房体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米？ 2 3、在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，表面积会发生怎样的变化？ 例题2： 把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，如图27-4所示，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。 图274要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形。 从上往下看从左往右看图275从前往后看3 而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面
4、积是相等的。整个立体图形的表面积可采用2来计算。 2 =2 =2432 =486 答：这个立体图形的表面积是486平方厘米。 练习2： 1、用棱长是1厘米的立方体拼成图27-6所示的立体图形。求这个立体图形的表面积。 图2762、一堆积木，是由16块棱长是2厘米的小正方体堆成的。它们的表面积是多少平方厘米？ 4 3、一个正方体的表面积是384平方厘米，把这个正方体平均分割成64个相等的小正方体。每个小正方体的表面积是多少平方厘米？ 例题3： 把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个 大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？ 把两个相同的大长方体拼成一个大厂房
5、体，需要把两个相同面拼合，所得大厂房体的表面积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体的表面积最小，就必须使两个拼合面的面积最大，即减少两个97的面。 22972 =4126 =508126 =382 答：这个大厂房体的表面积最少是382平方厘米。 练习3： 1、把底面积为20平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是多少？ 5 2、将一个表面积为30平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体。求大长方体的表面积是多少。 3、用6块长方体木块拼成一个大长方体，有许多种做法，其中表面积最小的是多少平方厘米？ 1厘米2厘米3厘米 例题4： 一个长方体，如果长增
6、加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方里，求原长方体的表面积。 我们知道：体积=长宽高；由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽高=402=20；由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长高=903=30；由高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长宽=964=24。而长方体的表面积=2=2=148。即 6 402=20 903=30 964=24 2 =742 =148 答：原 长方体的表面积是148平方厘米。 练习4： 1、一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米；如果宽增加5厘米，则体积增加65立
7、方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。原来厂房体的表面积是多少平方厘米？ 2、一个厂房体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，其表面积减少了120平方厘米。原来厂房体的体积是多少立方厘米？ 7 3、有一个厂房体如下图所示，它的正面和上面的面积之和是209。如果它的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？ 宽长高 例题5： 如图27-10所示，将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。 如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这样计算比较麻烦。实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆
8、柱的一个底面积。这样，这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。 3.141.51.52+23.141.51+23.1411+23.140.51 =3.14 =3.1410.5 =32.97 答：这个物体的表面积是32.97平方米。 8 练习5： 1、一个棱长为40厘米的正方体零件的上、下两个面上，各有一个直径为4厘米的圆孔，孔深为10厘米。求这个零件的表面积。 2、用铁皮做一个如图27-12所示的工件，需用铁皮多少平方厘米？ 3、如图27-13所示，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知立方体棱长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上、下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求该立方体的表面积和体积。 9
